中國古代的無窮小分割思想

1、.中國古代的無窮小分割思想自然科學(xué)史研究所郭書春談到古代數(shù)學(xué)的無窮小分割思想，人們便把目光投向古希臘的窮竭法。實際上，古希臘的數(shù)學(xué)家并沒有使用無窮小分割和極限思想，他們的分割總是有一個剩余，最后用雙重歸謬法證明的命題。在微積分孕育時期的面積元素法產(chǎn)生之前，真正在數(shù)學(xué)證明中使用無窮小分割和極限思想的是中國數(shù)學(xué)家，首先是劉徽，后來是祖沖之父子。無窮小分割思想的萌芽像古希臘思想家提出了物質(zhì)無限可分的假設(shè)干命題一樣，中國在先秦也產(chǎn)生了無窮小分割的假設(shè)干命題。如?莊子·天下篇?引用名家的命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。墨家著作?墨子·經(jīng)下?：“非半弗那么不動，說在端。?經(jīng)說下?

2、解釋道：“非，半，進前取也，前那么中無為半，猶端也。前后取，那么端中也。必半，毋與非半，不可也。顯然，墨家和名家的命題是不同的。名家認為無限分割的過程永遠不會結(jié)束，類似于古希臘的潛無限；墨家認為無限分割的結(jié)果終究會到達一個不可再割的端，是一種實無限思想。?莊子·秋水篇?借河神和北海神的對話也闡述了無窮小分割思想。“河伯曰：世之議者皆曰：“至精無形，至大不可圍。是信情乎？北海假設(shè)曰：夫自細視大者不盡，自大視細者不明。夫精，小之微也；垺，大之殷也；故異便。此勢之有也。夫精粗者，期于有形者也；無形者，數(shù)之所不能分也；不可圍者，數(shù)之所不能窮也。這里說的至精無形、無形不能分的思想，和墨家不可的

3、思想接近。漢司馬遷?史記·酷吏列傳?以“破觚而為圜比喻漢廢除秦的嚴刑苛法。破觚為圓含有樸素的極限思想，大約是司馬遷從工匠加工圓形器物化方為圓、化直為曲的理論中總結(jié)出來的。這些命題對后來數(shù)學(xué)中的無窮小分割思想有深化影響。劉徽的割圓術(shù)漢代?九章算術(shù)?提出了正確的圓面積公式：“術(shù)曰：半周半徑相乘得內(nèi)接正6邊形的周長代替圓局長L，以圓內(nèi)接正12邊形面積代替圓面積S，把正12邊形拼補成一個以正6邊形周長的一半作為長、圓半徑r作為寬的長方形來推證上述公式的。劉徽說這“合徑率一而外周率三也，極不嚴格。為了真正證明圓面積公式，他創(chuàng)造了著名的割圓術(shù)。劉徽從圓內(nèi)接正6邊形開場割圓，依次得到圓內(nèi)接正6&#

4、215;2、6×22、邊形。顯然，圓內(nèi)接正6×2n邊形的面積SnS。然而，隨著分割越來越細，SSn越來越小，“割之又割，以致于不可割，那么與圓周合體邊和圓周之間有一段間隔 ，稱作“余徑，把每邊長乘余徑，總和是2Sn+1Sn，加到Sn上，那么Sn2Sn+1SnS。然而當(dāng)n無限大時，6×2n邊形和圓周合體，表徑等于零，所謂“表無余徑，它的上界序列和下界序列的極限都是圓面積。最后，劉徽把和圓合體的正多邊形分割成無窮多個以圓心作為頂點、以每邊的長作為底的小等腰三角形，由于以圓的半徑乘每邊的長是每個小三角形面積的二倍，求這些小三角形面積的總和，即圓半徑乘圓周長，就是圓面積的

5、二倍：Lr2S，所以S而為圓冪，完成了證明。顯然，這里含有明顯的極限過程和無窮小分割并求它的總和的思想，和面積元素法非常接近。劉徽批評了以往學(xué)者沿襲周三徑一的錯誤，認為上述公式中的“周徑，謂至然之?dāng)?shù)，非周三徑一之率也。為了正確使用這一公式，必須求出這個“至然之?dāng)?shù)，即周徑相比之率，就是如今所謂圓周率。劉徽從直徑2尺的圓的內(nèi)接正6邊形開場割圓，依次求出正6×2、6×22、6×23、6×24邊形的邊長和6×25邊形的面積，取圓內(nèi)接正6×25邊形面積S5的整數(shù)部周長近似值是628分，和直徑2尺相約，得周率157，徑率50，相當(dāng)于劉徽原理?九章

