十年真題(2010-2019)高考數(shù)學(xué)(文)分類匯編專題11平面解析幾何解答題(新課標(biāo)Ⅰ卷)(解析版)

1、專題11平面解析幾何解答題歷年考題細(xì)目表題型年 份考占P八、試題位置解答題2018拋物線2018年新課標(biāo)1文科20解答題2017拋物線2017年新課標(biāo)1文科20解答題2016拋物線2016年新課標(biāo)1文科20解答題2015圓的方程2015年新課標(biāo)1文科20解答題2014圓的方程2014年新課標(biāo)1文科20解答題2013圓的方程2013年新課標(biāo)1文科21解答題2012拋物線2012年新課標(biāo)1文科20解答題2011圓的方程2011年新課標(biāo)1文科20解答題2011圓的方程2011年新課標(biāo)1文科22解答題201 0橢圓2010年新課標(biāo)1文科20歷年高考真題匯編1.【2018年新課標(biāo)1文科20】設(shè)拋物線C:

2、 y2=2,點(diǎn)A (2, 0), B ( - 2, 0),過點(diǎn)A的直線l與C交于M, N兩點(diǎn).(1)當(dāng)l與軸垂直時(shí)，求直線 BM的方程；(2)證明：/ ABM = / ABN.【解答】解：(1)當(dāng)l與軸垂直時(shí)，=2,代入拋物線解得 y= 2,所以 M (2, 2)或 M (2, - 2),直線BM的方程：y= - + 1 ,或：y二一亨-1.(2)證明：設(shè)直線 l 的方程為 I： = ty+2, M(1, y1) , N (2, y2),聯(lián)立直線I與拋物線方程得口，消得y2- 2ty-4=0,即 y1+y2= 2t, y1y2= - 4,貝U有 BN+BM=一-注J-I金 片n+M所以直線BN

3、與BM的傾斜角互補(bǔ), ./ ABM = / ABN.2.【2017年新課標(biāo)1文科20設(shè)A, B為曲線C:尸石上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為 4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線 AB平行，且AM BM ,求直線AB的方程.【解答】解：(1)設(shè)A(1,B (2,工)為曲線C: y二條上兩點(diǎn)，44年怎J .則直線AB的斜率為=4一 =：(1+2)=?0)于點(diǎn)P, M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長交C于點(diǎn)H.（I）求lH|。族(n)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說明理由.t3【解答】解：(I)將直線l與拋物線方程聯(lián)立，解得 P (，t),加.M關(guān)于

4、點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,初.產(chǎn)兩士貨吟, ; 二 丁，- =3222產(chǎn) N （一，t） P，ON的方程為y=專,與拋物線方程聯(lián)立，解得2taH （一， 2t）直線MH的方程為y務(wù)+t,與拋物線方程聯(lián)立，消去可得y2-4ty+4t2=0,16t2- 4X 4t2=0,直線MH與C除點(diǎn)H外沒有其它公共點(diǎn).4.【2015年新課標(biāo)1文科20已知過點(diǎn)A (0, 1)且斜率為的直線l與圓C: (-2) 2+(y - 3) 2= 1 交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn).(1)求的取值范圍;(2)若0W?dW=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.【解答】(1)由題意可彳導(dǎo),直線l的斜率存在, 設(shè)過點(diǎn) A (0, 1)的直線方程：y

5、= +1,即：-y+1 =0.故由|2e-J4-1|Vfca+147故當(dāng)44萬V一過點(diǎn)A (0, 1)的直線與圓C: ( - 2)2+ (y - 3) 2= 1 相交于 M,N兩點(diǎn).(2)設(shè) M(1, y1) ； N (2, y2),由題意可得，經(jīng)過點(diǎn) M、N、A的直線方程為y=+1,代入圓C 的方程(2) 2+ (y 3)2=1,可得(1+2) 2-4 (+1) +7 = 0,4口4冷1-1+2 1+/1?年匚甲- y1?y2=(1+1)(2+1) =212+(1 + 2)+1?2+?1由觸?仆=1?2+y1?y2= 解得 =1故直線l的方程為y= +1,即 -y+1=0.圓心C在直線l上，

