第一章　第三節(jié)全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞

1、第三節(jié)全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞1全稱量詞與全稱命題(1)“所有”、“每一個”、“任何”、“任意一條”、“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞(2)含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題2存在量詞與特稱命題(1)“有些”、“至少有一個”、“有一個”、“存在”都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞(2)含有存在量詞的命題叫作特稱命題3全稱命題與特稱命題的否定(1)要說明一個全稱命題是錯誤的，只需找出一個反例就可以了，實際上是要說明這個全稱命題的否定是正確的全稱命題的否定是特稱命題(2)要說明一個特稱命題“存在一些對象滿足某一性質(zhì)”是錯誤的，就要說明所有的對象

2、都不滿足這一性質(zhì)實際上是要說明這個特稱命題的否定是正確的，特稱命題的否定是全稱命題4邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞通常是指“且”、“或”、“非”(2)命題p且q，p或q，綈p的真假判斷.pqp且qp或q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真1對于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再寫出命題的否定2p或q的否定易誤寫成“綈p或綈q”；p且q的否定易誤寫成“綈p且綈q”試一試1(2013·四川高考)設(shè)xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集若命題p：任意xA,2xB，則()A綈p：存在xA,2xBB綈p：存在xA,2xBC綈p：存在xA,2xB D綈p：任意

3、xA,2xB解析：選C由命題的否定易知選C，注意要把全稱量詞改為存在量詞2若ab0，則a0或b0，其否定為_答案：若ab0，則a0且b01含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假判斷：(1)p且q中一假即假(2)p或q中一真必真(3)綈p真，p假；綈p假，p真2含量詞的命題的否定方法是“改量詞，否結(jié)論”，即把全稱量詞與存在量詞互換，然后否定原命題的結(jié)論3判斷命題的真假要注意：全稱命題為真需證明，為假舉反例即可；特稱命題為真需舉一個例子，為假則要證明全稱命題為真練一練1(2013·重慶高考)命題“對任意xR，都有x20”的否定為()A對任意xR，都有x2<0 B不存在xR，使得x2<0C存在x

4、R，使得x20 D存在xR，使得x2<0解析：選D全稱命題的否定為特稱命題，所以答案為D.2已知命題p：存在xR，x22，命題q是命題p的否定，則命題p、q、p且q、p或q中是真命題的是_解析：p是真命題，則q是假命題答案：p、p或q考點一全稱命題與特稱命題的真假判斷1.(2014·皖南八校聯(lián)考)下列命題中，真命題是()A存在xR，sin2cos2B任意x(0，)，sin x>cos xC任意x(0，)，x21>xD存在xR，x2x1解析：選C對于A選項：任意xR，sin2cos21，故A為假命題；對于B選項：存在x，sin x，cos x，sin x<cos

5、 x，故B為假命題；對于C選項：x21x2>0恒成立，C為真命題；對于D選項：x2x12>0恒成立，不存在xR，使x2x1成立，故D為假命題2已知函數(shù)f(x)x2bx(bR)，則下列結(jié)論正確的是()A任意bR，f(x)在(0，)上是增函數(shù)B任意bR，f(x)在(0，)上是減函數(shù)C存在bR，f(x)為奇函數(shù)D存在bR，f(x)為偶函數(shù)解析：選D注意到b0時，f(x)x2是偶函數(shù)類題通法全稱命題與特稱命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假假所有對象使命題假否定為真考點二含有

6、一個量詞的命題的否定典例已知命題p：任意x1，x2R，f(x2)f(x1)·(x2x1)0，則綈p是()A存在x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0B任意x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0C存在x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)<0D任意x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)<0解析全稱命題的否定為存在性命題，即若p為“任意xM，q(x)”，則綈p為“存在xM，綈q(x)”，故選C.答案C類題通法全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱

7、量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可針對訓(xùn)練寫出下列命題的否定并判斷其真假：(1)p：不論m取何實數(shù)值，方程x2mx10必有實數(shù)根；(2)p：有的三角形的三條邊相等；(3)p：菱形的對角線互相垂直；(4)p：存在xN，x22x10.解：(1)綈p：存在一個實數(shù)m，使方程x2mx10沒有實數(shù)根因為該方程的判別式m24>0恒成立，故綈p為假命題(2)綈p：所有的三角形的三條邊不全相等顯然綈p為假命題(3)綈p：有的菱形的對角線不垂直顯然綈p為假命題(4)綈p：任意xN，x22x1>0.顯然當(dāng)x1時，x22x1>0不成立，故綈p是假命題考點三含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命

