電動(dòng)力學(xué)第四章

1、電動(dòng)力學(xué)B劉克新第四章電磁波的1本章主要內(nèi)容§1、波動(dòng)方程和平面電磁波§2、電磁波在介質(zhì)表面的反射和折射§3.導(dǎo)體中的電磁波§4、波導(dǎo)與諧振腔2§1、波動(dòng)方程和平面電磁波Ø 1、波動(dòng)方程及其解Ø 2、平面電磁波的能量密度和能流密度3Ø 1、波動(dòng)方程及其解變化的電磁場(chǎng)以波的方式,變化的電流是電磁波源。電磁波一經(jīng)產(chǎn)生，離開源后就按自身規(guī)律運(yùn)動(dòng)。需要研究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題：(1)(2)電磁波的激發(fā)問(wèn)題(下一章)。電磁波自身的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即電磁波的傳輸。討論限于某一區(qū)域，其內(nèi)為線性、均勻、各向同性介質(zhì)， 即e(w)、m(w)、s 都不

2、隨空間位置變化，并且區(qū)域內(nèi)沒(méi)有自由電荷分布。如果把e、m、s 分別用真空中的對(duì)應(yīng)量e0 、m0 、0代替， 就得到真空中的結(jié)果。4介電常數(shù)和磁導(dǎo)率與頻率有關(guān)的現(xiàn)象稱為介質(zhì)的色散，m = m(w)，e = e (w ).即這將導(dǎo)致介質(zhì)中不同頻率的電磁波有不同的波速。rrD = å D(wi ) = åe(wi )E(wi )¹ e E.這時(shí)ii僅當(dāng)電磁波只含有單一頻率 w 時(shí)，或者介質(zhì)沒(méi)有色散時(shí)上式對(duì)應(yīng)的等式才成立。B與H的關(guān)系類似。Ñ× D = 0,1234Ñ× B = 0,Ñ´ E = -¶B

3、 / ¶t,介質(zhì)中的Maxwell方程組rÑ´rr¶H = J f+ ¶t D.s E5把方程組3式兩邊取旋度:rÑ´ (Ñ´ r= -m ¶ Ñ´ H ,r¶ E) = - ¶tÑ´ B¶trrÑ(Ñ × D ) - Ñ2E = -Ñ2Ee方程組4式對(duì) t 偏導(dǎo):r¶ Ñ´ rr¶ æ¶E öH =

4、82;tçs E + e¶t ÷ ,¶tè¶2Eør¶r- msE = 0,Ñ2E - me消去H得：¶t 2¶t如果從Maxwell方程組消去E得：rr¶2B¶BB - me- msÑ2= 0.¶t 2¶t6對(duì)于絕緣體，由s = 0 得到電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程r¶2EE - meÑ2= 0,¶t 2把上面的E換成B就得到關(guān)于B的方程。這些方程限于電磁波只含有單一頻率 w （單色波），或無(wú)色散介質(zhì)。一般形式的電磁

5、波可以通過(guò)單色波的疊加。v 上述波動(dòng)方程的單色波r 解可寫成復(fù)數(shù)形式更為方便：E = E ei (k gr -wt ),0réù實(shí)際電磁波取實(shí)部： E = Re Ei (k gr -wt )e,ëû0其中， E0 是復(fù)常矢量，其幅角是初始時(shí)刻原點(diǎn)處波動(dòng)的初相位，這里的k和w 分別為實(shí)常矢量和實(shí)標(biāo)量。7電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示方法是為了有關(guān)電磁波的運(yùn)算方便，前提是取實(shí)部的操作與所作的運(yùn)算可交換次序。這樣才能保證運(yùn)算后再取實(shí)部所得結(jié)果的正確性。rv 電場(chǎng)對(duì)時(shí)間偏微商：¶E / ¶t = -iw E,限于E 的上述形式，可以用代換關(guān)系表示：

6、2; Þ -iw.rrrrr ¶t¶E / ¶x = ikx E, ¶E / ¶y = iky E, ¶E / ¶z = ikz E,由代換關(guān)系：Ñ Þ ik ,rrrÑ× E = ik × E,Ñ´ E = ik ´ E.例如，v 如果限于單色波解， Maxwell方程組的前2式是不的，因?yàn)閷?duì)4式求散度就得到1式：8rrr ùr¶éÑ×êÑ´ H = s

7、E + ¶t Dú Þ 0 = Ñ× D,ëû。同樣可說(shuō)明2式也不v 電磁波的解的性質(zhì)：(1) 等相位面，波矢量，波長(zhǎng)，相速度k把電場(chǎng)的復(fù)數(shù)解代入波動(dòng)方程，得r-k 2E + mew 2 E = 0,rk = wme ,O從波動(dòng)方程知，k 可以取任意方向。kr wt = const 給出等相位的條件，在任一時(shí)刻，垂直于k 的全部空間點(diǎn)即等相位面。了一個(gè)平面，9等相位面若把 x 軸取在k方向，則等相位條件變?yōu)閗 x wt = const,k dx wdt = 0，微分得wk 1medxdt=v =由此得等相位面移動(dòng)的速度為：.

