線代課件§7正定二次型

1、一、一、慣性定理慣性定理二、正定二次型的概念二、正定二次型的概念三、正三、正( (負(fù)負(fù)) )定二次型的判別定二次型的判別一個實(shí)二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)一個實(shí)二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩下面我們限定所用的變換為下面我們限定所用的變換為實(shí)變換實(shí)變換，來研究，來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì) )(9 慣性定理慣性定

2、理定理定理 .,0 ,0 , 1122222112222211個數(shù)相等個數(shù)相等中正數(shù)的中正數(shù)的中正數(shù)的個數(shù)與中正數(shù)的個數(shù)與則則及及使使及及有兩個實(shí)的可逆變換有兩個實(shí)的可逆變換為為它的秩它的秩設(shè)有實(shí)二次型設(shè)有實(shí)二次型rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 222164zyxf 為為正定二次型正定二次型22213xxf 為為負(fù)定二次型負(fù)定二次型 10定定義義例如例如 ., , 0)(;,0 0,)( 是是負(fù)負(fù)定定的的并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣為為負(fù)負(fù)定定二二次次型型則則稱稱都都有有如如果果對對任任何何是是正正定定的的并并稱稱對對稱稱矩矩陣陣次次型型為為正正定定二二則則稱

3、稱顯顯然然都都有有如如果果對對任任何何設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型AfxfxAffxfxAxxxfT 證明證明使使設(shè)設(shè)可可逆逆變變換換Cyx .21iniiykCyfxf 充分性充分性 ., 10niki 設(shè)設(shè), x任給任給,1 xCy則則故故 . 021 iniiykxf 01定理定理.,: nnAxxfT性性指指數(shù)數(shù)等等于于即即它它的的正正慣慣個個系系數(shù)數(shù)全全為為正正它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形的的是是為為正正定定的的充充要要條條件件實(shí)實(shí)二二次次型型 .為為正正定定的的即即 f必要性必要性, 0 sk假設(shè)有假設(shè)有, )(時時單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量則則當(dāng)當(dāng)sey . 0 sskCef, sCe顯顯然然

4、.為正定相矛盾為正定相矛盾這與這與 f故故 ., 10niki 推論推論對稱矩陣對稱矩陣 A 為正定的充要條件是：為正定的充要條件是： A 的的 特征值全為正特征值全為正, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa定理定理11(11(霍爾維茨定理霍爾維茨定理) )對稱矩陣對稱矩陣 A 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是： A 的各階主子式為正，即的各階主子式為正，即 ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 對稱矩陣對稱矩陣 A 為負(fù)定的充要條件是：奇數(shù)階主為負(fù)定的充要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即子式為負(fù)，而偶數(shù)

5、階主子式為正，即正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì);,A, . 11均均為為正正定定矩矩陣陣則則為為正正定定實(shí)實(shí)對對稱稱陣陣設(shè)設(shè) AAAT., . 2也也是是正正定定矩矩陣陣則則階階正正定定矩矩陣陣均均為為若若BAnBA 例例1 1 判別二次型判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 它的順序主子式它的順序主子式, 05 , 011225 , 01524212425 故故 f 是正定二次型是正定二次型 .例例2 2 判別二次型判別二次型 312322213

6、214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩陣為二次型的矩陣為,502040202 A用用特征值判別法特征值判別法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型為正定二次型故此二次型為正定二次型.即知即知 是正定矩陣，是正定矩陣，A例例3 3 判別二次型判別二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩陣為的矩陣為f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.為負(fù)定二次型為負(fù)定二次型f,402062225 A例例4 4?4225,222正正定定二二次次型型取取何何值值時時yzxztxyzyxft 解解的矩陣為的矩陣

7、為f, 0111 a由由, 01112 ttt,5212111 ttA, 04552121112 ttttA.054 t解解得得224),(yxzyxf 為半為半正定二次型正定二次型2221213),(xxxxf 為為不定二次型不定二次型例如例如 ., 0,)( 為為半半正正定定二二次次型型則則稱稱有有都都如如果果對對任任何何設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型fxfxAxxxfT . ,)(,為為不不定定二二次次型型則則稱稱有有正正有有負(fù)負(fù)若若對對任任何何fxfx 2.正定二次型正定二次型（正定矩陣正定矩陣）的判別方法：）的判別方法：(1)(1)定義法定義法；(2)(2)順次主子式判別法順次主子式判別法

8、；(3)(3)特征值判別法特征值判別法.1.正定二次型的概念，正定二次型與正定正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)系矩陣的區(qū)別與聯(lián)系3.根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到負(fù)定二次型負(fù)定二次型（負(fù)定矩陣負(fù)定矩陣）相應(yīng)的判別方法，請大）相應(yīng)的判別方法，請大家自己推導(dǎo)家自己推導(dǎo).00, 是否為正定矩陣是否為正定矩陣矩陣矩陣試判定分塊試判定分塊階正定矩陣階正定矩陣階階分別為分別為設(shè)設(shè) BACnmBA. 是正定的是正定的C解解于于是是量量不不同同時時為為零零向向則則若若維維列列向向量量維維和和別別是是分分其其中中維維向向量量為為設(shè)設(shè)因因?yàn)闉? 0,),(, yxznmyxnmyxzTTT yxBAyxCzzTTT00),(, 0 ByyAxxTT.,為為正正定定矩矩陣陣故故是是實(shí)