6、MN長即為圓的直徑.所以 |MN|= 2.5.【2014年新課標(biāo)1文科20已知點(diǎn)P (22),圓C: 2+y2- 8y=0,過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A, B由已知可得圓 C的圓心C的坐標(biāo)(2, 3),半徑R= 1 .的面積.2+ (y-4) 2=16,兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M, O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求M的軌跡方程;(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求l的方程及 POM【解答】解：(1)由圓C: 2+y2-8y=0,得圓C的圓心坐標(biāo)為(0, 4),半徑為4.設(shè)M (, v),則品二 與，蘇二2一工，2-y) 由題意可得：訝*蒯尹=0.即(2 ) + (y4) (2 y) =0.整理得：(T) 2+

7、 (y-3) 2 = 2.，M的軌跡方程是(-1) 2+ (y-3) 2=2.(2)由(1)知M的軌跡是以點(diǎn)N (1, 3)為圓心，值為半徑的圓,由于 |OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONLPM.i ON=3,直線l的斜率為-1 直線PM的方程為y - 2 (就一？)，即+3y - 8 = 0.則O到直線1的距離為行又N至ij l的距離為1X1 + 3X3-S( VTSipmi -5 .小萼乂等音6 .【2013年新課標(biāo)1文科21】已知圓M: ( + 1) 2+y2=1,圓N: (-1) 2+y2=9,動圓P與圓M外切并與 圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(

8、I )求C的方程；(n) l是與圓P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|.【解答】解：(I)由圓 M: ( + 1) 2+y2=1,可知圓心 M (1, 0);圓 N: ( 1) 2+y2=9,圓心 N (1, 0), 半徑3.設(shè)動圓的半徑為 R,.動圓 P與圓 M外切并與圓 N內(nèi)切，|PM|+|PN|=R+1+ (3-R) =4,而|NM|=2,由橢圓的定義可知：動點(diǎn)P的軌跡是以M, N為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，a=2, c= 1, b2=a2-c2=3.JF* J5曲線C的方程為 -H- - = I (w - 2).(II)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P

9、 (, y),由于|PM|-|PN|=2R-2W3-1 = 2,所以R0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l, ACC,已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B, D兩點(diǎn)；(1)若/ BFD = 90 , ABD的面積為比泛，求p的值及圓F的方程；(2)若A, B, F三點(diǎn)在同一直線 m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.【解答】解：(1)由對稱性知： BFD是等腰直角,斜邊|BD|=2p點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離d = 1FA = |FB=退學(xué), ABD的面積Saabd=期依， .一 x BD x d = - x 卻 x yflp = 4d5,解得p = 2,所以F坐標(biāo)為(0

10、, 1),圓F的方程為2+ (y-1) 2=8.(2)由題設(shè)月(孔，卻”1叫,則啊與,. A, B, F三點(diǎn)在同一直線 m上，又AB為圓F的直徑，故A, B關(guān)于點(diǎn)F對稱.由點(diǎn)A, B關(guān)于點(diǎn)F對稱得:4M整 7 P坐標(biāo)原點(diǎn)到m, n距離的比值為 h T = 38 .【2011年新課標(biāo)1文科20】在平面直角坐標(biāo)系 Oy中，曲線y=2-6+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓 C上.(I )求圓C的方程；(n)若圓 C與直線-y+a=0交與A, B兩點(diǎn)，且 OALOB,求a的值.【解答】解：(I)法一：曲線y=2-6+1與y軸的交點(diǎn)為(0, 1),與軸的交點(diǎn)為(3+2 2, 0), (3-2.1,0).可知圓心在

11、直線=3上，故可設(shè)該圓的圓心C為(3,t),則有32+(t-1)2=(2.2)2+t2,解得t=1,故圓C的半徑為J前而二于二 所以圓C的方程為(-3) 2+ (y- 1) 2=9.法二:圓 2+y2+D+Ey+F=0=0, y= 1 有 1 + E+F = 0y=0,6+1=0 與？+d+F = 0 是同 方程，故有 D= - 6, F = 1, E= - 2,即圓方程為2+y2- 6 - 2y+1 = 0(n)設(shè)A(1, y1), B(2, y2),其坐標(biāo)滿足方程組m3r備7.消去y得到方程22+ (2a - 8) +a22a+1 = 0,由已知可得判別式=56 16a- 4a20.在此條

12、件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到c-二自一11+2=4- a, 12，由于 OA_LOB 可得 12+y1y2= 0,又 y1 = 1+a, y2= 2+a,所以可得 212+a (1+2) +a =03)由 可得 a= - 1,滿足 = 56 - 16a - 4a2 0.故 a = - 1.9 .【2011年新課標(biāo)1文科22如圖，D, E分別為 ABC的邊AB, AC上的點(diǎn)，且不與 ABC的頂點(diǎn)重合.已 知AE的長為m, AC的長為n, AD, AB的長是關(guān)于的方程 2 - 14+mn= 0的兩個(gè)根.(I )證明：C, B, D, E四點(diǎn)共圓；(n)若/ A = 90，且 m=4, n=6,求C,