8、等相位面沿k方向移動(dòng)，因此k 被稱為波矢，= w= 2p ,k = wmel為波長(zhǎng)。lv在真空中，設(shè)電磁波的速度為 c，由上面的速度公式得：1c =,m0e0這個(gè)速度與真空中的光速相同，因此Maxwell認(rèn)為，光是一種電磁波。10v = 1= c n=cmrer< c,電磁波在介質(zhì)中的速度為：men 是介質(zhì)的折射率，通常大于1。(2) 電磁波的橫波特性Ñ´ E = -¶B / ¶t 得：ik ´ E = iwB,由由于這個(gè)等式對(duì)任意時(shí)間、任意地點(diǎn)都成立，所以， B和E的波矢、圓頻率、初始時(shí)刻在原點(diǎn)的r初相位必須相等，消去共同的指數(shù)因子得：

9、 k ´ ER = wBR ,這里，下標(biāo)r“R”表示復(fù)矢量的實(shí)數(shù)（Real）振幅部分，即E = E ei (k gr -wt )ei (k gr -wt +a ).= E0R rrrrrrrr磁場(chǎng)B垂直于波矢k 。由此得，k × BR= k × (k ´ ER ) = ER × (k ´ k ) =r0再由Gauss定理 Ñ× E = 0即k也與E垂直。得：k × ER = 011所以ER，BR，k相互垂直的右手系（與i，j，k三個(gè)方向之間的關(guān)系相同）。即電磁r 波為橫波，如圖。k ´ ER =

10、 wBR= v,由3者相互垂直及關(guān)系式E = w得：Bk在真空中，這個(gè)比值就是光速 c （如果用Gauss 比值為1）。制，這種等相位面為平面，電場(chǎng)（磁場(chǎng)）沿固定方向，并且振幅不隨時(shí)間和位置變化的波稱為平面波。12Ø 2、平面電磁波的能量密度和能流密度由于能量密度和能流密度都有場(chǎng)強(qiáng)的二次式r，(Re E)2 ¹ Re E2.與取復(fù)共厄運(yùn)算不可交換，即在求平均值時(shí)需要注意。平面電磁波的能量密度為：rrrru = 1 e (Re E) +1m1m(Re B) = e (Re E)=2222(Re B) ,2根據(jù)平面電磁波的電、磁場(chǎng)的比例關(guān)系知道，電場(chǎng)的能量和磁場(chǎng)能量相等。制的關(guān)

11、系，E，B 沒(méi)有直接的可比性，若要相由于比，就要看對(duì)能量的貢獻(xiàn)。在這個(gè)意義上，可認(rèn)為平面電磁波中電場(chǎng)和磁場(chǎng)相等。13v 平面電磁波的能流密度為：rrrremS = Re E ´ Re H= Re E ´k ´ Re Ere1= (Re E)m k =uk = uvk,me2這表明能流密度就是能量密度 u 以相速v 沿方向的。電磁場(chǎng)隨時(shí)間周期性變化，時(shí)間平均值更為重要。由于用復(fù)數(shù)表示電磁波，在求時(shí)間平均值時(shí)用到以下公式。14ei(a -wt +b ) ,g(t) = gei(a -wt ) ,設(shè)2個(gè)函數(shù) f、g ：f (t) = fRR它們的實(shí)部分別代表某2個(gè)物理量

12、，其中a 、b 是任意不依賴 t 的函數(shù)，例如 k·r 。 fR 和 gR 都是實(shí)數(shù)。f 和 g 的周期平均值為：fg º< fg > º 1Tòf cos(wt -a) gcos(wt -a - b )dt,R R T0= 1 cos b + cos(2wt - 2a - b )= 1 fg cos b ,2RR2計(jì)算：1 Re( f g*) = 1 Re( f * g)22= fg,= 1 f2g cos bRR15由此可以得出結(jié)論，求2個(gè)物理量的周期平均值時(shí)，把任意一個(gè)量取復(fù)共軛，與另一個(gè)相乘，其積的實(shí)部的一半就是這2個(gè)量的周期平均值。

13、上述結(jié)論也可以用來(lái)求兩r個(gè)矢量相乘的平均值，< f ´ r >, < f × r > .例如可以求ggr1u = e < E2 >e ER ,=2因此，2r1<>=rr´e E2 k.= 12SRe(EH*)2mR16§2、電磁波在電介質(zhì)表面的反射和折射Ø 1、 反射定律和折射定律Ø 2、Fresnel公式Ø 3、全反射17電磁波入射于介質(zhì)界面時(shí)，會(huì)發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。任何波動(dòng)在界面上的反射和折射現(xiàn)象都與邊值問(wèn)題相關(guān)，它是由波動(dòng)的基本物理量(例如 E, B)在兩種不同介質(zhì)的界面