8、題典例(1)(2013·安陽一模)已知命題p：存在xR，使sin x；命題q：任意xR，都有x2x1>0.給出下列結(jié)論：命題“p且q”是真命題；命題“p且綈q”是假命題；命題“綈p或q”是真命題；命題“綈p或綈q”是假命題，其中正確的是()ABC D(2)(2014·濟(jì)寧模擬)已知命題p：關(guān)于x的方程x2ax40有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y2x2ax4在3，)上是增函數(shù)若p或q是真命題，p且q是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A(12，44，)B12，44，)C(，12)(4,4)D12，)解析(1)因為對任意實數(shù)x，|sin x|1，而sin x>1，所以p

9、為假；因為x2x10的判別式<0，所以q為真因而正確(2)命題p等價于a2160，即a4或a4；命題q等價于3，即a12.由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假若p真q假，則a<12；若p假q真，則4<a<4.故a的取值范圍是(，12)(4,4)答案(1)B(2)C保持本例(2)條件不變，若p且q為真，則a的取值范圍為_.解析：p且q為真，p和q均為真a的取值范圍為12，44，)答案：12，44，)類題通法1判斷“p且q”、“p或q”、“綈p”形式命題真假的步驟(1)準(zhǔn)確判斷簡單命題p、q的真假；(2)依據(jù)必會3個方法中的第一個方法判斷“p且q”、“p或

10、q”、“綈p”命題的真假2根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟(1)先根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)；(2)然后再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；(3)最后根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍針對訓(xùn)練1(2014·西安八校聯(lián)考)對于下述兩個命題，p：對角線互相垂直的四邊形是菱形；q：對角線互相平分的四邊形是菱形則命題“p或q”、“p且q”、“綈p”中真命題的個數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：選B容易判斷p、q均為假命題所以“p或q”為假命題，“p且q”為假命題，“綈p”為真命題，故真命題的個數(shù)為1.2(2014·江西盟校聯(lián)考)已知命題p：

11、“任意x0,1，aex”，命題q：“存在xR，x24xa0”，若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A(4，) B1,4Ce,4 D(，1解析：選C“p且q”是真命題，則p與q都是真命題p真則任意x0,1，aex，需ae；q真則x24xa0有解，需164a0，所以a4.p且q為真，則ea4.課堂練通考點1(2014·成都質(zhì)檢)命題“任意xR，都有l(wèi)n(x21)>0”的否定為()A任意xR，都有l(wèi)n(x21)0B存在xR，使得ln(x21)>0C任意xR，都有l(wèi)n(x21)<0D存在xR，使得ln(x21)0解析：選D任意的否定是存在，大于的否定是小于等于

12、2有下列四個命題，其中真命題是()A任意nR，n2nB存在nR，任意mR，m·nmC任意nR，存在mR，m2<nD任意nR，n2<n解析：選B對于選項A，令n即可驗證其不正確；對于選項C、選項D，可令n1加以驗證，均不正確，故選B.3(2014·日照調(diào)研)“p或q”為真命題是“p且q”為真命題的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選C若命題“p或q”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題，若命題“p且q”為真命題，則p，q都為真命題，因此“p或q”為真命題是“p且q”為真命題的必要不充分條件4(2013·湖北高考

13、改編)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q 是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為()A(綈p)或(綈q) Bp或(綈q)C(綈p)且(綈q) Dp或q解析：選A由題意可知，“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”意味著“甲沒有或乙沒有降落在指定范圍”，使用“非”和“或”聯(lián)結(jié)詞即可表示該復(fù)合命題為(綈p)或(綈q)5已知p：235，q：5<4，則下列判斷正確的是()A“p或q”為真，p為假 B“p且q”為假，q為真C“p且q”為假，p為假 D“p且綈q”為真，“p或q”為真解析：選Dp為真，綈p為假又q為假，綈q為真，

14、“p且綈q”為真，“p或q”為真6(2013·湖南六校聯(lián)考)已知命題p：存在x(，0)，2x<3x，命題q：任意x(0,1)，log2x<0，則下列命題為真命題的是()Ap且q Bp或(綈q)C(綈p)且q Dp且(綈q)解析：選C由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，命題p是假命題，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，命題q是真命題，則命題“p且q”為假命題，命題“p或(綈q)”為假命題，命題“(綈p)且q”為真命題，命題“p且(綈q)”為假命題課下提升考能第組：全員必做題1將a2b22ab(ab)2改寫成全稱命題是()A存在a，bR，a2b22ab(ab)2B存在a<0，b>

