(第三部分)曲線積分習(xí)題解答

1、第十章曲線積分與曲面積分(第三部分)曲線積分習(xí)題解答一、對弧長的曲線積分1 . 計算 I = yds ， 其中 L 為擺線 x = a(t sint), y = a(1 cost)的一拱 (a >0, 0 <t <2jt).在刀 ah x =a(t - s i t)h解由于L :1,(0 Mt M2n)；而y =a(1 -cot)1ds=，x 2 + y %t = M 2a(1 - cost)2 dt, ( 0 < t < 2n) _1故I = JL yds= J071a(1cos) 72a(1cos)2 dt223 t23=4a 0 sin 2dt =8a 0

2、sm udu,? ,32 ,二16a2 sin udu =a .022 .計算曲線積分士x2十y2 ds,其中L為圓周x2+y2 =ax . ,-Tr-Tr解 圓周x2 + y2 =ax在極坐標(biāo)下的方程為P = acos(-<0<)則22ds = JP2 +P,2d8 = adg.故ffL Vx2 + y2 ds = J 'P ads = f 27racos8 a# = 2a2 cosd日=2a2. "2-23 .計算I = cfevx 4y ds,其中L為圓周x2 + y2 = a2 ,直線y = x及x軸在第一象限內(nèi) 所圍成的扇形的整個邊界.解 積分曲線L為閉

3、曲線(如右圖),可分解為L = L,+L2 + L3,其中L1 =OA: y = 0, (0<x<a);”-L2 = AB : r =a, (0 W 日 W / ;IVaLtaL3=OB : y = x, (0 < x ).2I t ex2 y2ds e x2 y2dse x2 y2dsLiL2L3a v、-.,、:、=j0ex：1 +(0) 2dx+ f04eava2 +(a)*dg+M +(x) dxa_7：aexdx-i4aead，2 2e xdx000 a二e (2 4a) -2.4 .設(shè)螺旋線彈簧一圈的方程為x = a cost , y = asint, z=kt,

4、其中0EtE2n,它的線密度P(x, y, z) = x2 + y2 +z2.求此線關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz.分析 本題為對弧長的曲線積分在物理中的應(yīng)用問題，應(yīng)首先將所求的轉(zhuǎn)動慣量用對弧長的曲線積分I z = j(x2 +y2)P(x,y, z)ds表示，然后計算積分即可。L解 所求的轉(zhuǎn)動慣量為Iz = J(x2 + y2)P(x, y, z)ds,而 Lds= Jx 2(t) + y，t)+z"(t)dt = Ja2 +k2 dt,故I z = (x2y2) ：(x, y, z)ds = (x2 y2)(x2 y2 z2)dsLL=0 a2(a2 k2t2) a2 k2 dt = 2

5、 二a2 , a2 k2 (3a2 4 2k2).二、對坐標(biāo)的曲面積分1. 計算曲 線積分I ='exHI -cosy)dx -( y - sin y)dy, 其中 L 為區(qū)域0 M x W n, 0 M y M sin x的邊界，取逆時針方向。解 令 P =ex(1 co y), Q = -ex(y -s i iy),則=ex sin y , - = -ex(y -sin y).y：xP:Q_即丁# 丁.由于 D : 0 W y W sin x, 0 W x W n 二 yx故利用格林公式，得I 二 ( 上)dxdy 二 一 yexdxdy d x:ydsinx 一0 dx0v1e

6、ydy (1 -e ).52.計算曲線積分I = 1x cosy)dx (y sin y)dy】.其中 L 為曲線 y = sinx 上從點A（小0）到點O（0, 0）的一段弧。解 補直線段L' = OA: y = 0 , x從0變至I n;并設(shè)閉曲線L + L'所圍區(qū)域為D （如 圖所示），則由Green公式，得:ex(1 -cosy)dx -(y -siny)dy L LQ cPx .二(- )dxdy= - ye dxdyn二 0dxsin x0ex ydy - 1(1 - e )5exH-c o y)dx (y s i iy)dy】=0 ( L' = OA :y

