(整理)數(shù)值計算方法試題及答案1

1、精品文檔數(shù)值計算方法試題一一、 填空題(每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程x3 + x4=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分()次。22、迭代格式x =Xk +u(xk -2)局部收斂的充分條件是支取值在)。3_，x0 x 1S(x) = 132(x -1) a(x -1) b(x -1) c 1MxM3 口一、二二YA 十小心3、已知12是二次樣條函數(shù)，則a=(), b= (), c=()。4、l0(x),l1,，ln(x)是以整數(shù)點x0，x1，xn為節(jié)點的Lagrange插值基函 數(shù)，貝Unn二 lk (x) =xkl j (xk )=k=s() ,k=o()，當(dāng) n2 時

2、n% (x4 x2 3)lk(x)=k=S()。5 設(shè) f(x) =6x7 +2x4 +3x2 +1 和節(jié)點 xk =k/2,k=0,1,2,，則 fx。,，4=和 & f0 ;。6、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為 , 5個節(jié) 點的求積公式最高代數(shù)精度為 。7、加k(x)%是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)仁)=*的最高項系數(shù)為1的正交多項1式族，其中 Q(x)=1,則xQ(x)dx=ox -ax2 =b1 -8、給定方程組1axx2=b2 , a為實數(shù)，當(dāng)a滿足,且 00父2時，SOR迭代法收斂。Jy = f (x,y)的改進(jìn)歐拉法)時，必有分解式A=LLT,9、 解初值問題 ly(x0) =

3、 y0yn* =yn +hf (xn, yn),h 0yn 1 = yn - f(xn, Yn) f(xn 1, yn 1)12是階方法。a1 0A= 0 110、設(shè)-a a其中L為下三角陣，當(dāng)其對角線元素lii(i=1,2,3)滿足()條件時，這種分解是唯一的。二、二、選擇題(每題2分)1、解方程組Ax = b的簡單迭代格式x(s = Bx(k) + g收斂的充要條件是( )。(1) P(A)1,(2) P(B)1,(4) P(B)1bn 一，nf(x)dx ： (b a尸 C(n)f (xj八2、在牛頓-柯特斯求積公式：aT中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當(dāng)(

4、)時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(1) n 至 8,(2) n 7,(3) n10,(4) n 2 6,3、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是()。(1)二次； (2)三次；(3)四次； (4)五次h h .4、若用二階中點公式y(tǒng)n 1yn hf(xn 2,yn 7f(xn,yn)求解初值問題 y=-2y,y(0) =1 ,試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長 h的取值范圍為 ( )。(1)0 ：h E2,0 三 h 三2,(3)0 ： h 2,(4)0 h 2三、1、(8分)用最小二乘法求形如y = a+bx2的經(jīng)驗公式擬合

5、以下數(shù) 據(jù)：xi19253038yi19.032.349.073.312、(15分)用n =8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化Simpson公式)計算le dx 時，(1)(1)試用余項估計其誤差。(2)用n =8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化 Simpson公式)計算出該積分 的近似值。四、1、(15分)方程x3 -x-1=0在x = 1.5附近有根，把方程寫成三種x =不同的等價形式(1) x=3/x+1對應(yīng)迭代格式Xn+=3/Xn +1 ； (2)xn 1 =13對應(yīng)迭代格式 Xxn ； (3) X=X3-1對應(yīng)迭代格式Xn41=Xn-1。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算x= 1.5附近的根，

6、精確到小數(shù)點后第三位。選一種迭代格式建立 Steffensen迭代法，并 進(jìn)行計算與前一種結(jié)果比較，說明是否有加速效果。2、(8分)已知方程組ax = f，其中4 3 一 24A = 3 4 -1f = 30:- -1 4 一, 24(1) (1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法的分量形式。(2) (2) 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫出 SOR迭代法。潦=-y+1dx五、1、(15分)取步長h = 0.1,求解初值問題I y=1用改進(jìn)的歐 拉法求y(0.1)的值；用經(jīng)典的四階龍格 一庫塔法求y(0.1)的值。2、(8分)求一次數(shù)不高于4次的多項式p(x)使它滿足p

