基本不等式完整版(非常全面)

1、基本不等式專題輔導(dǎo)二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式一、知識點總結(jié)1、基本不等式原始形式21、設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式：JOB x11+- a b(1)若 a,b w R ,則 a2 +b2 之2ab2(2)若 a,b w R,則 ab <a b 22、基本不等式一般形式(均值不等式)*右 a,b = R，則 a +b 之2Jab3、基本不等式的兩個重要變形2、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：2.22a b c ab bc ca(1)若 a,b w R ,則 a +b ><ab 2(2)若 a,b w R*,則 ab <|a!b ) ,2總結(jié)：當(dāng)兩

2、個正數(shù)的積為定植時，它們的和有最小值；當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取“二”115、已知 a,b,cw r+ ,且 a+b+c=1, 求證：4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結(jié)論1(1)右x A0,則x+ 之2 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取 =)x1(2)若x<0,則x+二2 (當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時取“=”) x(3)若ab>04ua+b22 (當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時取"=”) b a22(4)若 a,b w R ,則 ab <(-ab)2 <a 22(5)若 a,bWR*,則，誨s"W21

3、 12. 2 I a b特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng) a=b時取“二”6、柯西不等式(1)若 a,b,c,d w R,則(a2 叱2(c2 可2)4出)2(2)若 a1,a2,a3,b1,b2,b3 R ,則有：(a； a22 a32)(1b12 b22 b32) (aA - a2b2 a3b3)2(3)設(shè)a，a2,1an與6，b2,1bn是兩組實數(shù)，則有(a；a2. an2)(b12b22-bn2)(am- a2b2 a。")222213、已知 a + b + c = 1,求證：a +b +c >- 34、已知 a,b,ce R+ ,且 a + b + c = 1 ,求證

4、：(1-a)(1 -b)(1 -c) -8a b c6、（2013年新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)（理）選修45:不等式選 講設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1,證明：，一、.1a2 b2 c2.（i） ab + bc + ca 三一；（ n ） 十 十 11.3b c a題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域（1） y = 3x2+,（2） y = x（4 x）2x-11 .(3) y = x+ -(x>0)(4) y = x+-(x<0)xx題型三：利用不等式求最值（一）（湊項）41、已知x>2,求函數(shù)y = 2x 4 +的最小值;2x-47、（2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)） 選

5、修45 :不等式選 講已知 a >b >0 ,求證：2a3 -b3 >2ab2 -a2b4 一 一變式1：已知x >2 ,求函數(shù)y = 2x +的最小值;2x-44變式2：已知x<2,求函數(shù)y = 2x +的最大值;2x-42、若 0<*<2,求丫 = vx(6 3x)的最大值;5練習(xí)：1、已知X >,求函數(shù)y =4X -2 + 的取小值;44x -55 12、已知 X <-,求函數(shù) y =4x2 +的取大值;44x -5變式：若0cx<4,求丫 = yx(8一2x)的最大值;題型四：利用不等式求最值(二)(湊系數(shù))1、當(dāng)0 CX &

6、lt;4時，求y =x(82x)的最大值；3、求函數(shù)y =冤2x -1 +352x(1< x <3的最大值;22(提示：平方，利用基本不等式)變式1:當(dāng)0工(4時，求y =4x(8 -2x)的最大值;變式：求函數(shù)y =W4x-3+d11 -4x("3 <x C11)的最大值;443變式2：設(shè)0 <x <金，求函數(shù)y =4x(3 2x)的最大值。題型五：巧用“ 1”的代換求最值問題11 一1、已知a,b >0, a +2b =1 ,求t ='+的最小值;a b法一：19 一變式4：已知x, y > 0 ,且一十一=4,求x+y的最小值;

7、x y變式5:11(1)若x, y A0且2x + y = 1,求十的最小值；x y(2)若a,b,x, y w R+且a+B=1，求 x+ y 的最小值;x y11變式1:已知a,b >0,a +2b = 2,求t = 一 十的最小值;a b、,、 一，2 8變式2：已知x, y >0, + =1 ,求xy的最小值;x y變式6：已知正項等比數(shù)列（an滿足：a7=a6 + 2a5,若14 . 一 , .存在兩項am, an ,使得qamHn = 4&，求一 十 一的最小值；m n11變式3：已知x, y>0,且一+=9,求x+y的最小值。x y題型六：分離換元法求最

