三角形的中線、高線、角平分線

1、.三角形的中線、高線、角平分線【考點精講】三角形的重要線段定義圖形表示法說明三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段。1. AD是ABC的BC邊上的高線。2. ADBC于D。3. ADB=ADC=90°。三角形有三條高，且它們或它們的延長線相交于一點，這個交點叫做三角形的垂心。三角形的中線三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段。1. AD是ABC的BC邊上的中線。2. BD=DC=BC。三角形有三條中線，都在三角形的內(nèi)部，且它們相交于一點，這個交點叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形的內(nèi)部。三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交

2、，連接這個角的頂點與交點之間的線段。1. AD是ABC的BAC的平分線。2. 1=2=BAC。三角形有三條角平分線，都在三角形的內(nèi)部，且它們相交于一點，這個交點叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部?！镜淅觥坷}1 如圖，是甲、乙、丙、丁四位同學(xué)畫的鈍角ABC的高BE，其中畫對的是_。甲 乙 丙 丁思路導(dǎo)航：根據(jù)三角形的高是過一個頂點向?qū)呉咕€，頂點與垂足之間的線段是該三角形的高，對各圖形作出判斷。答案：丁點評：這是學(xué)生在畫圖時的一個易錯點，通過此題理解畫高時的兩個注意點：一是過哪個點；二是垂直于哪條邊。這道題是過B點，垂直于AC邊。例題2 等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長

3、分成12cm和21cm兩部分，那么這個等腰三角形的底邊長是_。思路導(dǎo)航：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和條件求出腰長和底邊長，然后根據(jù)三邊關(guān)系進展討論，即可得出結(jié)論。答案：設(shè)等腰三角形的腰長是xcm，底邊是ycm。根據(jù)題意，得：或，解得：或根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知：8，8，17不能組成三角形，應(yīng)舍去。所以它的底邊是5cm。點評：此題考察了等腰三角形的性質(zhì)；解題中，因為兩部分的周長沒有明確，所以首先要分兩種情況考慮。最后一定要注意檢查結(jié)果是否符合三角形的三邊關(guān)系。分類討論是解題的關(guān)鍵。例題3 如圖，D為ABC中BC邊上的任意一點不與B、C重合，AE和AF分別是ABD和ACD的角平分線。求證：EAF =BA

4、C。思路導(dǎo)航：從三角形的角平分線的定義，你能得到什么呢？AE是ABD的角平分線，得到3=4=BAD；AF是ACD的角平分線，得到1=2=CAD。從需要求證的EAF我們想到它等于3+2，再通過計算，就可以得到結(jié)論。答案：AE和AF分別是ABD和ACD的角平分線，3=4=BAD，1=2=CAD，3+2=BAD+CAD=BAD+CAD=CAB，來源:即EAF =BAC。點評：三角形的角平分線和角的平分線的用法是一樣的，但是它們的概念本質(zhì)不一樣，三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線。例題4 有一塊三角形綠地，如今要把它分成面積相等的四塊三角形，請你設(shè)計一個可行的方案，并畫出示意圖。思路導(dǎo)

5、航：根據(jù)“等同底等同高的三角形面積相等，結(jié)合三角形的中線、等分點的定義去設(shè)計方案。答案：如圖所示：先找出AC的中點D，再連接DB，再找出DB的中點E，連接AE、CE，就可以把三角形的綠地分成面積相等的四塊；如圖所示：先找出AB的中點D，再連接DC，再找出DC的中點E，連接AE，找到BC的中點F，連接DF，就可以把三角形的綠地分成面積相等的四塊。圖 圖點評：此題屬于方案設(shè)計類問題。本質(zhì)是把一個三角形分成面積相等的四個三角形，“等同底等同高的三角形面積相等是根本根據(jù)，還有很多方案，只要滿足條件均可。如以下圖所示：【總結(jié)提升】三角形的高、中線和角平分線是三角形的三種重要線段，它們都分別交于一點，且三

6、角形的三條中線和三條角平分線都分別交于三角形的內(nèi)部；而銳角三角形三條高線都在三角形的內(nèi)部且相交于一點；直角三角形有兩條高分別與兩直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們交于直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，一條高在三角形的內(nèi)部，三條高所在直線交于三角形外一點。同步測試三角形的中線、高線、角平分線一、選擇題*1. 等腰三角形的底邊長為5cm，一腰上的中線把原三角形的周長分成兩部分，其差為3cm，那么腰長為 A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 3cm*2. 以下四個圖形是四位同學(xué)畫鈍角ABC的高AD的示意圖，其中正確的選項是 A. B. C. D. *3. 以下表達中錯

7、誤的一項為哪一項 A. 三角形的中線、角平分線、高都是線段B. 三角形的三條高線中至少存在一條在三角形內(nèi)部C. 只有一條高在三角形內(nèi)部的三角形一定是鈍角三角形D. 三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部*4. 如圖，三角形ABC中，AD平分BAC，EGAD，且分別交AB、AD、AC及BC的延長線于點E、H、F、G，以下四個式子中正確的選項是 A. B. C. D. 二、填空題5. 如圖，在ABC中，D是BC邊上一點，且BD：DC=2：1，ACD的面積為4，那么ABC的面積為_。*6. 如圖，在ABC中，AD是ABC角平分線，DE是ADC的高線，B60°，C45°，那么ADE的度

8、數(shù)為_。*7. 如圖，在ABC中，ABC的平分線與ACB的平分線相交于點O,那么BOC與A的關(guān)系是 A. BOC 100°A B. BOC 90°A C. BOC 90°A D. BOC 90°A 三、解答題*8. 如下圖，在ABC中，D、E分別是BC、AD的中點，SABC=4cm2，求SABE。*9. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，求B的度數(shù)。參考答案三角形的中線、高線、角平分線1. B 解析：設(shè)腰長為acm，那么根據(jù)題意有：a+5=3或+5a+=3，解之得：a=8或a=2。但當a=2時，2+

9、2<5，應(yīng)舍去。2. D 解析：A中AD不垂直于BC，不符合題意；B中AD應(yīng)是線段，不符合題意；C中點D應(yīng)為垂足，不符合題意；D中高AD交BC的延長線于點D處，符合題意。3. C 解析：只有一條高在三角形內(nèi)部的三角形，除了鈍角三角形還有直角三角形。4. C 解析：因為EGAD，交點為H，AD平分BAC，所以在直角三角形AHE中，190°。在三角形ABC中，易知BAC180°23，所以190°180°23=3+2。又因為1是三角形EBG的外角，所以12G。所以G123+2232。5. 12 解析：等高的兩個三角形面積的比等于底的比，因為ACD的面積為

10、4，所以三角形ABC的面積等于12。6. 52.5° 解析：在ABC中，B60°，C45°，所以BAC=180°BC180°60°45°=75°，又AD是ABC角平分線，所以DAE=×75°=37.5°，在ADE中，AED=90°，所以ADE=180°90°DAE=180°90°37.5°=52.5°7. B 在ABC中，ABCACBA180°，所以ABCACB180°A。因為ABC的平分線與ACB的平分線相交于點O,所以1ABC,2ACB。在BOC中，BOC180°12 180°ABCACB180°ABCACB180°180°A90°A，故BOC90°A。8. 1 cm2 解析：因為D為ABC中BC邊中點，所以ABD和ADC面積相等，都是2 cm2，因