7、(x0) = f (x0) , P(Xi) = f (Xi) , p(x0)= f (x0) , p(Xi) = f (Xi) , p(X2)= f (X2)六、(下列2題任選一題，4分)1、 1、數(shù)值積分公式形如1Oxf (x)dx : S(x) =Af (0) Bf Cf (0) Df (1) (1)試確定參數(shù)A,B,c,d使公式代數(shù)精度盡量高；(2)1設(shè) f(x)40,1,推導(dǎo)余項公式 R(x) = (xf(x)dx-S(x),并估計 誤差。2、 2、 用二步法yn 1 =1 0yn 二1yn h*(Xn, yn) (1 -與 f (Xn，yn)v = f (x,y)求解常微分方程的初值

8、問題、y(x。)= y。時，如何選擇參數(shù)豆。，“1出使方 法階數(shù)盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的。數(shù)值計算方法試題二一、判斷題：(共16分，每小題2分)1、若A是n階非奇異陣，則必存在單位下三角陣 L和上三角陣U ,使A = LU唯一成立。()2、當(dāng)n之8時，Newton cotes型求積公式會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。f(x)dx ： - Aif(xi)3、形如a i=i的高斯(Gauss)型求積公式具有最高代數(shù)精確度的次數(shù)為2n 12 10、A= 1 1 14、矩陣0 1 2)的 2 范數(shù) 1A2= 9。(2 a aA= 0 a5、設(shè) ,則對任意實數(shù)a # 0 ,方程組Ax =

9、b都是病態(tài)的6、設(shè)AWRnx:n , QRnXn,且有QTQ = I (單位陣)，則有1A2=歸42 ( )8、對矩陣22A = 472 4(:、填空題:A作如下的Doolittle分解:375,1021C1 a0 %,223、I0 | 0b11100叫則a, b的值分別為a =2,b = 2。(共20分,每小題2分)7、區(qū)間a,b】上關(guān)于權(quán)函數(shù)W(x)的直交多項式是存在的，且唯一。精品文檔1、設(shè) f(x)=9x8 +3x4 +21x2 +10 ,則均差0C1.C80O1.。9f2 ,2 ,2 =? f3 ,3 , ,3 =?2、設(shè)函數(shù)f(x)于區(qū)間kb】上有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，pw kb1為f(

10、x)的xk 1 = xk一個m重零點,Newton迭代公式f(xk),f (xk)的收斂階至少5、為使兩點的數(shù)值求積公式:1汽川的)十f(x1)具有最高的代是階。3、區(qū)間a,b】上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在bb】上具有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。7 1-2、 A =4、向量 X =(12)T,矩陣1-3 ”,則AX 1 二cond(A)二數(shù)精確度，則其求積基點應(yīng)為X1=? X2=O6、設(shè)AwRn如，AT=A,則P(A)(譜半徑) A 2O (此處 填小于、大于、等于)1。A= 211 1八k7、設(shè)-4 2 一，則 kimA =。三、簡答題：(9分)1、 1、方程x = 42x在區(qū)間1,2】內(nèi)有唯一根x

11、*,若用迭代公式：xk+=ln(4-xk)/ln2仕=0,1,2，則其產(chǎn)生的序列 氏是否收斂于 x* ?說明理由。2、 2、使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主元的技術(shù)？1 -cosxf (x) - Q3、 3、設(shè)x =0.001,試選擇較好的算法計算函數(shù)值x2 ,四、(10分)已知數(shù)值積分公式為：h _h2 _ _ 0 #0)+ f(h) +九h f(0)-f(h)5試確定積分公式中的參 數(shù)九，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。五、(8分)已知求Ka(a 0)的迭代公式為：1 , a、xk 1 = (xk ) x0 0 k = 0,1,2 2 xk證明：對一切k=