14、上的邊值關(guān)系確定的。Ø 1、 反射定律和折射定律由于電介質(zhì)是絕緣體，在界面上 Kf 0，電荷，即 af 0，設(shè)界面上在第一章導(dǎo)出的一般情況下的電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為:D2n D1n af0 ，B2n B1n ，n× ( E2 E1 ) 0 ，0 .n× ( H2 H1 ) Kf18前面討論過(guò)，對(duì)平面電磁波而言， Maxwell方程組中的4個(gè)方程中，第1、2兩個(gè)是不的。對(duì)應(yīng)的，在上述邊值關(guān)系中，只需要考慮后面2個(gè)方程。設(shè)介質(zhì) 1 和介質(zhì) 2 的分界面是無(wú)窮大平面， 且平面電磁波從介質(zhì) 1 入射于界面上。與入射電磁波相關(guān)的量用上標(biāo)zktqti （incident）表示，則

15、21rrririEi =Ei ei (k ×r -w t ) ,x0被界面擋住返回的波稱為反射波，qqrikikr用上標(biāo)r （reflected）表示，rrrrrrEr=Erei (k ×r -w t ) ,019z反射波是否是平面波？一般形式的電磁波總可以表示成平面波的疊加。可先把反射波設(shè)為平面波的形式， 如果結(jié)果不是平面波，就應(yīng)該解出多個(gè)頻率和(或)波矢。穿過(guò)界面進(jìn)入介質(zhì)2的波稱為折射波ktqt21xqqrikikr或透射波（refracted，transmitted），rrrtr用上標(biāo) t 表示， Ett=Et ei (k ×r -w t ) ,0= 0,k

16、 i對(duì)入射波，選坐標(biāo)軸使入射波矢在 x-z 平面，即代入電場(chǎng)在界面（ z=0）的邊值關(guān)系的 x 分量：yrrri ( k x+k y -w tt ) ,tti ( k x+k y -w t )i ( k x-w t )ii+ Er e= EtEieexyxyx0 x0 x0 x20z在上述方程中取坐標(biāo)為原點(diǎn)值，再除以入射波的振動(dòng)因子得：ri (w it -w rt )ktqtei (w it -w tt ) ,= EtEi0 x21此式對(duì)任意時(shí)間都成立，所以得xw i= w r= w t= w ,qqri即入射、反射、透射波的頻率相同。kikr消去w,得：= k ,irk t1xx= k t=

17、 0.k ryy即反射波、透射波也都是平面波，ki、kr 、kt 都在x-z 平面內(nèi)。= w 2 me ,= w 2 / v2k 2k i由得： 再加上= k r ,1 式和反射波本身的特點(diǎn)得：k i= -kr ,zz21q i= q r ,z光學(xué)中的反射定律。對(duì)透射波，ktqtsinqk i/ k iik t= x21sinq tk t/ k tk ixxm evinqq= 22 =ri= n, 2 m evt21nkikr111這就是光學(xué)中的折射定律（Snell定律）。Ø 2、Fresnel公式入射、反射、折射波的振幅關(guān)系(反映了強(qiáng)度關(guān)系)。以入射平面做基準(zhǔn)，把電場(chǎng)分解成垂直和平

18、行于該平面的2個(gè)的方向，如下頁(yè)圖。22垂直方向以從外面進(jìn)入屏幕為正，平行方向、垂直方向和波矢右手關(guān)系就規(guī)定了平行分量的正向。zktEt0+qtEt電場(chǎng)在界面上連續(xù)可以給出x, y 2個(gè)方向的方程：x方向：210PxqqEiirEr0 +0kr(E- E) cosq= Ecosq ,12irittki0P0P0PEiEry方向：Ei+ Er= Et,0P0P000r1 æ kr öH = m ç w ´ E ÷ ,對(duì)平面波，H與E有如下關(guān)系：èø在界面的自由面電流密度為0的情況下， H在界面上也是連續(xù)的：2311+ k r E

19、r ) cosq i = -cosq t ,3(-ki Eik t Etx方向：m000m1211(ki Ei + k r Er ) =k t Et,y方向：4mm0P0P0P12在入射電磁波已知的情況下，求反射和透射波的4個(gè)分量（各有2個(gè)分量） 。上面的方程也是4個(gè)，原則上反射和透射波的振幅都可以解出來(lái)。m1 » m2 » m0 ,一般可設(shè)me = w n / c µ n µk = we ,由2和3式得， Ercosq icosq i- nt cosq t+ nt cosq tni 0=Eini024= - sin(q i-q t )sinq int1