8、值（了解）,一x2 7x 10，-1、求函數(shù) y=（x。1）的值域;x 1題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用a b-1、已知log 2 a + log 2 b之1 ,求3 +9的最小值x 8 .變式：求函數(shù)y =（x >1）的值域;x -12、（2009天津）已知a, b>0 ,求+1+27ab的最小值; a bx 2 一 一2、求函數(shù)y=的最大值；（提示：換元法）2x 5變式1： （2010四川）如果a > b >0 ,求關(guān)于a,b的表達211 一 一式a +的最小值；ab a（a -b）變式：求函數(shù)y =4x 9的最大值;變式2： （2012湖北武漢診斷）已知，當(dāng) aA0

9、, a#1時，函數(shù)y =loga（x1）+1的圖像恒過定點 A ,若點A在直線mx y + n = 0上，求4m +2n的最小值；3、已知 x, y>0, x+2y+2xy=8,求 x+2y 最小值;4、（2013年山東（理）設(shè)正實數(shù)x, y, z滿足x2 3xy + 4y2 z = 0 ,則當(dāng)以取得最大值 z一，212時，一十 1 一的取大值為（）x y zA. 0 B. 1 C.9 D. 34（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數(shù)求最值）變式1：已知a,b >0 ,滿足ab = a + b+3 ,求ab范圍;變式2： （2010山東）已知x, y>0,1_112 x 2

10、 y - 3求xy最大值；（提示：通分或三角換元）2變式：設(shè)x,y,z是正數(shù)，滿足x 2y+3z = 0 ,求上的 xz最小值；變式3： （2011浙江）已知x, y>0, x2十y2+xy=1, 求xy最大值；題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1、（2012 沈陽檢測）已知 x, y>0,且（x + y）（1+a） >9 x y恒成立，求正實數(shù) a的最小值；題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式a b（a ,b, c, d w R,當(dāng)且僅當(dāng)一=;即ad =bc時等號成立）c d若 a, b,c,d e R ,則（a2 +b2）（c2 + d2） ± （ac

11、+bd）22、二維形式的柯西不等式的變式（1）Va2 +b2 "c2 + d2 引ac + bda b（a,b, c, d w R,當(dāng)且僅當(dāng)一=一；即ad =bc時等w成立）c d（2）, a2 b2 . c2 d2 _ ac bd11 n2、已知 XyAZA0且+ >恒成立,x - y y -z x - z（a,b, c, d w R,當(dāng)且僅當(dāng)a =;即ad =bc時等號成立）c d如果n w N二求n的最大值；（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）（a b）（c d） _ （, ac 、bd）2（a,b, c, d之0,當(dāng)且僅當(dāng)-=;即ad = bc時等號成立）c d3、二

12、維形式的柯西不等式的向量形式a < a K（當(dāng)且僅當(dāng)E=0,或存在實數(shù)k,使W=k亞時，等號成立）4、三維柯西不等式若 ai,a2,a3,b1,b2,b3e R,則有：、，、一，,144，一變式：已知a,b A0滿則-=2 ,若a+b之c恒成立,a b求c的取值范圍；（a； - a22 - a32）（1b； - 22 , 42） -（為匕- a2b2 - a3b3）2（ai,biWR,當(dāng)且僅當(dāng)曳=蟲=曳時等號成立） “ b2 b35、一般n維柯西不等式設(shè)闞®,與6,b2,bn是兩組實數(shù)，則有：（a12 . a22 . an2）（b2 8211bn2） （a a2b2 + 間區(qū)0

13、）2g,biWR,當(dāng)且僅當(dāng)曳=&=邑時等號成立）b1 b2bn(x -2y 2z)2 < (x2 y析:題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè) x, y, z w R ,若 x2 +y2 +z2 = 4,則 x 2y +2z 的最小值為 時，（x, y,z）= z2）12 （-2）2 224、（2013 年湖南卷（理）已知 a, b,cw,a+2b +3c= 6,則a2 +4b2 +9c2的最小值是（ Ans:12）=4 9=362y+2z最小值為-6此時-6-2i2(-2)2 三22 一 342、設(shè) x, y, z w R , 2x -y -2z =6 ,求 x2 +y2 +z2 的最 小值m ,并求此時x,y, z之值。424Ans： m =4;(x, y,z) =(一,一一)3335、(2013年湖北卷(理)設(shè)x, y, zW R ,且滿 足: x2 + y2+z2=1, x+2y + 3z = VT4 ,求 x + y+z 的 值；3、設(shè) x