12、1,2，xk 2ja,且序列GJ是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。33六、(9分)數(shù)值求積公式(x)dx三f(1)r(2)是否為插值型求積公 式？為什么？其代數(shù)精度是多少？七、(9分)設(shè)線性代數(shù)方程組AX=b中系數(shù)矩陣A非奇異，X為精確解，b=0,若向量X是AX =b的一個近似解，殘向量r=b-AX, 卜臼Ikll, 11 cond(A)K證明估計式：11X11蚓(假定所用矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容)。八、(10分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間03上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足下列插值條件的一個次數(shù)不超過 3的插值多項式H(x),并導(dǎo)出 其余項。i012xi012f (xi)-113f (xi)3九、（9分）

13、設(shè)例（x）是區(qū)間a, b上關(guān)于權(quán)函數(shù)w（x）的直交多項式序 歹 IJ, Xi（i =1,2,，n,n+1）為仲 n*x） 的零點，L（x川=12，n，n+。是以機）為基點的拉格朗日（Lagrange海值基f (x)w(x)dx Ak f (xk)函數(shù),(1)(2)(3)Ja為高斯型求積公式，證明:n /, Ai，(xi) (xi) = 0(1)當(dāng) 0 Ek, j En,k # j 時，ybalk(x)lj(x)w(x)dx =0 (k = j)n 1b 2b lk (x)w(x)dx = w(x)dx a- ak 1十、（選做題8分）若 f (x) =On + (x) =(X-Xo)(X x1

14、)(x xn),X(i =0,1，n)互異，求 fx0,x1，xp的值，其中 pMn+1數(shù)值計算方法試題三一、（24分）填空題（1）（2分）改變函數(shù)f（x）=VxTi-x （x1）的形式，使計算結(jié)果較精確（2） （2）（2分）若用二分法求方程f（x）=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 次 2 .2、x1 +x2(3) (3)（2分）設(shè)貝U f x 二2x3, 0x 1八、- S(X )=32,/八廠 、,、,一、“，(4) (4)(3 分)設(shè)/ +ax +bx+G 1MxM2 是3 次樣條函數(shù)，則a=, b=, c=。1 x(5) (5)(3分)若用復(fù)化梯形公式計算Le

15、dx,要求誤差不超過10、利用余項公式估計，至少用 個求積節(jié)點。X +1.6x2 =1 -(6) (6)(6分)寫出求解方程組 I0.+x2 =2的Gauss-Seidel迭代公式, 迭 代 矩 陣此迭代法是否收斂。55 4)A =:Il II(7) (7)(4 分)設(shè) 乜 3,則 11Ao,Cond/A 戶 o(8) (8)(2分)若用Euler法求解初值問題y=-10y，貝。)=1 ,為保證算法的絕對穩(wěn)定，則步長 h的取值范圍為二(64 分)(1) (1)(6分)寫出求方程4x = cosx)十1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2)(12分)以100,121,144為插

16、值節(jié)點，用插值法計算 不行的近似值，并利用余項估計誤差。(3) (3)(10分)求f(x)=ex在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項式。I = 1sindx(4)(10分)用復(fù)化Simpson公式計算積分L x 的近似值，要求誤差限為0.5父1九(5) (5)(1分)用Gauss列主元消去法解方程組：x1 +4x2 +2x3 =24 3x1 + x2 +5x3 = 342xi +6x2 + x3 = 27 J(6) (6)(8分)求方程組1 3Y 、12 a = 2/x2 ),41，的最小二乘解(7) (7)(8分)已知常微分方程的初值問題:dy/dx = x/y, 1 x 1.2J(1)=2