20、+q t ) ,=sinq t)(用sin(q ini2ni cosq2 cosqsinq tEtii2= 0 .cosq i + nt cosq tsin(q i +q t )Eini0= tan(q i-q t )+q t )Ercosq icosq i- ni cosq t+ ni cosq tnt由1和4式得，0P=3,tan(q iEint0PEt2 cosq i sinq tsin(q i +q t ) cos(q i -q t ) 0P=.4Ei0P上面4式就是光學(xué)中的Fresnel公式。這里導(dǎo)出的結(jié)果與光學(xué)實(shí)驗(yàn)一致，說(shuō)明Maxwell方程是許多光學(xué)規(guī)律的理論基礎(chǔ)，光是一種電磁波

21、。25根據(jù)Fresnel公式，我們可以得出以下結(jié)論：入射波只有垂直分量，則反射波和透射波也只有垂直分量；對(duì)平行分量也一樣。自然光可以看作各種頻率和振動(dòng)方向的平面波的疊= Ei加，因此 Ei, 一般地，反射或透射后的電磁波的00P這2個(gè)方 向的振幅不再相等，即為部分偏振光。(3) 當(dāng)入射角與透射角之和為p /2 時(shí)，該入射角記為qB ，qB +q= p / 2,tq i= qB ,由Fresnel公式 3 知道，這時(shí)= 0,= ErErEr,00P0即反射電波完全變成方向的偏振波。這個(gè)規(guī)律在1812 年由D. Brewster 發(fā)現(xiàn)，被稱為Brewster定律。26發(fā)生這種現(xiàn)象的入射角稱為Bre

22、wster角，即qB 。由折射sinq= nt sinq t = nt cosq ,ni定律得BB最后得出計(jì)算Brewster角的公式： tanqB= nt / ni .(4)半波損失Fresnel公式也能給出波動(dòng)的相位關(guān)系，例如當(dāng)電磁波從光疏介質(zhì)到光密媒質(zhì)入射（e1< e2），Ei = Ei并且入射波只有垂直分量（）時(shí)，00由Fresnel公式 1 得：< 0,180°的相位突變，Er/ Ei00這表明，從入射波到反射波出現(xiàn)了這種現(xiàn)象稱為半波損失。27Ø 3、全反射當(dāng) e1 > e2 ，即 v1 < v2 時(shí)，如果入射角滿足m e/ m esinq

23、 i = n= v / v (< 1),21則透射角為90°： sinq t221112= v2= v2v1sinq i= 1,v1v1v2當(dāng)入射角再增大時(shí)， sinq t 將大于1，透射角沒(méi)有實(shí)數(shù)解.z設(shè)邊值關(guān)系仍然成立,得：ktqt= k tsinq ik i= k i= 0,> 0,xx21= k tk iyyxq= k inqk t再由ri21v1kikr得= k ik t< k i sinq i= k t ,xv228透射波矢的 x 分量比這個(gè)波矢本身還大，所以透射波矢的 z 分量只能是純虛數(shù)，(kt )2 - (kt )2 = ±ki-(sin

24、2 q i - n2 ) = ±k tzx21= ±ikisin2 q i取正值,透射波的解為：= ±ia,- n221rEtr- azi (k x-wt )t=E ete,x0取解的實(shí)部即得到電場(chǎng)的解，表示隨著z 的增大，電場(chǎng)迅速減小，即電場(chǎng)為衰減波。而 ia 解則表示隨著z 的增大，電場(chǎng)迅速增大，不合理，應(yīng)該舍去。若把所有的 cosq換成 k t/ k t ,t則Fresnel公式仍然成立。z從衰減波的表達(dá)式可以看出，當(dāng)在z 方向進(jìn)入第2種介質(zhì)的深度為1/a 時(shí)，電波衰減為原來(lái)的1/e ，稱為穿透深度d29li1au l ,d =i2psin2 q i - n

25、221即電波能進(jìn)入第2種介質(zhì)幾個(gè)波長(zhǎng)。rrEEv 計(jì)算反射波的振幅得到= 0 Pi= 1, 0 iEE0 0 P這可以說(shuō)明入射波和反射波的能流密度相等，即入射的能量全部被反射了，進(jìn)入第2種介質(zhì)的平均能量為0。在第2種介質(zhì)中，波矢為復(fù)數(shù)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相位不同， 可計(jì)算出能流密度的時(shí)間平均值為0 。能流密度在半個(gè)周期中為正，電磁能量進(jìn)入第2種介質(zhì), 另半個(gè)周期為負(fù)，能量又從第2種介質(zhì)回到第1種介質(zhì).復(fù)數(shù)波矢代表沿空間衰減的波， 復(fù)數(shù)頻率代表隨時(shí)間衰減的波。30§3.Ø 1 .Ø 2.Ø 3.Ø 4.導(dǎo)體中的電磁波導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布導(dǎo)體內(nèi)的電磁波趨