7、 = 0 , x從0變至U冗），I =( LL-)ex (1 -cosy)dx-(y -siny)dy】1 (1 - e ) - 0 = (153.是一條封閉的光滑曲線,方向為逆時針，計算曲線積分ydx- xdy22 .L x 4y分析因P(x, y)=22x 4y-xr r'Q(x,"777則d x ydcP x2 -4y2空x2 -4y2:y (x2 4y2)2:x (x2 4y2)2.由于P（x, y）與Q（x, y）在原點（0, 0）處不連續(xù)，因此可知：（1）若給定的曲線L所圍成的閉區(qū)域不包括原點（0,0）,則在此區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)；（2）若 給定的曲線L所圍成

8、的閉區(qū)域包括原點（0, 0）,那么P、Q在L所圍成的閉區(qū)域上不滿足格林公式(積分與路徑無關(guān)的條件)。此時，我們可取一條特殊的封閉光滑曲線 Li , 在L + L1上應(yīng)用Green公式，由此將L上的曲線積分轉(zhuǎn)化為L1上的曲線積分。因 P(x,y)=y4y2Q(X，y) - X2x4y28cP x2 -4y2cQx2 -4y2:y 一(x2 4y2)2 ' x 一 (x2 4y2)2故里:y:x(1)若給定的曲線 L圍成的閉區(qū)域不包括原點(0,0).由亙=丑知曲線積分:y : x等察與路徑無關(guān)，故如ydx - xdy = 022.x 4y(2)若給定的曲線L所圍成的閉區(qū)域包括原點(0, 0

9、),則取一條特殊的有向曲線L：x2+4y2=J( ”0充分小)，規(guī)定Li的方向為逆時針(如右圖所示)。設(shè)L + (-L)所圍城的區(qū)域為D ,則在L+(-L,)上應(yīng)用Green公式，得ydx - xdy22x 4y：p)dxdy = 0, y所以加絆券TL堂噂.而Lx 4yL1 x 4yydx - xdy 1Li-.-T- Liydx-xdy =故 ydx-xdy 二二L x2 4y2或利用參數(shù)方程計算：令 L1 : x = wcosB , y =-sinQ , 9從0到2n.所以2ydx - xdy = ydx - xdy 二L 2.2- L 2，2一L x 4yL1 x 4y12 7：o0

10、22(sin2 9 +cos2 8)k4 .設(shè)在半平面x>0內(nèi)有力F = -3-(x i + yj)構(gòu)成力場，其中k為常數(shù)，p = Jx2 + y2 ,證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān)。k k 一 一 .一一分析 由于場力沿路徑所作的功為 W =JL - A xdx -今ydy,所以證明場力所作的 功與所取的路徑無關(guān)的問題，實質(zhì)上就是證明上述曲線積分與路徑無關(guān)的問題。證明 場力沿路徑所作的功為 W =。xdx- : ydy.D3kx3 2 '(x y)ky(x + y)322Q 3 kxy2Pex 2 (x+y)52 cy由于右半平面為單連通區(qū)域，且,所以場力所作的功與

11、所取的路徑無關(guān)。二 x 二 y5 .設(shè)函數(shù)中(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線 C上，曲線積分2 2xydx.+'(2x)dy 的值為常數(shù)。C x y(1)設(shè) L 為正向閉曲線(x-2)2 + y2=1 ,證明：(2xyl*(2x)dy =0 ； L x y(2)求函數(shù)甲(x);(3)設(shè)C是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求 士2xyd：”(2x)dy . C x y(1)證 設(shè)q 2xydx4坐x)dy = i ,閉曲線L由Li, i= 1,2組成。設(shè)L0為不經(jīng)過原點 L x y的光滑曲線，使得LoUL1和L0UL2分別組成圍繞原點的分段光滑閉曲線 G,i = 1,2,由曲線積分的性質(zhì)和題設(shè)條件知2xydx (x)dyx4 y2=LiL2LoLo- q = i -1 = 0.C1C 2所以,(y)dx 2xydyLi 2x2 y4(y)dx 2xydy(y)dx 2xydy n二仁4，即 <4= 0 -L22x yC2 xy從而有(x)