17、用改進(jìn)的Euler方法計算y(12)的近似值，取步長h = .2三.(12分，在下列5個題中至多選做3個題)(1) (1)(6分)求一次數(shù)不超過4次的多項式p(x)滿足：p(1)=15, p(1)=2, p”1)=3, p(2)=57, p(2)=72(2) (2)(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：1xf x dx1V一定 Af |+A”1) 22.)1 1、(3) (3)A =(6分)用哥法求矩陣J熊的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距 離小于.5,取特征向量的初始近似值為(1,匚(4) (6分)推導(dǎo)求解常微分方程初值問題y

18、 x)= f x, y x , a x b, y a )= y0的形式為y = yi +h久fi +Bifi),i=1,2,N的公式，使其精度盡量高，其中fi = f(xi,yi), xi=a+ih, i=0,1N h = b -a N(5) (5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的邊值問題y”+p(x y+q(x y + r(x )=0, a x by(a )=0, y(b )= 0所得到的三對角線性方程組。數(shù)值計算方法試題三一、(24分)填空題(9) (1)(2分)改變函數(shù)f(x)=vxV1_x (x/l)的形式，使計算結(jié)果較精確(10) (2)(2分)若用二分法求方程f(x)=0在區(qū)

19、間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 次。f 2 .2、* 1x1 x2 、Jx)=(11) (3)(2 分)設(shè) x1x2 八 則 f(x)=3Sx)2x , 尸-1(12) (4)(3分)設(shè)、x +ax +bx+G 13工2是3次樣條函數(shù),則a=, b=, c=。(13)(5)(3分)若用復(fù)化梯形公式計算0exdx,要求誤差不超過10，利用余項公式估計，至少用 個求積節(jié)點。1 +1.6x2 =1(14) (6)(6 分)寫出求解方程組0.4x1 + x2 =2的 Gauss-Seidel迭代公式, 迭 代 矩 陣此迭代法是否收斂。5 4)A =Il II(15) (7)(4 分)

20、設(shè):4 3),則 IAg=,Condac1A )=0(16)(8)(2分)若用Euler法求解初值問題y=T0y, y(0)=1,為保證算法的絕對穩(wěn)定，則步長 h的取值范圍為二(64 分)(8) (1)(6分)寫出求方程4x = cosx )+1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(9) (2)(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算 而5的近似值，并利用余項估計誤差。(10) (3)(10分)求f(x)=ex在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項式。,1 sin x ,I =dx .(11) (4)(10分)用復(fù)化Simpson公式計算積分 0 x 的近似值，要

21、求誤差限為0.5 10”(12) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程組:x1 4x2 2x3 =24 I 3x1 + x2 +5x3 = 342x1 +6x2 + x3 = 27(13) (6)(8分)求方程組3k121 15、2的最小二乘解(14) (7)(8分)已知常微分方程的初值問題:dy/dx= x/y, 1 x 1.2:y(1) = 2用改進(jìn)的Euler方法計算y(12)的近似值，取步長h=0.2三.(12分，在下列5個題中至多選做3個題)(6) (1)(6分)求一次數(shù)不超過4次的多項式p(x)滿足：p(1)=15, p(1)=20, p“1)=30, p(2)=57,

22、p(2)=72(7) (2)(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：；xf x dx : Ao f 1 A f 110 1)A =(8) (3)(6分)用哥法求矩陣J 1J的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距 離小于0.05,取特征向量的初始近似值為(1,0(9) (4)(6分)推導(dǎo)求解常微分方程初值問題y x = f x, y x ,a Ex Mb, y a = y。的形式為y”yi +h 伊。片 +P1fi）,i=1,2,N的公式，使其精度盡量高，其中fi =f（Xi,yi）, Xi=a + ih ,i=0,1Nh = b -a

