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文檔簡介
1、連續(xù)小波變換(1)連續(xù)小波基函數(shù)所謂小波(Wavelet),即存在于一個(gè)較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是:設(shè)為一平方可積函數(shù),即,若其傅立葉變換滿足: (2-1) 時(shí),則稱為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù),并稱式(2-1)是小波函數(shù)的可容許條件。根據(jù)小波函數(shù)的定義,小波函數(shù)一般在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集,即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍,這即所謂“小”的特點(diǎn);另一方面,根據(jù)可容許性條件可知,即直流分量為零,因此小波又具有正負(fù)交替的波動(dòng)性。將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移,設(shè)其伸縮因子(亦稱尺度因子)為,平移因子為,并記平移伸縮后的函數(shù)為,則: (2-2) 并稱為參數(shù)和小波基函數(shù)。由于和均取連續(xù)變換的
2、值,因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù),它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。定義小波母函數(shù)的窗口寬度為,窗口中心為,則可以求得連續(xù)小波基函數(shù)的窗口中心及窗口寬度分別為: (2-3) 設(shè)是的傅立葉變換,頻域窗口中心為,窗口寬度為,的傅立葉變換為,則有: (2-4) 所以此時(shí)頻域窗口中心及窗口寬度分別為: (2-5)由此可見,連續(xù)小波的時(shí)、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數(shù),均隨著的變化而伸縮,并且還有 (2-6)即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的,這正是Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理。(2)連續(xù)小波變換將空間的任意函數(shù)在小波基下進(jìn)行展開,稱其為函數(shù)的連續(xù)小波變換CWT,變換式為: (2-7
3、)當(dāng)小波的容許性條件成立時(shí),其逆變換為: (2-8) 其中為的容許性條件。另外,在小波變換過程中必須保持能量成比例,即: (2-9)由CWT的定義可知,小波變換和傅立葉變換一樣,也是一種積分變換,其中為小波變換系數(shù)。可見小波變換對(duì)函數(shù)在小波基上的展開具有多分辨率的特性,這種特性正是通過縮放因子和平移因子來得到的。根據(jù)、的不同,可以得到小波變換下不同時(shí)、頻寬度的信息,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的局部化分析。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì): 線性性:一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。 平移不變性:若的小波變換為,則的小波變換為。 伸縮共變性:若的小波變化為,則的小波變換為 自相似性:對(duì)應(yīng)于不同
4、尺度因子和不同平移因子的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。 冗余性:連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度(redundancy),小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映,它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:由于連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說,信號(hào)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對(duì)應(yīng)的。小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù)并不是唯一的,即存在許多可能的選擇。小波的選擇并不是任意的,也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的,即在一個(gè)很小的區(qū)間之外,函數(shù)值為零,函數(shù)具有速降特性,以便獲得空間局域化。另外,它還要滿足平均值為零。也就是說,小波應(yīng)具有振蕩性,而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。一個(gè)一維函數(shù)的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù),變量比多一個(gè),因此稱連續(xù)小波變換是超完備的,因?yàn)樗蟮拇鎯?chǔ)量和它代表的信息量都顯著增加了。對(duì)于變量超過一個(gè)的函數(shù)來說,這個(gè)變換的維數(shù)也將增加。若是一個(gè)二維函數(shù),則它的連續(xù)小波變
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