初中數(shù)學(xué)各種公式.

1、數(shù)學(xué)各種公式及性質(zhì)1. 乘法與因式分解1(a + b)(a b) = a2 b2;(ab)2= a22ab + b2;(a + b)(a2 ab + b2) = a3+ b3;223322222(a b)(a + ab + b )= a3 b3; a + b = (a + b) 2ab ; (a b) = (a + b) 4ab。2. 冪的運算性質(zhì)4. 三角不等式|a|-|b| |a b| |a|+|b| （定理）；加強條件：|a|-|b|弓 a 3|w也 a|+|b|成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式（其中 a, b 分別 為向量 a 和向量 b）|a+b| w|a|+|b|; |a-

2、b| w|a|+|b|; |a| b-Wa w；b|a-b| |a|-|b|-|a| o o,b b初)。當(dāng)厶0 時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)厶=0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根；2若方程有兩個實數(shù)根xi和 X2,則二次三項式 ax2+ bx + c 可分解為 a（x - xi）（x -X2）3以 a 和 b 為根的一元二次方程是x2- （a + b）x + ab = 0。7.次函數(shù)一次函數(shù) y = kx + b（k 工 0）的圖象是一條直線（b 是直線與 y 軸的交點的縱坐標，稱為截距）。1當(dāng) k0 時，y 隨 x 的增大而增大（直線從左向右上升）;2當(dāng) kv0 時，y 隨 x 的增大而減

3、小（直線從左向右下降）;3特別地：當(dāng) b = 0 時，y = kx（k 工 0）又叫做正比例函數(shù)（y 與 x 成正比例），圖象必過原點。 8 反比例函數(shù)反比例函數(shù) y = ?k 工 0）的圖象叫做雙曲線。1當(dāng) k0 時，雙曲線在一、三象限（在每一象限內(nèi)，從左向右降）;2當(dāng) kv0 時，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）。9.二次函數(shù)（1） .定義：一般地，如果 y _ ax2bx c（a,b, c 是常數(shù)，a - 0），那么y叫做 x 的二次函數(shù)。（2） .拋物線的三要素： 開口方向、對稱軸、頂點。a 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a 0時，開口向上；當(dāng)a0時，開口向下；a ,相

4、等，拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于y軸（或重合）的直線記作x - h.特別地，y軸記作直線x - 0（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y ax2當(dāng)a 0時x二0(y軸)(0,0)y =ax2 +kx=0(y軸)(0,k)y a x h2x冷(h,0)y a x(h J+kx冷(h,k)y =ax2+bx +c-bx -一2ab 4ac- b2t-，)2a4a（4）.求拋物線的頂點、對稱軸的方法公式法:2 y y二ax bx c二a xk 2a .2b4ac b2，二頂點是（4a上4ac b2），對稱軸是2a 4a直線xb。2a配方法：運用配方的方法

5、，將拋物線的解析式化為y -a x h -2k 的形式，得到頂點為（h,k），對稱軸是直線x = h。運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。xiX2若已知拋物線上兩點（Xi, y）、（X2, y）（及 y 值相同），則對稱軸方程可以表示為：x -2V二+ +（5）.拋物線ax2bXc中，a, b,c的作用1a 決定開口方向及開口大小，這與y ax2中的 a 完全一樣。2b和 a 共同決定拋物線對稱軸的位置由于拋物線 y - ax2x二一一，故：b二0時，對稱軸為y軸；0（即2a左側(cè)；一 0（即a3c 的大小決定拋物線ab異號）時，對稱軸在y軸右側(cè)

6、bx -c 的對稱軸是直線。b同號）時，對稱軸在y軸y -ax2bxc 與y軸交點的位置。當(dāng)x L時，y c,拋物線 yc=ax2+bx*c與 y 軸有且只有一個交點（0,c）:0,拋物線經(jīng)過原點；c：0，與y軸交于正半軸； c 0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則（6）.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：yax2bx c .已知圖像上三點或三對t2*k .已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式。x 軸的交點坐標 xx X2,通常選用交點式：y a x xixy的值，通常選擇一般式2頂點式：y _a x h3交點式：已知圖像與（7）.直

7、線與拋物線的交點1y軸與拋物線 y ax2bx c 得交點為（0, c ）。2拋物線與 X 軸的交點。二次函數(shù) y - ax2bx c 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標ax2bx c 0的兩個實數(shù)根.拋物線與 x 軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判疋：a 有兩個交點（b 有一個交點（頂點在c 沒有交點 J平行于x軸的直線與拋物線的交點X1、X2X2，是對應(yīng)一元二次方程10 ）拋物線與 x 軸相交；x 軸上）（0）拋物線與 x 軸相切;拋物線與 x 軸相離。同一樣可能有 0 個交點、1 個交點、2 個交點.當(dāng)有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等， 設(shè)縱坐標為k，則橫坐標是ax2

8、bX c k-的兩個實數(shù)根。4一次函數(shù) y - kX n k - 0 的圖像I與二次函數(shù) y ax2bx c a - 0 的圖像G的交點，由的解的數(shù)目來確定: 2 y - axbX ca 方程組有兩組不同的解時 -l與G有兩個交點;b 方程組只有一組解時；:l與G只有一個交點;c 方程組無解時 二I與G沒有交點。5拋物線與 x 軸兩交點之間的距離：若拋物線 y -ax2bx c 與 x 軸兩交點為 A x , B x ,，貝 I1020AB10 統(tǒng)計初步(1 )概念：所要考察的對象的全體叫做 總體，其中每一個考察對象叫做 個體從總體中抽取的 亠部份個體叫做總體的一個 樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做