6、算術(shù)?給出了陽馬直角四棱錐的體積公式和鱉臑四面都是勾股形的四面體的體積公式其中a、b、h分別是長、寬、高。在劉徽之前，對abh的特殊情形，由于一個正方體可以分解成為三個全等的陽馬，或六個三三全等兩兩對稱的鱉臑，人們?nèi)菀子闷弪灧右宰C明。但是，當(dāng)abh時，“鱉臑殊形，“陽馬異體，用棋驗法“那么難為之矣。為了證明1、2式，必須另辟蹊徑。劉徽首先提出了一個重要原理：把一個塹堵把一個長方體沿相對兩棱斜剖，便得兩塹堵分解為一個陽馬和一個鱉臑，“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。即在一個塹堵中，恒有VyVb21。3吳文俊氏把它稱作“劉徽原理見本書第92頁。顯然，只要證明了劉喻的。劉徽創(chuàng)造了如下的方法證明3式

7、：如圖，用三個互相垂直的平面分別平分塹堵的長、寬、高，那么：其中的陽馬被分割成一個小長方體，兩個小塹堵、，兩個小陽馬、；鱉臑被分割成兩個小塹堵、，兩個小鱉臑、。顯然，小塹堵和、和分別可以拼成和全等的小長方體；小陽馬和小鱉臑、小陽馬和小鱉臑分別是兩個小塹堵，又可以拼成第四個全等的小長方體。在小長方體、中，屬于陽馬的和屬于鱉臑的體積的比是21，所謂“別種而方者率居三，即在其中兩小塹堵的構(gòu)造和原塹堵完全相似，所謂“通其體而方者率居一。顯然，上述分割過程完全可以繼續(xù)在剩余的兩個小塹堵中施行，又可以證明在之，安取余哉？就是在整個塹堵中證明了3式。劉徽之前，人們所使用的棋驗法，無需知道陽馬、鱉臑的體積公式

8、，并且無法證明各種多面體的一般體積公式。劉徽卻在首先解決了長方體、塹堵、陽馬、鱉臑的體積公式之后，把其他多面體分割成有限多個長方體、塹堵、陽馬、鱉臑，求它們的體積的和來解決這些多面體的體積問題。劉徽說：“不有鱉臑，無以審陽馬之?dāng)?shù)，不有陽馬，無以知錐亭之類，功實之主也。這種把多面體體積理論建立在陽馬、鱉臑根底上的思想，也就是建立在無窮小分割根底上的思想，和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體積理論驚人地一致。劉徽在公元三世紀就開場考慮十九世紀困擾著高斯、希耳伯特等數(shù)學(xué)大師的課題：四面體體積的解決不借助于無窮小分割是不可能的。劉徽的奉獻受到1985年法國布爾巴基學(xué)派舉行的希耳伯特第三問題學(xué)術(shù)討論會的頌揚，是當(dāng)之無愧的。祖

9、暅原理和球體積唐季淳風(fēng)等注釋?九章算術(shù)?時所引祖暅開立圓術(shù)提出了一條重要原理：“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，那么積不容異。就是說：同高的兩立體假如等高處的截面積恒相等，那么它們的體積一定相等。如今稱它作“祖暅原理，它在西方稱卡瓦列里原理公元1635年。更一般地，假如同高的兩立體等高處的截面積恒成定比，那么它們的體積必成定比。這一原理是中國古代解決體積問題的另一重要理論，實際上是另一種形式的無窮小分割。有證據(jù)說明，早在?九章算術(shù)?時代，人們就通過比較圓錐和方錐、圓臺和方臺的底面積，由后者推得前者的體積公式，程度大體和歐幾里得?幾何本來?的有關(guān)闡述相仿佛。劉徽的認識卻進了一大步。他認識到，不僅要比較