13、 B, D, E所在圓的半徑.【解答】解：(I)連接DE,根據(jù)題意在 ADE和 ACB中,ADX AB= mn=AEX AC,AD A即A.C又/ DAE = /CAB,從而 ADEA ACB因止匕/ ADE=/ ACB.C, B, D, E四點(diǎn)共圓.(n) m=4, n=6 時(shí)，方程 2- 14+mn = 0 的兩根為 1 = 2, 2= 12.故 AD= 2, AB = 12.取CE的中點(diǎn)G, DB的中點(diǎn)F,分別過G, F作AC, AB的垂線，兩垂線相交于 H點(diǎn)，連接DH .C, B, D, E四點(diǎn)共圓，1 -2(122) =5.C, B, D, E四點(diǎn)所在圓的圓心為 H,半徑為DH.由于

14、/ A=90 ,故 GH/AB, HF/AC. HF=AG =故C, B, D, E四點(diǎn)所在圓的半徑為 5，.歷gZ H：E2Lf b10.【2010年新課標(biāo)1文科20設(shè)F1, F2分別是橢圓E： 25=1 (0bb。）經(jīng)過點(diǎn)（0 ,J3）,點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等.過點(diǎn)F的直線l交橢圓于M N兩點(diǎn).22x。 3y。(2)當(dāng)M已2FN時(shí)，求直線l的方程；(3)若直線l上存在點(diǎn)P滿足PM- PN= PF2,且點(diǎn)P在橢圓外，證明：點(diǎn) P在定直線上.22【答案】(1) y- 1；顯2y居 0； (3)見解析.43【解析】(1)設(shè)橢圓的截距為 2c,由題意，b= 33

15、,2由點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等，得a+c= c,c又 a2= b2+c2,聯(lián)立解得 a=2, c=1.22.橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 巳 L 1 ；43(2)當(dāng)直線l與軸重合時(shí)，M( - 2, 0), N (2, 0),此時(shí)MF= 3NF,不合題意；當(dāng)直線l與軸不重合時(shí)，設(shè)直線l 的方程為=my+1, M(1, y。，N (2, y2),x聯(lián)立 x2my 1y2，得(3m2+4)13y2+6my- 9=0. = 36m2+36 (m2+4) 0.y1丫26m3 m2 4D, y1y 2MF= 2FN,彳# v1=-2y2,聯(lián)立得,y112m3m2 4 72m26m代入得,3m2 4 2

16、(3)當(dāng)直線,y223m9T23m解得mR5. .直線方程為J5x 2y J5 0； 5l的斜率為0時(shí)，則M (2,0), N ( 2, 0),設(shè) P (% y。)，則 PM?PN |(0-2)(0+2) | ,二點(diǎn) P在橢圓外，0-2, 0+2 同號,P 2225又 PF Xo 1 ,Xo 2 Xo 2 Xo 1 ,解得 Xo 一 .293m2 4當(dāng)直線l的斜率不為o時(shí)，由(2)知，y1 y26m , y1y23m 4PF # m2 yo2yy2yo yy2yoPM Ji m2 M yo ,PN 71 m2 |y2 yo點(diǎn)P在橢圓外，y 1-y。, y2-yo同號, 1 PM?PN ( 1+

17、n2) (yyo) (y?yo) = 1 m26m9223m2 4 3m2 4 355整理得yo ，代入直線方程得 Xo -.，點(diǎn)P在定直線x 上.2m223.已知拋物線C： y2 4x的焦點(diǎn)為F,直線l與拋物線C交于A, B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若直線l過點(diǎn)F且AB 8 ,求直線l的方程;(2)已知點(diǎn)E( 2,o),若直線|不與坐標(biāo)軸垂直，且 AEO BEO，證明：直線l過定點(diǎn).【答案】(1) y x 1或 y x 1 ； (2) (2,o).【解析】解：(1)法一：焦點(diǎn)F(1Q),當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，方程為 X 1 ,與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,2), (1, 2),此時(shí)AB 4,