23、 N(10) （5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的邊值問題.y+p(x y+q(x y + r(x )=0, a Mx Mb:y(a )=0, yQ )= 0所得到的三對角線性方程數(shù)值計算方法試題一答案一、填空題（每空1分，共17分）.2. 2,_ 、一，( ,0) (0,)、等=9454 =236.25. 2 . 210、(2 , 26、）、1、(10 )2、(2 , 八 , 2 )3、a=( 3 ), b = ( 3 ),4、( 1 )、( xj )、( x4 +x2 +3)5、6 、97、08、a 0）二、二、選擇題（每題2分）1、(2)2、(1)3、(1)4、(3)2.二、1、

24、(8 分)解：G=sPan1,xT 1111A19253138y = 19.0 32.3 49.0 73.31解方程組AT AC = AT yT 433 9 1T 173.6A A = |I A y = |其中39 13 529 60 3，79980.7_解得:C _ 一0.9255577lt.0.0501025所以 a =0.9255577,b = 0.0 5 0 1 0 22、（15 分）解:RTf-愛口叱號常二得二0.001302hT(8)=hf 2% f(xk)f(b)2k 11 一 一1 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066160.5352614 0.4

25、7236655 0.41686207) 0.36787947=0.63294342 . .132四、1、(15 分)解：(1)(x)= 3(x+1), y(1.5) =0.181,故收斂;； (x)二2x2 )7+1 一一 .V x , 口。5)=0.17d.52 1,故發(fā)散。x4 =1.3249選擇(1)： x0=1.5, x1 =1.3572, x2 =1.3309, x3 =1.3259 x5 =1.32476x6 =1.32472(：區(qū))5)2xk 1 xk - -Steffensen迭代：(xk) -2 (xk) xk(3 xk 1 -xk)23 3 xk1 1 -23 xk 1 1

26、計算結(jié)果：X。= 1.5X =1.324899, x2 =1.324718有加速效果。x1(k1) =1(24 -3x2k)4(k書)。21(k)(k) =(30 - 3x1x3 )42、（8分）解:Jacobi迭代法:(k i) 1(k)x3= 一(-24 x2 )4k =0,1,2,3,(k 1) x1= -(24 -3x2k)4x2k.1)=1(30-3x1(k1) x3k)4(k 1)*3Gauss-Seidel 迭代法:Bj = D，(L +U ) = I-340341(k 1)、=一(-24x2)4k =0,1,2,3,01%：(Bj)=.,58(或. 1040.790569x1(

27、k 1)二 (1 - - )x1(k)一 (24 -3x2k)4x2k 1)=(1 - )x2k)-(30 -3x1(k 1) - x3k)4x3k 1) =(1 - , )x3k), (-24 - x2k 1)4SOR迭代法:k =0,1,2,3,五、1、（15分）解：改進(jìn)的歐拉法:yn01 ynhf (Xn, yn) = 0.9丫口0.1h _ _(0)_ =yn 21f (Xn, yn)f (Xn 1, yn 1) =0.905yn 0.095所以 y(0.i) = yi =1；經(jīng)典的四階龍格一庫塔法:hyn 書=Vn +；ki + 2k2 +2k3 +k4 6kl = f (Xn ,

28、yn )hh4k2 = f (Xn +/，yn +-kl)hhk3 = f(Xn +2, yn +萬卜2)、k4= f(Xn +h, yn +hk3)kl= k2=k3=k4=0 ,所以 y(0.1) =y1=1:H3(Xi) = f(Xi)2、(8分)解：設(shè) h3(x)為滿足條件 1H；(Xi)= f(Xi) i = 0，1 的 Hermite 插值多項式，2 ,、2則p(x) = H3(x)+k(xX0)(xX1)代入條件 p(X2) = f (X2)得：f(X2) 3(X2)k 二一,W(X2 -X0) (X2 -X1)八、(下列2題任選一題，4分)1、解：將 f(x)=1A 3 07A

