邏輯回歸模型

1、 博客園首頁(yè)邏輯回歸模型作者：zgw21cn 來(lái)源：博客園 發(fā)布時(shí)間：2008-08-29 17:21 閱讀：7161 次 原文鏈接 收藏 1.邏輯回歸模型1.1邏輯回歸模型考慮具有p個(gè)獨(dú)立變量的向量,設(shè)條件概率為根據(jù)觀測(cè)量相對(duì)于某事件發(fā)生的概率。邏輯回歸模型可表示為（1.1）上式右側(cè)形式的函數(shù)稱為稱為邏輯函數(shù)。下圖給出其函數(shù)圖象形式。其中。如果含有名義變量，則將其變?yōu)閐ummy變量。一個(gè)具有k個(gè)取值的名義變量，將變?yōu)閗-1個(gè)dummy變量。這樣，有 （1.2）定義不發(fā)生事件的條件概率為 （1.3）那么，事件發(fā)生與事件不發(fā)生的概率之比為 （1.4）這個(gè)比值稱為事件的發(fā)生比(the odds o

2、f experiencing an event),簡(jiǎn)稱為odds。因?yàn)?p0。對(duì)odds取對(duì)數(shù)，即得到線性函數(shù)，（1.5）1.2極大似然函數(shù)假設(shè)有n個(gè)觀測(cè)樣本，觀測(cè)值分別為設(shè)為給定條件下得到的概率。在同樣條件下得到的條件概率為。于是，得到一個(gè)觀測(cè)值的概率為（1.6）因?yàn)楦黜?xiàng)觀測(cè)獨(dú)立，所以它們的聯(lián)合分布可以表示為各邊際分布的乘積。 （1.7）上式稱為n個(gè)觀測(cè)的似然函數(shù)。我們的目標(biāo)是能夠求出使這一似然函數(shù)的值最大的參數(shù)估計(jì)。于是，最大似然估計(jì)的關(guān)鍵就是求出參數(shù)，使上式取得最大值。對(duì)上述函數(shù)求對(duì)數(shù) （1.8）上式稱為對(duì)數(shù)似然函數(shù)。為了估計(jì)能使取得最大的參數(shù)的值。對(duì)此函數(shù)求導(dǎo)，得到p+1個(gè)似然方程。

3、（1.9），j=1,2,.,p.上式稱為似然方程。為了解上述非線性方程，應(yīng)用牛頓拉斐森(Newton-Raphson)方法進(jìn)行迭代求解。1.3牛頓拉斐森迭代法對(duì)求二階偏導(dǎo)數(shù)，即Hessian矩陣為 （1.10）如果寫成矩陣形式，以表示Hessian矩陣，表示 （1.11）令 （1.12）則。再令(注：前一個(gè)矩陣需轉(zhuǎn)置)，即似然方程的矩陣形式。得牛頓迭代法的形式為 （1.13）注意到上式中矩陣為對(duì)稱正定的，求解即為求解線性方程中的矩陣。對(duì)進(jìn)行cholesky分解。最大似然估計(jì)的漸近方差（asymptotic variance）和協(xié)方差(covariance)可以由信息矩陣（information

4、 matrix）的逆矩陣估計(jì)出來(lái)。而信息矩陣實(shí)際上是二階導(dǎo)數(shù)的負(fù)值，表示為。估計(jì)值的方差和協(xié)方差表示為，也就是說(shuō)，估計(jì)值的方差為矩陣的逆矩陣的對(duì)角線上的值，而估計(jì)值和的協(xié)方差為除了對(duì)角線以外的值。然而在多數(shù)情況，我們將使用估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)方差，表示為，for j=0,1,2,p （1.14）.顯著性檢驗(yàn)下面討論在邏輯回歸模型中自變量是否與反應(yīng)變量顯著相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)。零假設(shè)：0（表示自變量對(duì)事件發(fā)生可能性無(wú)影響作用）。如果零假設(shè)被拒絕，說(shuō)明事件發(fā)生可能性依賴于的變化。2.1 Wald test對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)時(shí)，通常使用Wald檢驗(yàn)，其公式為 （2.1）其中, 為的標(biāo)準(zhǔn)誤差。這個(gè)單變量Wa