18、不符合題意，故直線的斜率存在.設(shè)直線l方程為y k(x 1)與y2 4x聯(lián)立得2 k2 2 xk2 O當(dāng)k 。時(shí)，方程只有一根，不符合題意，故k2X2拋物線的準(zhǔn)線方程為x 1 ,由拋物線的定義得| AB | | AF | | BF | X,X22 k22 8,所以l方程為y x 1或y x 1.法二：焦點(diǎn)F(1,O),顯然直線l不垂直于x軸，設(shè)直線l方程為x my 1,y2 4x 聯(lián)立得 y2 4my 40,設(shè) A(Xi,y3 B(x2,y2), yi y2 4m, vm|AB |XiX22yiV221m2vViy221m2、ViV2 24丫佻4由AB 8 ,解得m i,所以l方程為y x i

19、或y x i.(2)設(shè) A(xi,yi), B(x2,y2),設(shè)直線l方程為x my b(m 0)與y2 4x聯(lián)立得：y2 4my 4b 0,可得 yi V 4m , yiy24b.yiy2由 AEO BEO 得 kEA kEB ,即 .xi 2 x2 2整理得 yix22yixiy22y20,即yi(my2b)2yi(myib)y22y20,整理得 2myiy2 (b 2)( yi y) 0,即 8bm 4(b 2)m 0,即 b 2.故直線l方程為x my 2過定點(diǎn)(2,0).224.已知橢圓與當(dāng) i(aa bb 0), A 2,0是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦 BC過橢圓的中心 O，點(diǎn)C在第一象u

20、ur uuir 限，且AC BCuur uuu uur uuin0, |OC OB| 2|AB BC |.(i)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)P、Q為橢圓上不重合的兩點(diǎn)且異于A、B,若 PCQ的平分線總是垂直于 x軸,問是否存在實(shí)數(shù)，使得PQ AB?若不存在，請說明理由；若存在，求取得最大值時(shí)的PQ的長.【答案】 H i (2) 2 443【解析】uuur uum(i) AC BC 0,ACB 90，uuur |OCuur uuuOB | 2|ABuuinuurBC | 即|BC | 2|uuurAC|， zAOC是等腰直角三角形,A 2,0，.一 C 1,1 ,而點(diǎn)C在橢圓上， 1 , a 2,

21、，b2 -, a b322.所求橢圓方程為 -3-1.44(2)對于橢圓上兩點(diǎn) P , Q , PCQ的平分線總是垂直于 x軸，. PC與CQ所在直線關(guān)于x 1對稱, C 1,1，.一PC的直線方程為y k x 11,QC的直線方程為y k x 11 ,22將代入 x- 3y- 1 ,得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0, 44 C 1,1在橢圓上，x 1是方程的一個(gè)根,_ 2 一xp3k 6k 11 3k23k2 6k 13k2 1k xpxq2kACB. A 2,0xPxQ90oA 2,01, 11,1 ,弦BC過橢圓的中心O,kPQkAB , PQ/ abuuru

22、uur存在實(shí)數(shù)，使得PQ ABuur|PQ|12k1 3k24k 21 3k21602.30當(dāng)9k21二時(shí)，即 k2-3時(shí)取等號, 3uur| PQ |max2、. 3053uuu又 | AB |max2 30_Z分,103取得最大值時(shí)的25.已知拋物線y2216x,過拋物線焦點(diǎn)F的直線l分別交拋物線與圓（x 4）2 y216 于 A,C,D,B (自上而下順次）四點(diǎn).(1)求證：| AC | BD |為定值;(2)求| AB | | AF |的最小值.【答案】（1）見證明；（2）108（1）有題意可知，F(xiàn) （4,0）可設(shè)直線l的方程為xmy4, A(x1, y1),B(x2,y2)聯(lián)立直線和

23、拋物線方程16x所以 y1 y2 16m,由拋物線的定義可知,my2 16my 64 0,yy264| AF | x1x14,|BF| x24,又|AC| |AF | 4,|BD| |BF| 4,所以 |AC | | BD | (| AF | 4)(| BF | 4)22xx 必x1x2 16 16胃16,所以|AC | |BD|為定值16.2x1 x1x2 12x1 4x2 32 ,由x1x2 16 ,可得x216x1(2)由(1)可知，|AB | | AF | | BF | x1 x2 8, |AF | x1 4, |AB| |AF | (xi X2 8)(x1 4)64x48 (其中 x