26、膚效應(yīng)和穿透深度導(dǎo)體表面上的反射31在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部，由于電流，其中的電磁波可以無(wú)衰減地。在導(dǎo)體內(nèi)部，由于電磁場(chǎng)的作用，自由電子可形成傳導(dǎo)電流，以Joule 熱的方式形成能量損耗，即rJrr= (s E ) × E = s¹ 0, × E2Ef由能量守恒，導(dǎo)體內(nèi)部的電磁波應(yīng)該是衰減波。以下僅限于討論線性、各向同性、均勻介質(zhì)， 即 m、e、s 都是標(biāo)量常數(shù)的情形。32Ø 1 .導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布靜電場(chǎng)中導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，自由電荷只能分布在表面上。對(duì)頻率不太高的電磁場(chǎng)，這一特性同樣存在。設(shè)導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷密度為 rf ，¶ rr= - &#

27、209; g- sD ) =- Ñ g(s= - Ñ g(s E ) =fr,Jef¶ tef- str ( t ) = r 0 eeeT?,所以只要電磁波的周期 T 滿足s時(shí)間經(jīng)過(guò)若干個(gè)周期以后，就可以認(rèn)為 r (t) = 0。s此即為通常所說(shuō)的良導(dǎo)體條件，也可以寫成：w ,?e一般金屬導(dǎo)體 s /e的數(shù)量級(jí)為1017s-133Ø 2.導(dǎo)體內(nèi)的電磁波電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程：¶ öæ E ö =æ¶2Ñ - me- ms2¶t ÷ç r ÷0,

28、1;¶t 2øè B øè當(dāng)s 0 時(shí)，上式就是以前的波動(dòng)方程，它有平面波解：rE = E ei (k gr -wt ),0k = wme .其中，在全反射問(wèn)題中，復(fù)數(shù)形式可以表示衰減波。34現(xiàn)從形式上的平面波出發(fā)，討論金屬中電磁波。r= m (i w ) ¶t 2 E,rs¶¶2ms對(duì)電場(chǎng)的平面波解¶t E由此可見(jiàn)，方程中對(duì) t 的1次偏導(dǎo)項(xiàng)可以并入2次偏導(dǎo)項(xiàng)中，即如果把介電常數(shù)e 改為：e ' = e + i s ,w這時(shí)上面關(guān)于電場(chǎng)的微分方程為：r¶2EE - me '&#

29、209;2= 0.¶t 235只要把以前電介質(zhì)結(jié)果中的e 換成e ，就得到電磁波在金屬中形式。= w 2 me ,= w 2 me ¢,k 2k 2以前關(guān)于波矢的關(guān)系式變成因此波矢是一個(gè)復(fù)數(shù)，代表沿空間衰減的電磁波。r+rk = b其中a、b 均為實(shí)矢量。ia ,設(shè)rrr- r rra ×r ei ( b ×r -w t ) ,，沿a 方向衰減的波。由此得E = E e0這代表沿b 方向v 復(fù)數(shù)介電常數(shù)的物理意義Ñ´ H = -iwe E + s E (= -iwe ¢),右方的兩項(xiàng) -iwe E，s E 分別代表位移電流和

30、自由電流。自由電流耗散的(平均)功率密度為36rrrr1< J × E >=< s E × E > =s E ,2R2位移電流 iwe E(該項(xiàng)在絕緣介質(zhì)也存在)，由于有因子 i ， 使得它與 E 有 90° 的相位差，對(duì)時(shí)間平均后其消耗的功率密度為 0，即總體上不消耗電磁能量。復(fù)介電常數(shù) e ¢ = e + is / w實(shí)際就是把以上兩種效應(yīng)綜合在一起，實(shí)部 e 代表位移電流的貢獻(xiàn)，虛部代表自由電流的貢獻(xiàn)(耗散部分)。37Ø 3.趨膚效應(yīng)和穿透深度在導(dǎo)體表面上，電磁波和導(dǎo)體的自由電子相互作用引起導(dǎo)體表層上的電流，透入導(dǎo)

31、體表面薄層內(nèi)的電磁波通過(guò)自由電流使電磁場(chǎng)的能量耗散為Joule熱。v 只考慮 垂射的情況。設(shè)導(dǎo)體表面為 x-y 平面，= k i= 0,k iz 軸指向?qū)w內(nèi)部，對(duì)入射波有xyzOkx = ky = 0,k = zb + iza,透射波矢的2個(gè)分量為所以k 只有z 分量，即導(dǎo)體中的電磁波為： Exi (bz -wt )- az=E ee，ki0r=b2 - a2 + 2iagb = w 2 m (e + is / w ),并且k 2381-絕緣體2-導(dǎo)體穿透深度s 2e 2w 211me (-1)2 ,a = w1+2s 2e 2w 21+1)2 ,1me (b = w1+2對(duì)良導(dǎo)體， k的虛

