高中數(shù)學球面距離的計算

1、球面距離的計算在球面上，不在同一直徑上的兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這段劣弧的長叫做球面上這兩點間的球面距離（也叫球面上的短程線或測地線）。如下圖，球的半徑為R，球面上有任意兩點、，其中、分別為、兩點的經(jīng)度數(shù)，、分別為A、B兩點的緯度數(shù)，過A、B兩點的大圓劣弧所對的圓心角為，試證明A、B間的球面距離為：（角均為弧度）證明：如上圖，與分別為過A、B的緯度圈，過A、C的大圓，過B、D的大圓分別為A、B的經(jīng)度圈，且經(jīng)度圈與緯度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，連結(jié)EB、AB，則在中，由余弦定理，得：又由余弦定理，得，比較上述兩式，化簡整理得：（角均

2、為弧度）所以（角均為弧度）所以A、B間的球面距離為：（角均為弧度）從上面的推導過程可以看出，求解A、B兩點的球面距離，關(guān)鍵是要求出圓心角的大小，而要求，往往要先求弦AB的長，再利用余弦定理求出。所以求兩點的球面距離，常常要先求這兩點的弦長距離。應(yīng)用球面距離公式的說明：（1）要注意經(jīng)度和緯度的正負性：一般規(guī)定東經(jīng)為正，西經(jīng)為負；北緯為正，南緯為負；使用兩點的球面距離公式時，要將經(jīng)度和緯度的正負號代入公式計算。（2）兩點的經(jīng)度差的計算規(guī)則是：當兩點同為東經(jīng)或同為西經(jīng)時，；當兩點一為東經(jīng)，一為西經(jīng)時，或者。（3）當兩點的經(jīng)度相同時，即時，A、B間的球面距離為：（角均為弧度）（4）當兩點的緯度相同時，

3、即時，A、B間的球面距離為：（角均為弧度）例1.已知、兩地都位于北緯，又分別位于東經(jīng)和西經(jīng)，設(shè)地球半徑為，求、的球面距離。例2.已知直線l平面，O為垂足，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=5，AB=6，AA1=8，Al，B1，則OC1的最大值為_ 變式訓練： 1.在半徑為R的球內(nèi)放入大小相等的4個小球，則小球半徑r的最大值為_2.已知球面上有A、B、C三點，BC=23，AB=AC=2，若球的表面積為20，則球心到平面ABC的距離為_3.（2006湖南）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖1，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是_4.（2006四川）

4、已知球O的半徑是1，A、B、C三點都在球面上，A、B兩點和A、C兩點的球面距離都是，B、C兩點的球面距離是，則二面角B-OA-C的大小是_5.（2006陜西）水平桌面上放有4個半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切(球心的連線構(gòu)成正方形).在這4個球的上面放1個半徑為R的小球，它和下面4個球恰好都相切，則小球的球心到水平桌面的距離是_6.（2007江西）四面體的外接球球心在上，且，在外接球面上兩點間的球面距離是_7.（2007四川）設(shè)球的半徑是1，、是球面上三點，已知到、兩點的球面距離都是，且二面角的大小是，則從點沿球面經(jīng)、兩點再回到點的最短距離是_8.（2008重慶)如下圖，體積為V的大球內(nèi)有4

5、個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點。V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是（ ）A.V1=B.V2= C.V1> V2 D.V1< V29.（2011全國）已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為，則圓N的面積為_10.（2010全國）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為_ 11.已知地位于北緯、東經(jīng)，地位于南緯、西經(jīng)，設(shè)地球半徑為，則、兩地之間的球面距離為_12.用一個邊長為2的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢.現(xiàn)將半徑為1的球體放置于蛋巢上，