定比分點公式的三大應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上定比分點公式的應(yīng)用線段的定比分點坐標(biāo)公式：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面內(nèi)兩個定點，點P0（x0，y0）分有向線段所成的比為，則有 （1） 而 特別地，當(dāng)點P0為內(nèi)分點或者與點P1重合時，恒有0，當(dāng)點P為外分點時，恒有0（1）。定比分點公式揭示了直線上點的位置與數(shù)量變化之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。靈活應(yīng)用這個公式，可使解題過程簡潔明快，充分展現(xiàn)思維的獨創(chuàng)性。下面舉例說明它在解題中的應(yīng)用。一、 用于求解數(shù)值的范圍例2.已知求證：。證明：設(shè)是數(shù)軸上的三點，定比分點，則定比 的外分點，則 。二、 用于解決不等式問題例1.已知，求證：。證明：設(shè)是數(shù)軸上的三點，則 是的內(nèi)分

2、點，在-1與1之間，即。定比分點公式的類比推理從定比分點公式的結(jié)構(gòu)形式來看，它與平面幾何中的平行于梯形、三角形底邊的截線問題，立體幾何中的平行于柱、錐、臺底面的截面問題以及數(shù)列中的通項公式、前n項和與項數(shù)n的關(guān)系等問題，具有很明顯的相似之處。1平面幾何中的定比分點：命題1：設(shè)梯形ABCD的上、下底邊長分別為l1、l2 若平行于底邊的截線EF把梯形的腰（高）分成上、下兩部分之比為（-1），則EF的長l=(0)。特別地，（1）當(dāng)l1=l2時，條件為一平行四邊形，結(jié)論仍成立；（2）當(dāng)l1=0時，條件為一三角形，結(jié)論仍成立；（3）當(dāng)1時，即可得到梯形的中位線公式。證明：設(shè)BA的延長線與CD的延長線交于

3、O，由三角形相似可得由（1）（2）可得。依照命題1的推導(dǎo)方法，不難證明出以下命題：命題1：設(shè)梯形ABCD的上，下底邊長分別為l1,l2，若平行于底邊的截線EF把梯形的面積分成上下兩部分之比為，則有（特別當(dāng)l1=0梯形退化為一個三角形時，結(jié)論為=仍成立。）2、立體幾何中的定比分點：命題2 ：設(shè)棱臺的上、下底面積分別為S1、S2，平行于底面的截面的面積為S0，此截面到上底面距離與它到下底面距離的比為，則有： 。特別地，當(dāng)1時，。證明：將棱臺補(bǔ)成棱錐，設(shè)所補(bǔ)的小棱錐的高為x，截面到上、下底面的距離分別為h和h，則由截面性質(zhì)定理可得：從而有： (1) (2), 由(1) (2)得即：依照公式2的推導(dǎo)方

4、法，不難證明出以下兩公式：命題2:設(shè)棱臺的上、下底面積分別為S1、S2，平行于底面的截面的面積為S0，若此截面將棱臺的側(cè)面分成的上、下兩部分的面積之比為，則有命題2”: 設(shè)棱臺的上、下底面積分別是S1、S2，平行于底面的面積為S0若此截面將棱臺分成的上、下兩部分的體積比為，則有注：以上三個公式，對于圓臺也同樣成立上述三個“定比分點”公式，形式整齊，結(jié)構(gòu)對稱，富有美感，便于記憶；而且在求解立體幾何的有關(guān)問題時，有著廣泛的應(yīng)用。3數(shù)列中的定比分點：命題3：設(shè)是等差數(shù)列，其中ap、am、an，滿足則。證明：ap=a1+(p-1)d ， am=a1+(m-1)d ， an=a1+(n-1)d（其中a1

5、、d分別是等差數(shù)列的首項與公差）將ap、am、an 代入 中可得 命題3:設(shè)是等差數(shù)列，n是數(shù)列的前n項和，其中p、m、n滿足（），則。證明：因為 =那么S=An2+Bn，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，由命題3，即有。三、 用于求函數(shù)的解析式對于函數(shù)y=f(x),如果能夠化為，就與的形式完全相同（只須把t(x)看成），用數(shù)軸上兩點P1、P2分別表示m、n，不妨設(shè)m<n，P點表示y，且，則當(dāng)t(x)>0時，m<y<n;當(dāng)t(x)=0時，y=m;當(dāng)t(x)<0時，y<m或y>m 。 例3.已知二次函數(shù)f(x)滿足條件：(1) f(-1)=0；(2)對一切xR，都有成立，求f(x)的解析式。本題如果應(yīng)用函數(shù)、根的判別式、基本不等式等知識來解題的話,過程比較繁瑣，有些學(xué)生因為綜合能力差，聽完講解后仍然似懂非懂，但如果運(yùn)用定比分點公