29、 = , B = , B =2020,x,x2,x3分布代入公式得:1 c 1,D 二3020構(gòu)造Hermite插值多項式X0 - 0, X1 =1, H3(Xi)= f(Xi)(x)滿足 1H33(x)= r(x)i = 0,1 其中則有:1(xH3(x)dx = S(x),1f(4)( ) 22f(X)-H3(X)=TX(X-1)R(x)0xf(X)-S(X)dX = 0f(4)()f(4)()4!132 ,x (x -1) dx =4!fx3(x -1)2dx()()4! 6014402、解:h2h3.Rn,h =y(Xn 1) - yn 1 = 丫(4 )hy (% ) 百 y (右)

30、 / y (%)2!3!h2h3-二 0y(Xn) - ： 1(y(Xn) -hy (Xn)不 y (Xn) - 看 y (Xn)2!3!. h2. h3 (4)-hy (Xn)(1 -u)(y (Xn) -hy (%)彳 y (Xn)- y (Xn)2!3!二(1 - 1 0 - 1 l)y(Xn) h(1 -11 l)y (Xn)代-“區(qū))叱；一)y (Xn) O(h4)1 Ct 0 -al 0% =0-+1-0=0 所以22 105 .3+ 用h y (Xn)王項：120 = 1= = 0 u.2該方法是二階的數(shù)值計算方法試題二答案、 一、判斷題：（共10分，每小題2分）1、（ X ）

31、2、（ V ） 3、（ X ） 4、（ V ） 5、（X ）6、（ V ） 7、（ X ） 8、（ X ）1、9父8!、02、 一二 3、二 4、16、90 5、二、填空題：（共10分，每小題2分）三、三、簡答題：（15分）1、1、 解：迭代函數(shù)為 cp（x）=ln（4-x）/ln2(x)=-11X 4 - x ln 211,:：二 14 -2 ln 22、2、答：Gauss消去法能進(jìn)行到底的條件是各步消元的主元素akk）全不為0,如果在消元過程中發(fā)現(xiàn)某個主元素為0,即使det（A）#0,則消元過程將無法進(jìn)行；其次，即使主元素不為（k）0,但若主元素akk的絕對值很小，用它作除數(shù)，將使該步消元

32、 的乘數(shù)絕對值很大，勢必造成舍入誤差的嚴(yán)重擴散，以致于方 程組解的精確程度受到嚴(yán)重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免（k）J）主元素akk =0或akk很小的情況發(fā)生，從而不會使計算中斷或 因誤差擴大太大而使計算不穩(wěn)定。242ncosx =1 -(-1)n 3、3、解：2!4!(2n!)242n1 - cosx = - - -(-1)n42!4!(2n!)22n -2f(x)-(-1)n4-2!4!(2n!)四、四、解：f（x）=1顯然精確成立;精品文檔f(x) = x 時,h h2 h9；xdx =5=萬0 + 川 +仙21 -1f(x) = x2 時,f(x) = x3 時,f(x) = x4

33、 時,h 2 h3 h 22h31x dx0 h h 0-2h-2 h= = 032212 ;43 h h 3122x3dx0 h3h20 -3h204212;u, 5,5x4dx = 0 h4 一 h20 - 4h3= 一052126 ；所以，其代數(shù)精確度為3xk 1 = (xk亙)2 xk * =、a k = 0,1,2五、五、證明： 2xk2 V xk故對一切k=1,2,一xk 11a1q （1 ）（1 1） =1又 xk2xk2下界，從而迭代過程收斂。xk Ua。所以x xk ,即序列LJ是單調(diào)遞減有六、 六、解:x -2 P(x) =1 -23是。因為 f(x)在基點1、2x 7f(

34、1)f(2)2 -1處的插值多項式為0 P(x)dx =十+ f（2）。其代數(shù)精度為1。七、七、證明：由題意知：AX =b,AX =b-r. IIA(X -X) = r= X -X = A，= X -X A-1 |r|AX=b= |b| =|ax| |A|x|H 焉昭又IIXII II b卜 Tja|at|h/ u,aM所以W 4廠8nd刷八、解：設(shè) H(x) =N2(x) ax(x-1)(x-2) 一一 1N2(x) - f (0) f 0,1(x -0)f0,1,2(x -0)(x -1) -1 -2x (x-0)(x -1)2精品文檔精品文檔精品文檔1H(x)=1-2x-x(x-1) a

