由遞推公式求通項(xiàng)公式典型例題素材

1、如何由遞推公式求通項(xiàng)公式高中數(shù)學(xué)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是高考的熱點(diǎn)之一，是一類(lèi)考查思維能力的題型，要求考生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理。找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊到一般；化歸轉(zhuǎn)換思想，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，達(dá)到化陌生為熟悉的目的。F面就遞推數(shù)列求通項(xiàng)的基本類(lèi)型作一個(gè)歸納，以供參考類(lèi)型一an+an=f(n)或史r=g(n)an分析：利用迭加或迭乘方法。即:an=(anan)+(an-i-an_2)+(a2-a1)+a1anan-ia2取an=aian-ian-2ai例1.(1)已知數(shù)列an滿(mǎn)足ai=1,an+i=an+上，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2nn(2

2、)已知數(shù)列an滿(mǎn)足ai=i,sn=_(nian,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2解：（i）由題知:iiiianT-an=-2=二一一n-nn(ni)nni(2)；2sn=(ni)an兩式相減得：2an=(n,i)an-nan_i(n_2)即：三二°(n.2)an_in-i類(lèi)型二：an+=pan+q(其中p,q為常數(shù)，pq(p-i)#0)分析：把原遞推公式轉(zhuǎn)為：an+1-t=p（an-t）,其中t=q,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比i-P數(shù)列求解。例2.已知數(shù)列an中，a=i,an書(shū)=2an+3,求Qn）的通項(xiàng)公式。解：由an+=2an+3可轉(zhuǎn)化為：即 an =2令bn=an+3,貝1Jbi=ai+3

3、=4且bn+i=2bn-3類(lèi)型三：an甲=pan+f(n)(其中p為常數(shù))分析：在此只研究?jī)煞N較為簡(jiǎn)單的情況，即f(x)是多項(xiàng)式或指數(shù)哥的形式。(1) f(x)是多項(xiàng)式時(shí)轉(zhuǎn)為an+i+A(n+1)十B=p(an十An+B),再禾I用換元法轉(zhuǎn)為等比數(shù)列(2) f(X)是指數(shù)哥：an41:panrqn1(pqr=0)若p=q時(shí)則轉(zhuǎn)化為*=$十r,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列qq若p/q日寸則轉(zhuǎn)化為an+1+tqn*=p(an+tqn),其中t=qp-q例3.(1)設(shè)數(shù)列國(guó)中，a1=1,an+1=3an+2n+1,求an的通項(xiàng)公式。(2)設(shè)數(shù)歹)母中,a=1,an+=3an+2n,求an的通項(xiàng)公式。解

4、：(1)設(shè)an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)與原式比較系數(shù)得：2A=2=A=12B-A=1B=1即an1(n1)1=3(ann1)令bn=an+n+1,貝1Jbn+1=3bn且b1=a+1+1=3(2)設(shè)an+t2n*=3(an+t2n)展開(kāi)后得：an=3an2n對(duì)比得：t=1令bn=an+2n,貝1Jbn由=3bn,且b1=a1+21=3類(lèi)型四：an1)panr(p0,an0)分析：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后得：lgan+1=rlgan+lgp,再采用類(lèi)型二進(jìn)行求解。例4.設(shè)數(shù)列母>中，a1=1,an七=2a：(a>0),求外的通項(xiàng)公式。a解：由an+1=1an2,兩邊取對(duì)數(shù)得：a1設(shè)lgan+1+t=2(lgan+t)展開(kāi)后與上式對(duì)比得：t=lg-a人11令bn=(lgan+lg),貝Ubn+1=bn,且b1=lgaan1-11_nd.1bn=2lg，RPlgan+lg=2lgaaa也即an二a12nL類(lèi)型五：an.1=f(n)ang(n)anh(n)分析：這種類(lèi)型一般是等式兩邊取倒數(shù)后再換元