32、部遠(yuǎn)大于實(shí)部(兩者之比s /ew >>1)，2上式還可化簡(jiǎn)為» iwmsk 2k =iwms= b + ia,wms , 2a » b »d = 1 »2wms.由此可得穿透深度：a39u 107 (ohm × m)-1， m : 10-6 N × A-2，對(duì)典型的金屬，se : 10-11Coul × N -1m-2，w : 1015 s-1，對(duì)可見(jiàn)光，穿透深度d大約是108 m ，即大約10到100個(gè)的尺度。這就解釋了金屬為什么是不透明的。v 以上結(jié)果還說(shuō)明，對(duì)高頻電磁波，電磁場(chǎng)以及和它相作用的高頻電流僅集中

33、在金屬表面很薄一層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱趨膚效應(yīng)（skin effect）。對(duì)弱導(dǎo)電介質(zhì)?40v 金屬中的磁場(chǎng)( 限于 垂射)i (k gr -wt )由得wmHÑ´ E = i， E =E e，011wm(b + ia)k´ E,=H =k ´ Ewmipswms4 k´ E,H »對(duì)良導(dǎo)體，a » b »wm e,2良導(dǎo)體中磁場(chǎng)比電場(chǎng)的相位滯后45°.k ´ EmemememeH EH E kwm在電介質(zhì)中，= 1,=Esewsmw在良導(dǎo)體中，»=? 1,這說(shuō)明在導(dǎo)體中，磁場(chǎng)遠(yuǎn)比電場(chǎng)重要，

34、金屬內(nèi)的電磁波的能量主要是磁場(chǎng)能量。41zOkiØ 4.導(dǎo)體表面上的反射先討論從真空向?qū)w的 垂射x(這已經(jīng)可以反映出導(dǎo)體反射的特點(diǎn))。E 可以看成是垂直于入射平面的（也可以看成平行入射平面）。Ei×H i00zO金屬中的m 和e 分別近似地取為 m和e，00x仍然可以從前面得到的Fresnel公式出發(fā)：H r0Er ×- kcosq i - n cosqcosq i + n cosqk iErni0=(= 0 z )kr+ kk iEiniz01-e '/ e1-1+ is / we1- k / k i= 0 0 z1+ k/ k i1+e '/

35、 e1+1+ is / wez00421-真空2-導(dǎo)體1-真空2-導(dǎo)體we0/ s -we0 / is -we0 / is +1 » -1+we0 / isi=we0/ s +we0 / is +we0 / is +1we0 / is1+i(2we0 / s -1)- i=,2we0 / s +1)+ i反射系數(shù) R 定義為反射、入射能流之比，2=(1 -2we /s ) +122weEr» 1. 0» 1 - 2R = 0 s(1 +2we /s )2 +1Ei0因此, 良導(dǎo)體可以做反射鏡。43射情形,利用前面2種介質(zhì)界面的邊值關(guān)系，v 對(duì)非垂也可以解出反射波和

36、透射波。界面上， 3種波波矢的x 和y分量對(duì)應(yīng)相等，所以rk =rb= a= 0,b + ia,yy1b = k i ,a= 0,xxx只有透射波x 分量的實(shí)部， z 分量的虛、實(shí)部3個(gè)分量可能不為0。r × b,» iwms= b2 - a2 + 2iak 22sew» a2 ,b2比較實(shí)虛部r12= wm0s /2 =a × b = azbzwm0e? (k )³ b ,2i22x(ki )2>>144k = zb + iza,忽略b2 , b » b得：xz并且a » b »wm0s / 2,（負(fù)

37、根舍去）因此，在任意入射角的情況下a (反映衰減)垂直于表面，b (反映) 也接近法線方向。穿透深度 d1/a 的表達(dá)式與垂射時(shí)相同。45§4、波導(dǎo)與諧振腔Ø 1.Ø 2.Ø 3.Ø 4.Ø 5.理想導(dǎo)體的邊界條件矩形波導(dǎo)(空心金屬管)中的電磁波波導(dǎo)中電磁波的截止頻率諧振腔諧振腔的品質(zhì)因數(shù)Ø 6*.同軸線46v 在上一節(jié)中討論的平面波的等相位面為無(wú)限大平面，因此這種波只存在于空間，當(dāng)空間被邊界限制時(shí)，相應(yīng)的電磁波不再是平面波。邊界可以由不同的材料的各種不同形狀，此處只討論由理想導(dǎo)體(s為無(wú)限大)圍成的簡(jiǎn)單、對(duì)稱空間波導(dǎo)。&#

38、216; 1.理想導(dǎo)體的邊界條件理想導(dǎo)體的穿透深度d =在其內(nèi)部有 Ec2 / wm0s= 0，HcÞ 0,= 0，47可能不為0，n在金屬表面 Kf導(dǎo)體與電介質(zhì)界面上的邊值關(guān)系為：D2n D1n af，B2n B1n ，n× ( E2 E1 ) 0 ，n× ( H2 H1 ) Kf .只有后面2式（相當(dāng)于4個(gè)分量方程）是的，用沒(méi)有上下標(biāo)的字符表示介質(zhì)中電磁場(chǎng)，得：n× E 0 ，n× H Kf.上面的第1式表示導(dǎo)體外邊界處的電場(chǎng)與界面垂直， 第2式反映了介質(zhì)中的磁場(chǎng)與導(dǎo)體表面上的高頻電流之間的關(guān)系。求出介質(zhì)的電磁場(chǎng)后，就可得到導(dǎo)體表面的電流分