5、ld統(tǒng)計(jì)量服從自由度等于的分布。如果需要檢驗(yàn)假設(shè)：0,計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 （2.2）其中，為去掉所在的行和列的估計(jì)值，相應(yīng)地，為去掉所在的行和列的標(biāo)準(zhǔn)誤差。這里，Wald統(tǒng)計(jì)量服從自由度等于p的分布。如果將上式寫成矩陣形式，有 （2.3）矩陣是第一列為零的一常數(shù)矩陣。例如，如果檢驗(yàn)，則。然而當(dāng)回歸系數(shù)的絕對(duì)值很大時(shí)，這一系數(shù)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤就會(huì)膨脹，于是會(huì)導(dǎo)致Wald統(tǒng)計(jì)值變得很小，以致第二類錯(cuò)誤的概率增加。也就是說(shuō)，在實(shí)際上會(huì)導(dǎo)致應(yīng)該拒絕零假設(shè)時(shí)卻未能拒絕。所以當(dāng)發(fā)現(xiàn)回歸系數(shù)的絕對(duì)值很大時(shí)，就不再用Wald統(tǒng)計(jì)值來(lái)檢驗(yàn)零假設(shè)，而應(yīng)該使用似然比檢驗(yàn)來(lái)代替。2.2似然比（Likelihood ratio t

6、est）檢驗(yàn)在一個(gè)模型里面，含有變量與不含變量的對(duì)數(shù)似然值乘以-2的結(jié)果之差，服從分布。這一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量稱為似然比(likelihood ratio)，用式子表示為 （2.4）計(jì)算似然值采用公式（1.8）。倘若需要檢驗(yàn)假設(shè)：0,計(jì)算統(tǒng)計(jì)量（2.5）上式中，表示0的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，而表示的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，那么n就表示所有觀測(cè)值的個(gè)數(shù)了。實(shí)際上，上式的右端的右半部分表示只含有的似然值。統(tǒng)計(jì)量G服從自由度為p的分布2.3 Score檢驗(yàn)在零假設(shè)：0下，設(shè)參數(shù)的估計(jì)值為，即對(duì)應(yīng)的0。計(jì)算Score統(tǒng)計(jì)量的公式為（2.6）上式中，表示在0下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)（1.9）的一價(jià)偏導(dǎo)數(shù)值，而表示在0下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)（1

7、.9）的二價(jià)偏導(dǎo)數(shù)值。Score統(tǒng)計(jì)量服從自由度等于的分布。2.4模型擬合信息模型建立后，考慮和比較模型的擬合程度。有三個(gè)度量值可作為擬合的判斷根據(jù)。(1)-2LogLikelihood (2.7)(2) Akaike信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion,簡(jiǎn)寫為AIC） (2.8)其中為模型中自變量的數(shù)目，為反應(yīng)變量類別總數(shù)減，對(duì)于邏輯回歸有S=2-1=1。-2LogL的值域?yàn)?至，其值越小說(shuō)明擬合越好。當(dāng)模型中的參數(shù)數(shù)量越大時(shí)，似然值也就越大，-2LogL就變小。因此，將(K+S)加到AIC公式中以抵銷參數(shù)數(shù)量產(chǎn)生的影響。在其它條件不變的情況下，較小的AIC值表

8、示擬合模型較好。(3)Schwarz準(zhǔn)則這一指標(biāo)根據(jù)自變量數(shù)目和觀測(cè)數(shù)量對(duì)-2LogL值進(jìn)行另外一種調(diào)整。SC指標(biāo)的定義為 (2.9)其中l(wèi)n(n)是觀測(cè)數(shù)量的自然對(duì)數(shù)。這一指標(biāo)只能用于比較對(duì)同一數(shù)據(jù)所設(shè)的不同模型。在其它條件相同時(shí)，一個(gè)模型的AIC或SC值越小說(shuō)明模型擬合越好。3.回歸系數(shù)解釋3.1發(fā)生比odds=p/(1-p)，即事件發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率之比。而發(fā)生比率(odds ration),即(1)連續(xù)自變量。對(duì)于自變量，每增加一個(gè)單位，odds ration為 (3.1)(2)二分類自變量的發(fā)生比率。變量的取值只能為0或1，稱為dummy variable。當(dāng)取值為1，對(duì)于取值

