面積法專題教師版

1、解題方法及提分突破訓(xùn)練：面積法專題用面積法解幾何問題是一種重要的數(shù)學方法，在初中數(shù)學中有著廣泛的應(yīng)用，這種方法有時顯得特別簡捷，有出奇制勝、事半功倍之效。 一真題鏈接1.（2012 濟南模擬）圓柱的底面周長為2，高為1，則圓柱的側(cè)面展開圖的面積為 22.（2012東營）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的 ，那么點B的坐標是（）A. (-2,3) B.(2，-3) C.(3，-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2，-3)3（2012 呼和浩特）如圖是某幾何

2、體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），則該幾何體的側(cè)面積為cm4.（2012濰坊）如圖，三角形ABC的兩個頂點B、C在圓上，頂點A在圓外，AB、AC分別交圓于E、D兩點，連接EC、BD（1）求證：ABDACE；（2）若BEC與BDC的面積相等，試判定三角形ABC的形狀5.（2012宜賓）如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= ，AB，點E、F分別為AB、AD的中點，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）A. B. C. D.二 名詞釋義平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的

3、效果。運用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。面積問題主要涉及以下兩部分內(nèi)容：（一）怎樣證明面積相等。以下是常用的理論依據(jù)1.三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的部分。2.同底同高或等底等高的兩個三角形面積相等。3.平行四邊形的對角線把其分成兩個面積相等的部分。4.同底（等底）的兩個三角形面積的比等

4、于高的比。   同高（或等高）的兩個三角形面積的比等于底的比。5.三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。6.三角形的中位線截三角形所得的三角形的面積等于原三角形面積的7.三角形三邊中點的連線所成的三角形的面積等于原三角形面積的8.有一個角相等或互補的兩個三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。（二）用面積法解幾何問題 （常用的解題思路）1.分解法：通常把一個復(fù)雜的圖形，分解成幾個三角形。2.作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。3.利用有關(guān)性質(zhì)法：比如利用中點、中位線等的性質(zhì)。4.還可以利用面積解決其它問題。 三 典題示例（一）

5、怎樣證明面積問題  1. 分解法  例1. 從ABC的各頂點作三條平行線AD、BE、CF，各與對邊或延長線交于D、E、F，求證：DEF的面積2ABC的面積。    分析：從圖形上觀察，DEF可分為三部分，其中是ADE，它與ADB同底等        三是AEF，只要再證出它與ABC的面積相等即可    由SCFESCFB    故可得出SAEFSABC    證明：AD/BE/CF &#

6、160;  ADB和ADE同底等高    SADBSADE    同理可證：SADCSADF    SABCSADE+SADF    又SCEFSCBF    SABCSAEF    SAEF+SADE+SADF2SABC    SDEF2SABC   2. 作平行線法  例2. 已知：在梯形ABCD中，DC/AB，M為腰BC上的中點 &

7、#160;      分析：由M為腰BC的中點可想到過M作底的平行線MN，則MN為其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為h        證明：過M作MN/AB    M為腰BC的中點    MN是梯形的中位線    設(shè)梯形的高為h                （二）用面積法解

8、幾何問題1. 用面積法證線段相等  例1. 已知：如圖1，AD是ABC的中線，CFAD于F，BEAD交AD的延長線于E。求證：CF=BE。圖1證明：連結(jié)EC，由BD=DC得，兩式兩邊分別相加，得故所以BE=CF。注：直接由得更簡潔。 2. 用面積法證兩角相等  例2. 如圖2，C是線段AB上的一點，ACD、BCE都是等邊三角形，AE、BD相交于O。求證：AOC=BOC。圖2證明：過點C作CPAE，CQBD，垂足分別為P、Q。因為ACD、BCE都是等邊三角形，所以AC=CD，CE=CB，ACD=BCE，所以ACE=DCB所以ACEDCB所以AE=BD，可得CP=CQ

9、所以O(shè)C平分AOB即AOC=BOC 3. 用面積法證線段不等  例3. 如圖3，在ABC中，已知AB>AC，A的平分線交BC于D。求證：BD>CD。圖3證明：過點D分別作DEAB、DFAC，垂足分別為E、F設(shè)BC邊上的高為h。因為BAD=DAC所以DE=DF因為且AD>AC所以即所以BD>CD 4. 用面積法證線段的和差  例4. 已知：如圖4，設(shè)等邊ABC一邊上的高為h，P為等邊ABC內(nèi)的任意一點，PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F。求證：PE+PF+PD=h。圖4證明：連結(jié)PA、PB、PC因為，又所以。因為ABC是等邊三