39、布。482：電介質(zhì)1：導(dǎo)體下面的討論僅限于單一頻率的電磁波，更一般電磁波原則上可以用單一頻率的電磁波的疊加表示出來(lái)。如以前所述，在單頻波Maxwell方程組中，只有Faraday定律和Ampére定理2式是這2式相當(dāng)于如下3個(gè)方程：的。r1Ñ2E + k2E = 0,(Helmholtz方程)= w 2 me ,k 2其中rir= -Ñ´2BE,(Faraday定律)w3Ñ× E = 0,49rÑ´imwÑ´ H = Ñ´(B / m) = Ñ´(-E)

40、=éÑ(Ñ× rrùi= -iw(e E),= -E) -Ñ2Eûmw ë該等式的兩端就是電介質(zhì)中單頻情況下的Ampére定理。把電場(chǎng)的散度為0用在電介質(zhì)中， 導(dǎo)體附近，取界面為x-y 平面：n+ ¶Ey¶Ex+ ¶En= 0,¶x¶y¶n¶En= 0.該式常與邊界條件一同使用。¶n50邊界上電場(chǎng)的切向分量總為0，沿邊界的偏導(dǎo)自然為0。2：電介質(zhì)1：導(dǎo)體yØ 2.矩形波導(dǎo)(空心金屬管)中的電磁波v 現(xiàn)在要求r的電場(chǎng)需

41、要滿足：a123Ñ2E + k2E = 0,¶En / ¶n = 0,zxbO在邊界上n× E 0 .另一個(gè)方程(Faraday定律)和另一個(gè)邊界條件 n× H Kf分別是求磁場(chǎng)和 Kf 用的。現(xiàn)在需要求波導(dǎo)管內(nèi)沿 z 方向的單頻電磁波電場(chǎng)，如果沒(méi)有2和3r式的限制，解應(yīng)該是：E =E ei (kz z -wt )，0為垂直于z 方向的任意常矢量，其中， E0但現(xiàn)在加上了2和3式的限制， E0不再是常矢量設(shè)：ri (kz z -wt )E(r , t) =E (x, y)e，051代入Holmholtz方程得ö ræ

42、82;2+ ¶2÷ E0 (x, y) +(k- k )E0 (x, y) = 0,22綶y22xzèø設(shè) u(x, y ) 為 E0 的任意一個(gè)直角分量，并利用分離變量法求解，即令 u(x, y ) = X(x) Y (y)，代入上式d 2 X +k X = 0,2xdx2d 2Y +k Y = 0,2ydy2+ k 2 + k 2 = k 2,k 2xyz其中，kx 和ky 是求解過(guò)程中引入的待定常量。這類方程的解為正弦或余弦型函數(shù)。52特解為u(x, y) = XY = (c1 cos kx x + d1 sin

43、kx x)(c2 cos ky y + d2 sin ky y),c1、c2、d1、d2 是待定的任意復(fù)常數(shù)。邊界條件如下：ya在 x = 0 和 x = a 處,zxb¶E0 x/ ¶x = 0,= E0 z = 0,E0 yO在 y = 0 和 y = b 處,¶E0 y/ ¶y = 0,= E0 z = 0,E0 x利用x = 0 和y = 0 處的邊條件得E0= A1 cos kx x sin ky y,= A2 sin kx x cos ky y,= A3 sin kx x sin ky y.E0x E0 y E0z53再利用x = a 和y

44、= b 處的邊條件得kx = mp / a,ky = np / b,其中， m，n = 0, 1, 2, ,yazxb（同時(shí)為0給出的是電磁場(chǎng)始終為0的解，應(yīng)該舍去）Okz 不受限制，可以連續(xù)取值。rriwm由H = -Ñ´ E,求出磁場(chǎng)：e (Ak + iA k ) cos k x cos k= 1k= 1kHym0x2y3xxye (Ak + iA k ) cos k x cos k yHm0 y1y3xxye (Ak - A k ) cos k x cos k y.= iHm0z1y2xxykÑ× E = 0,A1kx + A2ky - iA3kz

45、 = 0,在波導(dǎo)內(nèi)有54 在 A1、A2 、A33個(gè)待定常數(shù)中，只有2個(gè)是的，即對(duì)給定的 w, m，n，有2個(gè)通常的選取如下：的振動(dòng)模式，(1)選Ez 0 ，即 A3 0 ，這時(shí)，電場(chǎng)垂直于方向，因此稱為橫電波（transversal electric），記為TE；(2) 選Hz 0 ，即 A1 /A2 kx / ky ，這時(shí)，方向，因此稱為橫磁波，記為TM .磁場(chǎng)垂直于這2種模式隨m 和 n 的不同分別為 TEmn 和TMmn 。一般情況下，波導(dǎo)內(nèi)的電磁波是這些波的迭加。TEM 型波?矩形波導(dǎo)中能否55Ø 3.波導(dǎo)中電磁波的截止頻率= ( mp )2 + ( np )2 + k 2

