高中數(shù)學(xué)-圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用

1、圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，則稱此弦為焦點(diǎn)弦。圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長(zhǎng)等有關(guān)知識(shí)。焦點(diǎn)弦是圓錐曲線的“動(dòng)脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的。本文介紹圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦問(wèn)題的幾個(gè)重要公式及應(yīng)用，與大家交流。 定理1  已知點(diǎn)是離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的弦與的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，且。（1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有；（2）當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙

2、曲線），有。 證明  設(shè)直線是焦點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)在直線上的射影分別為，點(diǎn)在直線上的射影為。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，又，所以。 （1）       當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)。如圖1，所以。  圖1 （2）       當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。如圖2，所以。  圖2 評(píng)注  特別要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同，這一點(diǎn)很容易不加區(qū)別而出錯(cuò)。

3、60;例1（2009年高考全國(guó)卷理科題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)。若，則的離心率為（ ）              解  這里，所以，又，代入公式得，所以，故選。 例2（2010年高考全國(guó)卷理科第12題）已知橢圓的離心率為。過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線于相交于兩點(diǎn)，若，則（   ）            

4、;  解  這里，設(shè)直線的傾斜角為，代入公式得，所以，所以，故選。 例3 （08高考江西卷理科第15題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸左側(cè)），則有  圖3 解 如圖3，由題意知直線與拋物線的地稱軸的夾角，當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，設(shè)，又，代入公式得，解得，所以。 例4 （2010年高考全國(guó)卷理科第16題）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為 解  設(shè)直線與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，則，又，代入公式得，所以。 例5（自編題）已知雙曲線的

5、離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線交的兩支于兩點(diǎn)。若，則 解  這里，因直線與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式，代入公式得，所以所以，所以。 定理2  已知點(diǎn)和直線是離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為。過(guò)點(diǎn)的弦與曲線的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，則有。 證明  設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，所以。  圖4 （1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)。如圖4，。， 所以較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。 所以。 （2）當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)

6、（此時(shí)曲線為雙曲線）。  圖5 如圖5，。 所以， 所以較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。 所以。 綜合（1）（2）知，較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為。 特別地，當(dāng)曲線為無(wú)心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距就是徑之半，較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑，焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為。當(dāng)曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時(shí)，焦準(zhǔn)距為。 注  由上可得，當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有 。當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)，有 。 例6 （2009年高考福建卷理科第13題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為8，則 解&

7、#160; 由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為得，解得。 例7（2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，已知。 （1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓方程。 解  （1）這里，由定理1的公式得，解得。 （2）將，代入焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式得，解得，即，所以，又，設(shè)，代入得，所以，所以，故所求橢圓方程為。 例8（2007年重慶卷第16題）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則的值為 解  易知均在右支上，因?yàn)椋x心率，點(diǎn)準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。由焦半徑公式得，&

8、#160;。 例9 （由2007年重慶卷第16題改編）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則的值為 解  因?yàn)?，離心率，點(diǎn)準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。注意到分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得， 。 例10  （2007年高考全國(guó)卷）如圖6，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且。求四邊形面積的最小值。  圖6 解  由方程可知，則。 設(shè)直線與軸的夾角為，因?yàn)?，所以直線與軸 的夾角為。代入弦長(zhǎng)公式得， ，。故四邊形的面積為，。 所以四邊形面積的最小值為。 參考文獻(xiàn)： 鄭麗兵。一