35、x(x-1)(x-2)所以2由 H (0)=3得：H (x) = - x所以 41a =一4-5 x2 3x - 142令 R(x) = f(x)H(x),作輔助函數(shù) g(t)=f(t) H(t) k(x)t (t-1)(t-2)則g(t)在。，3上也具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有4個零點：t = x，0,1,2f(4)()小反復(fù)利用羅爾定理可得：k(x)=%! , (； g住)= 0)2f(4)() 2所以 R(x) = f(x)-H(x) = k(x)x (x-1)(x-2) =x (x-1)(x-2)a f(x)w(x)dx 八 Akf(xk)九、九、證明：形如aT積公式具有的高斯(Gaus型

36、求最高代數(shù)精度2n+1次，它對f(x)取所有次數(shù)不超過2n+1 次的多項式均精確成立十、1)2)3)、A (xj (xi) =(x) : j(x)w(x)dx =0ai 1li (xj)=，因為li(x)是n次多項式，且有所以01lk(x)l j(x)w(x)dx 二 Aa Alk(Xi)lj (Xi) = 0a. i=1取f(x)=li2(x),代入求積公式：因為li2(x)是2n次多項式,li(x)w(x)dx 八 Ajh(xj)所以aj-n 1 b 2n 1b二 i 1k(x)w(x)dx = Ak = w(x)dx aak 1故結(jié)論成立。十、解：p fx0,x1, ,xp = i =0

37、f(xi)n二0” (xi -xj)j $ jfx0,xi, ,xn 1二f(n 1)( j .1 一 I(n 1)!數(shù)值計算方法試題三答案一 .(24 分)1f x 二(1)(2 分)Vx + 1+v,x(2) (2 分)102 2x2、(2 分)】X2x1)(4) (3 分)3 -31 (5) (3 分)477；x1”)=1 _1.6xf)k 1 p -1.6、(6) (6 分)|/尸)=2+0.4x1()0 -0.64j收斂(4 分)991(8) (2 分)h0.2二(64 分)1 1xn 1 = xn1 COS xn（6 分）4，n=0,1,2,L 1 一一 1儀）=4）.41.對任意

38、的初值X。叫迭代公式都收斂。（12分）用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)= 10.72275553 5f x = x 28fO.，R = (115 -100 (115 -121 (115 -144 03!,1 31一100 2 15 6 29 : 0.001636 8(3)(10 分)設(shè) Mx)=G*(x)+c21Mx )=c +c2x曲22)lCi f(f*i)1(2, 電)(電 , 2 ),

39、 2(f*2，仲1仲1)=/。1dx =11 .11, 2 = 0xdx=32 )1 211(02,+2 )= i0x dx =-(f,電)=(exp(x)dx =e13，1f, 2 =0 xexp( x)dx = 11/2 Yg fe-11/2 1/3 2G 8731；9 廠(1.690 J, (x )= 0.8731 + 1.690xx =4e-10 18-6ex=0.873l27+1.69031x(4) (10 分)1S =- f(0)+4f= 0.946145881，S2f(0)+4f121臥 2flmc1-I -S2 定一S2 -S1 =0.393父10 15或利用余項:(b - a

40、 5 2880n4=0.94608693IS2 = 0.9 4 6 0 8 6 9 32468f x =sin =1上.上工 x 3!5!7!9!7 2! 9 4!(4 y 1f (x)M 5f(4)尸12880 5n40.5 103，n 至2， I 上S2=一(5) (10 分)3.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.33334.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.33334.33339.68750.0000 0.0000 1.93756 /8、(-1.3333、14X2)20J, X，2.0000T x : 2.0000,3.0000,5.0000