46、 ,= w 2 me( mp )2k 2= k 2 + k 2 + k 2由xyzzab+ ( np )2 > w 2 me 時(shí)，k得：將成為虛數(shù)，當(dāng)zab方向衰減的波，因此對(duì)給定的m，n，的波的最低頻率稱為截止（cutoff）電磁波變?yōu)檠啬茉诓▽?dǎo)中長(zhǎng)途頻率：w pmemn=() + () ,abc22mn和 m，n 決定的。截止頻率是由波導(dǎo)的如果 a>b ，m=1，n=0 的TE波具有最低的截止頻率w= vp / a,c（不存在TM型的波），即m010l= 2a.相應(yīng)的截止（最大）波長(zhǎng)是：c10所以波導(dǎo)適于量級(jí)）。厘米波（波導(dǎo)管的寬度一般是厘米56x對(duì)TE10 波，kx = p

47、/ a, ky = 0, Ez= 0,A0，3Ak + A k- iA k= 0,由1x2y3zy得 Ar1 0，p x E0 = (0, A2 sin, 0),a其中， A2 由波導(dǎo)內(nèi)傳輸?shù)碾姶挪ǖ哪芰鞔_定。rriH = - wm Ñ´ E,由rp xipp xA2求出H0 = wm (kz sin, 0, -cos),aaa上面是E（虛線、點(diǎn)、叉）和H（實(shí)線）的示意圖。最后，由邊界條件n× H0 Kf 0可得自由面電流密度。57× × ×.×××.× × × ×

48、 × × ×:. :.× × × × × × ××××v 如果在寬邊正沿z方向開槽，切斷電流線，影響波導(dǎo)內(nèi)場(chǎng)分布，可安裝測(cè)量線。v 如沿橫向開槽就可能切斷電流線， 成為縫隙天線.這種縫可用于波導(dǎo)間的耦合。矩形波導(dǎo)中TE模的管壁電流1058vzv 對(duì)電場(chǎng)，全部解為：crri (k z -wt )E(r , t) =E0 (x, y)e，z其實(shí)部才是真正的電場(chǎng)。它隨坐標(biāo)x 和y的變化都是駐波形式（正弦或余弦），隨坐標(biāo) z 的變化是行波形式，等相位面沿z 方向的速度為：=

49、 1/me= c / n,> w / k= w / kzvz= dz / dtk < k =+ k 2 + k 2 ,k 2zxyzvz 可以大于光速 c 。直觀來(lái)看，電磁場(chǎng)平面波的波速為c ，在不垂直于等相位面方向看到的速度就大于c ，59v 從波導(dǎo)管中電磁場(chǎng)的解可以看出，由于在 x 和y 方向有金屬界面，導(dǎo)致隨這2個(gè)坐標(biāo)變化的電磁場(chǎng)為駐波形式，在z 方向沒(méi)有阻礙，因此仍是行波形式。60Ø 4.諧振腔對(duì)矩形波導(dǎo)，如果在z 方向也有2個(gè)與該方向垂直的金屬平面界面，隨這個(gè)坐標(biāo)變化的電磁場(chǎng)也將為駐波形式。此即矩形諧振腔。設(shè)z 方向的長(zhǎng)度為c, 諧振腔內(nèi)電磁場(chǎng)的解為:Ex =

50、A1 cos kx x sin ky y sin kz z, Ey = A2 sin kx x cos ky y sin kz z, Ez = A3 sin kx x sin ky y cos kz z.kx = mp / a, ky = np / b, kz= lp / c其中仍有TM和TE兩組模式。p) + ( np )2+ ( pp )2 ,cm= w 2 mek 2此時(shí)= k 2 + k 2 + k2z= (2xyabk和w只能取特定值（本征值）。61v 圓柱型諧振腔更常用（半徑為R,長(zhǎng)L)柱坐標(biāo)下Helmholtz方程為：rrrrEr¶2E + 1 ¶E +1 &

51、#182; E + ¶22+ k E = 02¶r 2r ¶rr 2¶f 2¶ z2設(shè) u(r, f，z ) 為 E 的任意一個(gè)分量,分離變量, 令 u(r, f, z ) = R(r) F (f)Z(z), 帶入原方程，d 2 R + 1 dR +2- m= k 2- kk 22)R = 02(kcczdr 2r drr 2d2F +d2Zm F = 02+ kzZ = 02df 2d z262TMmnp模ìE= -æ pp ö kp éù pz()AJk r cos m¢f sinwt-ieç÷ cïïêúrmcè