15、;0，a2b22ab(ab)2C任意a>0，b>0，a2b22ab(ab)2D任意a，bR，a2b22ab(ab)2解析：選D全稱命題含有量詞“任意”，故排除A、B，又等式a2b22ab(ab)2對于全體實數(shù)都成立，故選D.2(2013·湖北八校聯(lián)考)已知命題p：所有指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，則綈p為()A所有的指數(shù)函數(shù)都不是單調(diào)函數(shù)B所有的單調(diào)函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)C存在一個指數(shù)函數(shù)，它不是單調(diào)函數(shù)D存在一個單調(diào)函數(shù)，它不是指數(shù)函數(shù)解析：選C命題p：所有指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，則綈p為：存在一個指數(shù)函數(shù)，它不是單調(diào)函數(shù)3如果命題“p且q”是假命題，“綈q”也是假命題，則()A命題

16、“綈p或q”是假命題 B命題“p或q”是假命題C命題“綈p且q”是真命題 D命題“p且綈q”是真命題解析：選C由“綈q”為假命題得q為真命題，又“p且q”是假命題，所以p為假命題，綈p為真命題所以命題“綈p或q”是真命題，A錯；命題“p或q”是真命題，B錯；命題“p且綈q”是假命題，D錯；命題“綈p且q”是真命題，故選C.4(2014·湖北八校聯(lián)考)已知命題p：m，n為直線，為平面，若mn，n，則m；命題q：若a>b，則ac>bc，則下列命題為真命題的是()Ap或q B綈p或qC綈p且q Dp且q解析：選B命題q：若a>b，則ac>bc為假命題，命題p：m，n

17、為直線，為平面，若mn，n，則m也為假命題，因此只有綈p或q為真命題5(2014·深圳調(diào)研)下列命題為真命題的是()A若p或q為真命題，則p且q為真命題B“x5”是“x24x50”的充分不必要條件C命題“若x<1，則x22x3>0”的否命題為“若x<1，則x22x30”D已知命題p：存在xR，使得x2x1<0，則綈p：任意xR，使得x2x1>0解析：選B對于A，“p真q假”時p或q為真命題，但p且q為假命題，故A錯；對于C，否命題應(yīng)為“若x1，則x22x30”，故C錯；對于D，綈p應(yīng)為“任意xR，使得x2x10”，故D錯6(2013·東北四市調(diào)

18、研)已知命題p1：存在xR，使得x2x1<0成立；p2：對任意x1,2，x210.以下命題為真命題的是()A(綈p1)且(綈p2) Bp1或(綈p2)C(綈p1)且p2 Dp1且p2解析：選C方程x2x10的判別式1243<0，x2x1<0無解，故命題p1為假命題，綈p1為真命題；由x210，得x1或x1.對任意x1,2，x210，故命題p2為真命題，綈p2為假命題綈p1為真命題，p2為真命題，(綈p1)且p2為真命題，選C.7下列命題中是真命題的為()A命題“若x23x20，則x1”的否命題是“若x23x20，則x1”B命題p：存在xR，sin x>1，則綈p：任意x

19、R，sin x1C若p且q為假命題，則p，q均為假命題D“2k(kZ)”是“函數(shù)ysin(2x)為偶函數(shù)”的充要條件解析：選B對于A，命題“若x23x20，則x1”的否命題是“若x23x20，則x1”，A錯誤；由全稱命題的否定是特稱命題知，B正確；當(dāng)p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，p且q為假命題，故C錯誤；函數(shù)ysin(2x)為偶函數(shù)的充要條件為k(kZ)，故D錯誤8已知命題p：“任意x1,2都有x2a”命題q：“存在xR，使得x22ax2a0成立”，若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，2 B(2,1)C(，21 D1，)解析：選C若p是真命題，即a(x2)min，x

20、1,2，所以a1；若q是真命題，即x22ax2a0有解，則4a24(2a)0，即a1或a2.命題“p且q”是真命題，則p是真命題，q也是真命題，故有a2或a1.9已知命題p：“任意xN，x>”，命題p的否定為命題q，則q是“_”；q的真假為_(填“真”或“假”)解析：q：存在xN，x，當(dāng)x1時，x成立，故q為真答案：存在xN，x真10若命題“任意xR，ax2ax20”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a0時，不等式顯然成立；當(dāng)a0時，由題意知得8a<0.綜上，8a0.答案：8,011已知命題p：存在aR，曲線x21為雙曲線；命題q：x27x12<0的解集是x|3<x<4給出下列結(jié)論：命題“p且q”是真命題；命題“p且綈q”是假命題；命題“綈p或q”是真命題；命題“綈p或綈q”是假命題其中正確的序號是_解析：因為命題p和命題q都是真命題，所以命題“p且q”是真命題，命題“p且綈q”是假命題，命題“綈p或q”是真命題，命題“綈p或綈q”是假命題答案：12下列結(jié)論：若命題p：存在xR，tan x2；命題q：任意xR，