非負數(shù)及其應(yīng)用w

1、第11講 非負數(shù)及其應(yīng)用還會有什么科學(xué)比數(shù)學(xué)更高貴、更杰出、更有用呢？ 富蘭克林知識方法掃描所謂非負數(shù)，是指零和正實數(shù)常見的非負數(shù)有絕對值和平方式。非負數(shù)有如下的性質(zhì)：(1)數(shù)軸上，原點和原點右邊的點表示的數(shù)都是非負數(shù)(2)有限個非負數(shù)的和仍為非負數(shù)，即若a1，a2，an為非負數(shù)，則a1a2an0(3)有限個非負數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零，即若a1，a2，an為非負數(shù)，且a1a2an=0，則必有a1a2an0在利用非負數(shù)解決問題的過程中，這條性質(zhì)使用得較多(4)非負數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負數(shù)(5)最小非負數(shù)為零，沒有最大的非負數(shù)應(yīng)用非負數(shù)解決問題的關(guān)鍵在于能否識別并揭示出題目中

2、的非負數(shù)，正確運用非負數(shù)的有關(guān)概念及其性質(zhì)，巧妙地進行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。其中，配方是一種重要的恒等變形技巧。經(jīng)典例題解析例1 （1993年鄭州市初中數(shù)學(xué)團體賽題）已知x2+3|y-1|=x-, 求代數(shù)式4x2-3y+1之值。解 將已知等式變形得：3|y-1|=x-=-因為-0，即|y-1|0，根據(jù)絕對值的意義|y-1|0 由、得，y-1=0，y=1。此時，x=,4x2-3y+1=4-3×11+1=-1評注 1實數(shù)的偶次方和實數(shù)的絕對值是常見的非負數(shù)2配完全平方是一種極為重要的恒等變形的技巧;由此得到的完全平方數(shù)是非負數(shù)，從而可用非負數(shù)的性質(zhì)來解題。3若a0, 又a0

3、, 那么a=0. 這種方法通常稱為夾逼法。這樣由不等關(guān)系可以得到等量關(guān)系。例2（1994年浙江省初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知a，b，c為整數(shù)，且a2 + b2 + c2 + 484a + 6b + 12c，求 的值。解 由 a2 + b2 + c2 + 484a + 6b + 12c，可得 (a-2)2+(b-3)2+(c-6)2<1,顯然(a-2)2+(b-3)2+(c-6)20，又由a，b，c為整數(shù)，得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2為整數(shù)，于是(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2=0。所以 a=2, b=3,c=6.= =1 .例3（1986年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初二年級試題

4、）已知a，b，c為實數(shù)，設(shè)，。證明：A，B，C中至少有一個值大于零證明 由題設(shè)有A+B+C=（）+（）+（）=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(-3)因為(a-1)20，(b-1)20，(c-1)20，-30，所以A+B+C0若A0，B0，C0，則A+B+C0與A+B+C0不符，所以A，B，C中至少有一個大于零例4(2002年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 求實數(shù)x,y, 使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2 達到最小值解 原式 = 5x2+6xy+3y2-30x-20y+46 = 5x2+(6y-30)x

5、+3y2-20y+46=5(x+y-3)2+5(y-3)2+3y2-20y+46=5(x+y-3)2+y2-2y+1=5(x+y-3)2+(y-)2+當(dāng) x+y-3=0，y-時，即x=,y=時有最小值。例5（2004年第二屆創(chuàng)新杯數(shù)學(xué)邀請賽試題）已知是不等于零的實數(shù)，且滿足：求證： .證明 由已知條件變形得：1 (1)22222 (2)1 (3)(1)(2)(3)得：()2()2()20，故有0，所以, , , 。例6(2006年第一屆“南方杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題)求所有的有理數(shù)x,y,z，使得5x2+2y2+2z2+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=0解：由已知等式可化為 (4x2-4xz