9、為0的發(fā)生比率為 (3.2)亦即對(duì)應(yīng)系數(shù)的冪。(3)分類自變量的發(fā)生比率。如果一個(gè)分類變量包括m個(gè)類別，需要建立的dummy variable的個(gè)數(shù)為m-1,所省略的那個(gè)類別稱作參照類(reference category)。設(shè)dummy variable為，其系數(shù)為，對(duì)于參照類，其發(fā)生比率為。3.2 邏輯回歸系數(shù)的置信區(qū)間對(duì)于置信度-，參數(shù)的100%（-）的置信區(qū)間為 （3.3）上式中，為與正態(tài)曲線下的臨界值（critical value）, 為系數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，和兩值便分別是置信區(qū)間的下限和上限。當(dāng)樣本較大時(shí)，0.05水平的系數(shù)的95%置信區(qū)間為 （3.4）4.變量選擇4.1前向選擇（f

10、orward selection）：在截距模型的基礎(chǔ)上，將符合所定顯著水平的自變量一次一個(gè)地加入模型。具體選擇程序如下（1） 常數(shù)（即截距）進(jìn)入模型。（2） 根據(jù)公式（2.6）計(jì)算待進(jìn)入模型變量的Score檢驗(yàn)值，并得到相應(yīng)的P值。（3） 找出最小的p值，如果此p值小于顯著性水平,則此變量進(jìn)入模型。如果此變量是某個(gè)名義變量的單面化(dummy)變量，則此名義變量的其它單面化變理同時(shí)也進(jìn)入模型。不然，表明沒有變量可被選入模型。選擇過(guò)程終止。（4） 回到(2)繼續(xù)下一次選擇。4.2 后向選擇（backward selection）：在模型包括所有候選變量的基礎(chǔ)上，將不符合保留要求顯著水平的自變量一

11、次一個(gè)地刪除。具體選擇程序如下(1) 所有變量進(jìn)入模型。(2) 根據(jù)公式（2.1）計(jì)算所有變量的Wald檢驗(yàn)值，并得到相應(yīng)的p值。(3) 找出其中最大的p值，如果此P值大于顯著性水平，則此變量被剔除。對(duì)于某個(gè)名義變量的單面化變量，其最小p值大于顯著性水平，則此名義變量的其它單面化變量也被刪除。不然，表明沒有變量可被剔除，選擇過(guò)程終止。(4) 回到(2)進(jìn)行下一輪剔除。4.3逐步回歸(stepwise selection)(1)基本思想：逐個(gè)引入自變量。每次引入對(duì)影響最顯著的自變量，并對(duì)方程中的老變量逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，把變?yōu)椴伙@著的變量逐個(gè)從方程中剔除掉，最終得到的方程中既不漏掉對(duì)影響顯著的變量，又

12、不包含對(duì)影響不顯著的變量。(2)篩選的步驟：首先給出引入變量的顯著性水平和剔除變量的顯著性水平，然后按下圖篩選變量。(3)逐步篩選法的基本步驟逐步篩選變量的過(guò)程主要包括兩個(gè)基本步驟：一是從不在方程中的變量考慮引入新變量的步驟；二是從回歸方程中考慮剔除不顯著變量的步驟。假設(shè)有p個(gè)需要考慮引入回歸方程的自變量. 設(shè)僅有截距項(xiàng)的最大似然估計(jì)值為。對(duì)p個(gè)自變量每個(gè)分別計(jì)算Score檢驗(yàn)值，設(shè)有最小p值的變量為，且有，對(duì)于單面化(dummy)變量，也如此。若，則此變量進(jìn)入模型，不然停止。如果此變量是名義變量單面化(dummy)的變量，則此名義變量的其它單面化變量也進(jìn)入模型。其中為引入變量的顯著性水平。 為了確定當(dāng)變量在模型中時(shí)其它p-1個(gè)變量也是否重要，將分別與進(jìn)行擬合。對(duì)p-1個(gè)變量分別計(jì)算Score檢驗(yàn)值，其p值設(shè)為。設(shè)有最小p值的變量為，且有.若，則進(jìn)入下一步，不然停止。對(duì)于單面化變量，其方式如同上步。 此步開始于模型中已含有變量與。注意到有可能在變量被引入后，變量不再重要。本步包括向后刪除。根據(jù)(2.1)計(jì)算變量與的Wald檢驗(yàn)值，和相應(yīng)的p值。設(shè)為具有最大p值