9、 樣本容量.在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時不止一個)， 叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列， 把處在最中間 的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù).(2)公式：設(shè)有 n 個數(shù) X1, X2, ?, Xn，那么:平均數(shù)為：X =X1+ X2+ + Xn；2極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差二最大值-最小值;3方差：數(shù)據(jù) XI、X2? , Xn的方差為S2,1輊、722一22 X1-X)+(X2- X)+ .+(Xn- X)n臌方程組X1X4標準差：方差的算術(shù)平方根。數(shù)據(jù) X1、X2?, Xn的標準差

10、s, 2一2一2X)+(X2- X)+ +(Xn- X)一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定（1）頻率頻數(shù)頻率=，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于總數(shù)個小長方形的面積為各組頻率。（2）概率如果用 P 表示一個事件 A 發(fā)生的概率，則 0 P （A ） 0 ZA 越大，ZA 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小2余角公式：sin(90o A) = cosA , cos(90o A) = sinA。3特殊角的三角函數(shù)值：si n30o = cos60o = , si n45o = cos45o=sin 60o = cos30o =,tan30o =, tan45o = 1,

11、 tan60o =。 .qhn鉛垂髙度丁丁4斜坡的坡度：i = = 設(shè)坡角為a,貝Ii = tana=。水平寬度13 正（余）弦定理（1 ）正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ;注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑11 頻率與概率1,頻率分布直方圖中各hI正弦定理的變形公式：(1) a=2Rs inA, b=2Rsi nB, c=2Rs inC；(2) sinA : sinB : sine = a : b : c(2)余弦定理 b2=a2+c2-2accosB ; a2=b2+c2-2bccosA ; c2=a2+b2-2abcosC ;注：ZC 所對的邊為 c,ZB 所

12、對的邊為 b,ZA 所對的邊為 a14.三角函數(shù)公式（1）兩角和公式sin (A+B)=sinAcosB+cosAsi nB sin (A-B)=si nAcosB-si nBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)( 2 ) 倍角公式tan2A=2tanA

13、/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a( 3 ) 半角公式si n(A/2)=V-(1cosA)/2) si n(A/2)=-V(1-cosA)/2)cos(A/2)=V(1+cosA)/2) cos(A/2)=-V(1+cosA)/2)tan(A/2)=V-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-V(1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=V(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-V(1+cosA)/(1-cosA)( 4 ) 和差化積sinA+sinB=2s

14、in(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB( 5 ) 積化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)15 平面直角坐標系中的有關(guān)知識

15、(1 )對稱性：若直角坐標系內(nèi)一點P (a, b)，則 P 關(guān)于 x 軸對稱的點為 Pi(a, - b), P 關(guān)于y 軸對稱的點為 P2(- a, b)，關(guān)于原點對稱的點為P3( -a, -b)。(2)坐標平移：若直角坐標系內(nèi)一點 P ( a， b)向左平移 h 個單位，坐標變?yōu)?P (a h，b)，向右平移 h 個單位，坐標變?yōu)?P (a + h, b);向上平移 h 個單位，坐標變?yōu)?P ( a, b + h)，向下 平移 h 個單位，坐標變?yōu)?P(a，b-h) .如：點 A (2，- 1)向上平移 2 個單位，再向右平移 5 個單位，則坐標變?yōu)锳(7，1)。16 多邊形內(nèi)角和公式多邊形

16、內(nèi)角和公式：n 邊形的內(nèi)角和等于(n 2)180o (n3, n 是正整數(shù))，外角和等于360o17 平行線段成比例定理1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例如圖：a II b II c,直線 Ii與 12分別與直線 a、b、c 相交與點 A、B、C 和 D、E、F,則有ABBCDE ABDE BC EF。=- J- -5-EF ACDF AC DF(2 )推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例19.圓的有關(guān)性質(zhì)(1)垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì):3平分弦；平分弦所對的劣??；平分弦所對的優(yōu)弧，那么

17、這條直線就具有另外三個性質(zhì)注：具備，時，弦不能是直徑。(2)兩條平行弦 所夾的弧相等。(3)圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。(4)一條弧所對的 圓周角 等于它所對的 圓心角的一半。如圖： ABC 中，DEIIBC，DE與 AB、AC 相交與點 D、E,則有:18.直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理：貝 U 有：(1)CD2-AD BD如圖:RtABC中，ZACB=90,CD丄AB(2)AC2- AD AB(3)BC2- BD AB經(jīng)過圓心；垂直弦;AD二AE_AL -=DE_DB_ =_EC_ DB EC ABAC BC AB AC(5)圓周角等于它所對的弧的度數(shù)的一半。(6)同弧

18、或等弧所對的圓周角相等。(7)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的 弧相等。(8)90o 的圓周角所對的弦是 直徑，反之，直徑所對的圓周角是90o，直徑是最長的弦。、(9)圓內(nèi)接四邊形的對角互補厶 ABC 的周長為1,面積為 S，其內(nèi)切圓的半徑為 r，則21.弦切角定理及其推論為弦切角。推論：弦切角等于所夾弧所對的圓周角(作用證明角相等)22.相交弦定理、割線定理和切割線定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等。如圖，即：PA PB = PC PD(2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相20.三角形的內(nèi)心與外心(1)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點。(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心三角形的外心就是三邊中垂線的交點.常見結(jié)論：Rt ABC 的三條邊分別為:a、b、c(c 為斜邊)，則它的內(nèi)切圓的半徑(1)弦切角：頂點在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：/PAC(2)弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。如果 AC 是OO 的弦，PA 是OO 的切線，A 為切點，則1PAC 二一2