6、+z2)+(4x-2z)+1+(x2+2xy+y2)-(4x+4y)+1+(y2+2yz+z2)+(2y+2z)+1=0(2x-z)2+2(2x-z)+1+(x+y)2-4(x+y)+4+(y+z)2-2(y+z)+1=0 (2x-y+1)2+(x+y-2)2+(y+z-1)2=0所以 解得例71（1992年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初中試題）設(shè)x, y, a都是實數(shù)，并且|x|=1-a, |y|= (1-a) (a-1-a2).試求|x|+y+a3+1的值等于多少？解 |x|=1-a0，a20, (1-a)20|y|= (1-a) (a-1-a2) =- (1-a)2- (1-a)·a2=

7、 -(1-a)2+ (1-a)·a20又由絕對值的意義得：|y|0既要滿足又要滿足，只有y=0，即：1-a) (a-1-a2)=0a-1-a2=-(a-)2+0，1-a=0, a=1.故：|x|+y+a3+1=1-1+0+13+1=2.例8 (2004年第9屆全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽試題)已知 ，,，和a1+a2+a3+a4+a5+ a6+a7+a8+a9+a10=100，求a1，a2，a3，a4，a5， a6，a7，a8，a9，a10的值。解 將已知的10個式子整理得，再將上述10個式子的左邊相加，其和為0。因為這10個式子的左邊都是非負數(shù)，所以這10個式子的左邊都等于0。即于

8、是所以a1-a2=2(a2-a3)=22 (a3-a4)=29(a10-a1)=210(a1-a2),于是(210-1)(a1-a2)=0, a1=a2同理可證： a1=a2=a3=a4=a10。 所以a1=a2=a3=a10=10.同步訓(xùn)練一 選擇題1 （2007年“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請賽初一試題）已知a,b,c都是負數(shù)，并且|x-a|+|y-b|+|z-b|=0，則xyz是（ ）（A）負數(shù) （B）非負數(shù) （C） 正數(shù) （D） 非正數(shù)2（第六屆“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽初二試題）已知實數(shù)a、b滿足條件a2+b2+a2b2=4ab-1, 則（A）（B）（C）或（D）3(2004年全國數(shù)學(xué)競賽天津地區(qū)初賽

9、試題)已知m2+n2+mn+m-n+1=0, 則的值等于( )(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 24（1999年“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽題）a，b，c，d都是正數(shù)，則在以下命題中，錯誤的是（ ）（A）若a2+b2+c2=ab+bc+ca, 則a=b=c （B）若a3+b3+c3=3abc, 則a=b=c（C）若a4+b4+c4+d4=2 (a2+b2+c2+d2) 則a=b=c=d（D）若a4+b4+c4+d4=4abcd, 則a=b=c=d5（1994年河南初中數(shù)學(xué)競賽題）已知a、b、c是實數(shù)，x=a2-b, y=b2-c, z=c2-a+1. 則下列說法正確的是（A）x，y，z三個

10、數(shù)中至少有一個是零（B）x，y，z三個數(shù)中至少有一個是正數(shù)（C）x，y，z三個數(shù)中至少有一個是負數(shù)（D）x，y，z三個數(shù)中必為兩正一負，或者必為兩負一正二 填空題6（第15屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題） 已知, 那么, 代數(shù)式的值為 . 7（2000年“我愛數(shù)學(xué)”夏令營數(shù)學(xué)競賽試題）滿足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的實數(shù)解（x, y）的個數(shù)等于 8（2000年天津市初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知a, b 滿足a3-3a5+5a=1, b3-3b2+5b=5, 則a+b= . 9（2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）實數(shù)x、y滿足xy1和2x2-xy-5x+y+4=0, 則x+y= .10（2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試題）已知實數(shù)a,b,c滿足a-b+c=7, ab+bc+b+c2=16, 則的值等于 .三 解答題11（第14屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題）如果三個非負數(shù)a,b,c滿足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1，若m=3a+b-7c,求m的最大值和最小值。12（重慶市初中數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)z，y，z為實數(shù)，且求的值。13設(shè)a,