24、1 0 ),2所以 |AB | | AF | x112x12令 f (x) x2 12x - 48, f (x) 2x 12 粵 2(x * 4), xxx)時(shí)，f (x)。，函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)x (0,2)時(shí)，f (x) 0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x (2,所以 f(x) f (2) 108.所以|AB| |AF|的最小值為108._ uuu uuu6.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A 2,0 , B 2,0 , AC AD 2瓜 CB CD 01 ,過點(diǎn)B作AC的平行線交 AD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)E的軌跡為 .(I)求曲線 的方程；(n)已知直線l與圓O:x2 y2 1相切于點(diǎn)M ,且與曲線 相交于P, Q兩點(diǎn)，P

25、Q的中點(diǎn)為N ,求 三角形MON面積的最大值.【答案】(I)土 y2 1 y 0 ； (n)蟲.55【解析】(I)因?yàn)?AD AC ,EB/ AC,故 EBD ACD ADC,所以 |EB I ED ,故 EA EB EA ED AD 2展,2由題設(shè)得A 2,0 , B 2,0 , AB 4,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為： y2 1 y 0 .5(n)由題意，直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線1的方程為y kx因?yàn)橹本€1與圓O相切,| m |所以1k2,X11,消去y得_ 225k x 10kmx25m 5 0.kxm,P Xi, yi,Q X2,y2 ,由韋達(dá)定理知:10kmX22，y15k

26、y2k x1 x22m2m2 .5k所以PQ中點(diǎn)N的坐標(biāo)為5km m5k21 5k2所以弦PQ的垂直平分線方程為y 1 5k25km5k2 ，即x ky4km1 5k20.所以MNMN4km1 5k21 k24km1 k2代入4 km1 5k21 k2所以三角形MON綜上所述，三角形MN4k1 5k2的面積為1 5k2 得1 k2|k|5|k|2. 1 5|k| |k| 1 120上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,以P為圓心，PO為半徑的圓(O為原點(diǎn))，與拋物線C的準(zhǔn)線交于 M N兩點(diǎn)，且 MN 2.(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H.過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B

27、,且AB HB ,求AF BF的值.【答案】x2 4y (2)4(1)將點(diǎn)P橫坐標(biāo)xP2代入x22 py中，求得yp2-24 P (2, -), OP 4, PP2 p點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d 上，P 22.|OP|2* d2,22,22p2 21，p2p解得 p2 4 , p 2 ,.拋物線C的方程為：x2 4y;(2)拋物線x2 4y的焦點(diǎn)為F (0, 1),準(zhǔn)線方程為y設(shè) A xi , yi , B x2 , y2 ,直線AB的方程為y kx 1,代入拋物線方程可得 x2 4kx 4 0 ,x x2 4k , x1x24 ,由 AB HB ,可得 kAB %b1，又 kABkAF, kHB為

28、y2 1X2y1 1 y 1xX2y1 1 y2 120,1212即一為1x21x1x20 ,4412 212. x1 x2 x11642X21x1x20 ,把代入得，x2 x2 16 ,則 |AF | |BF | yi1 y2 1 - X12 xf413.已知拋物線方程4x , F為焦點(diǎn),P為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)， Q為線段PF與拋物線的交點(diǎn)，定義(1)當(dāng) P( 1, 8)時(shí), 3求 d(P);(2)證明存在常數(shù)a ,使得 2d(P) PF(3) P,P2,E為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且PP2 P2P3,判斷d(P) d(P3)與2d(P2)的關(guān)系.8 一.一【答案】(1) ； (2)證明見解析；(3

29、) d P d R 2d P2 3(1)因?yàn)閥 4(x 1).3聯(lián)立方程4y 3(x 1)y2 4x1xQ一，4PF則QF10354d(P) 3.3(2)當(dāng) P 1,0 ,易得 a 2d(P) PF不妨設(shè) P 1,yP , yP 0,直線 PF :x my 1 ,則 myP2 ,、x my 12聯(lián)立 2， y 4my 4 0,y 4x4m 、(4m)2 16yQ2m 2 , m2 12d(P) | PF | 2-yP、,1 m2yP 2yQ2,2m 2m 2 m2 121 m2m(3)設(shè) Pl,yi ,P2 1逸,P3 l,y3 ,則2 d P d P34d P2PFP3F 2 P2Fy： 4 y32 4 2 y22 4K g 2j - 2 44v： 4 Jv3 4 v yi y32 16，因?yàn)椤?v； 4 v； 4yi y3 2 162jy； 4匹2 4 2yiy2 8,又因2.2, /2,22yi 4 y3 4yiy3 44 yiy38y1y3 0,所以 d P d R 2dB.2i4.已知拋物線C:x 2py(p 0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線距離為2.(i)若點(diǎn)E(i,i),且點(diǎn)p在拋物線C上，求|