10、底面積，而且要比較任意等高處的截面積。這在羨除術(shù)注中表述得特別清楚。他為理解決羨除一種楔形體的體積，需要從長方錐分割出一種特殊的鱉臑仍是四面體并求它的體積，于是劉徽提出了“上連無成不方，故方錐與陽馬同實的原理。“成就是“層，這是說，同底等高的方錐和陽馬每一層都是相等的方形，所以它們的體積相等。聯(lián)絡(luò)到劉徽割圓時會到達不可割的境地的思想，我們認為劉徽是把立體看成由不可再分的薄片疊合而成的，后來卡瓦列里的不可分量和這類似。正是基于這一認識，劉徽明確提出了圓錐和外切方錐、圓臺和外切方臺的體積的比是4，并指出了?九章算術(shù)?所蘊涵的球體積公式139的錯誤，錯誤的原因在于誤以為球和它的外切圓柱的體積的比是4

11、。他用球的兩個外切圓柱體正交，它們的公共部分稱做“牟合方蓋，指出球和外切牟合方蓋的體積的比才是4。顯然，只要求出牟合方蓋的體積，那么球體積便迎刃而解。劉徽功虧一簣，未能求出牟合方蓋的體積，但是他坦誠地記下了自己的困惑，表示“敢不闕疑，以俟能言者，表現(xiàn)了一位偉大學(xué)者實事求是、寄希望于后學(xué)的坦蕩胸懷。二百年后的祖暅深化研究了球的外切正方體中用兩個正交圓柱切割出牟合方蓋后的剩余部分。他考慮這剩余部分的八分之一，在正方體內(nèi)而在牟合方蓋外的部分被切割成了三塊，叫作外三棋。他利用勾股定理等知識，求出外三棋的每一層的截面積的和都等于一個倒置的長、寬、高都等于球半徑的陽馬的等高處的截面積。由祖暅原理，外三棋的

12、體積等于這倒置陽馬的體外三棋的每一塊截面積的變化都不是線性的，然而它們同一截面的截面積的和的變化卻是線性的。祖暅在應(yīng)用后來以他的名字命名的原理上比劉徽更加靈敏，認識也更加深化。李善蘭的尖錐求積術(shù)劉徽、祖沖之父子之后一千多年間，我國的無窮小分割思想沒有什么新的進展。直到清代中葉以后，明安圖在研究三角函數(shù)冪級數(shù)展開式時提出“析之至于無窮的思想，項名達、戴煦18051860的橢圓求周的計算方法符合橢圓積分法的原那么，并重新涉及這個領(lǐng)域。而最值得稱道的是李善蘭18111882于清道光二十五年公元1845年發(fā)表的?方圓闡幽?、?弧矢啟秘?、?對數(shù)探源?這三種關(guān)于三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式

13、的研究成果。其中的尖錐求積術(shù)提出了幾個相當(dāng)于定積分公式的命題，如“當(dāng)知諸尖錐有積疊之理，表示當(dāng)0xh時，xn的平面積疊成一尖錐體，而由平面積axn積疊起來的尖錐體高h，底面積ah2，它的合并成為一個尖錐，相當(dāng)于定積分李善蘭用尖錐求積術(shù)解決了許多問題。以圓面積的計算為例。如圖，考慮直徑是2的圓和它的外切正方形的四分之一，分別是OAQC和OABC。方內(nèi)圓外的部分是一平面尖錐ABCQ，它由ABD、ADE、AEF、AFG、等無限個平面尖錐組成。諸尖錐的底。令x1，上列級數(shù)的各項就是諸尖錐的底BD、DE、EF、。根據(jù)尖錐求積術(shù)，方內(nèi)圓外的部分的面積是要練說，得練看?？磁c說是統(tǒng)一的，看不準就難以說得好。練

14、看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察才能，擴大幼兒的認知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動中，積累詞匯、理解詞義、開展語言。在運用觀察法組織活動時，我著眼觀察于觀察對象的選擇，著力于觀察過程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀察才能和語言表達才能的進步。從而圓面積是課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個人搜集,每天往筆記本上抄寫,老師定期檢

15、查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多那么名言警句,日積月累,終究會成為一筆不小的財富。這些成語典故“貯藏在學(xué)生腦中,自然會出口成章,寫作時便會隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。我國古代的讀書人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識記幾千個漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語文教學(xué)效果差,中學(xué)語文畢業(yè)生語文程度低,十幾年上課總時數(shù)是9160課時,語文是2749課時,恰好是30%,十年的時間,二千七百多課時,用來學(xué)本國語文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中程度以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問題分析問題解決問題,但真正動起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