10、角形所以即PE+PF+PD=h 5. 用面積法證比例式或等積式  例5. 如圖5，AD是ABC的角的平分線。求證：。圖5證明：過D點作DEAB，DFAC，垂足分別為E、F。因為AD是ABC的角的平分線，所以DE=DF，則有。過A點作AHBC，垂足為H，則有即 6. 用面積比求線段的比  例6. 如圖6，在ABC中，已知BC、AC邊上的中線AD、BF交于M。求證：。圖6證明：連結(jié)CM，過B作BGAD交AD延長線于G，則，所以。又，所以，所以。 四 鞏固強化1. 在平行四邊形ABCD中，E、F點分別為BC、CD的中點，連結(jié)AF、AE，求證：SABESADF&

11、#160; 2. 在梯形ABCD中，DC/AB，M為腰BC上的中點，求證：  3. RtABC中，ACB90°，a、b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h，求證：  4. 已知：E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點，G、H為邊DC的三等分點，求證：  5. 在ABC中，D是AB的中點，E在AC上，且，CD和BE交于G，求ABC和四邊形ADGE的面積比。6.（2012青海）如圖，在RtABC中，C=90°，AC=4，BC=2，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為 -4 （結(jié)果保留）7.（2012大慶）將一根長為16厘米的細鐵絲剪成兩

12、段并把每段鐵絲圍成圓，設(shè)所得兩圓半徑分別為r1和r2（1）求r1與r2的關(guān)系式，并寫出r1的取值范圍；（2）將兩圓的面積和S表示成r1的函數(shù)關(guān)系式，求S的最小值8.如圖平行四邊形ABCD中，ABD=30°，AB=4，AEBD，CFBD，且，E，F(xiàn)恰好是BD的三等分點，又M、N分別是AB，CD的中點，那么四邊形MENF的面積是 9.如圖，RtABC中，C=90°，A=30°，點D、E分別在AB、AC上，且DEAB，若DE將ABC分成面積相等的兩部分，則CE：AE=10.如圖所示，在ABC中，DEABFG，且FG到DE、AB的距離之比為1：2若ABC的面積為32，CD

13、E的面積為2，則CFG的面積S等于（）A.6 B.8 C.10 D. 12 五 參考答案【真題鏈接答案】1.考點：圓柱的計算分析：圓柱的側(cè)面展開圖的面積=圓柱的底面周長×圓柱的高，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解解答：解：圓柱的側(cè)面展開圖為長方形，長為圓柱的底面周長，圓柱的側(cè)面展開圖的面積為2×1=2點評：解決本題的關(guān)鍵是得到圓柱側(cè)面展開圖的計算公式2.解：矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點O位似，矩形OABC矩形OABC，矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的，位似比為：1：2，點B的坐標為（-4，6），點B的坐標是：（-2，3）或（2，-3）故選D3.考點：圓錐的計算；由三視圖判

14、斷幾何體。1444826分析：根據(jù)三視圖易得此幾何體為圓錐，再根據(jù)圓錐側(cè)面積公式=（底面周長×母線長）÷2 可計算出結(jié)果解答：解：由題意得底面直徑為2，母線長為2，幾何體的側(cè)面積為×2×2=2，故答案為：24.解：（1）證明：弧ED所對的圓周角相等，EBD=ECD，又A=A，ABDACE；（2）解：方法1：因為SBEC=SBCD，SACE=SABC-SBEC，SABD=SABC-SBCD，所以SACE=SABD，又由（1）知ABDACE，所以對應(yīng)邊之比等于1，所以AB=AC，即ABC為等腰三角形；方法2：因為BEC與BCD的面積相等，有公共底邊BC，所以

15、高相等，即E、D兩點到BC的距離相等，所以EDBC，所以BCE=CED，又因為BCE=CBD，所以BCE=CBD，由（1）知ABDACE，所以ABD=ACE，所以ABC=ACB，即ABC為等腰三角形5. 【鞏固強化答案】  1. 證明：連結(jié)AC，則    又E、F分別為BC、CD的中點              2. 證明：過M作MN/DC/AB    M為腰BC上的中點    DCM和ABM的高

16、相等，設(shè)為h1        又DMN與AMN的高也為h1                    MN為梯形的中位線          3. 證明：在RtABC中，ACB90°，CDAB          &#

17、160;     兩邊同時除以得：      4. 證明：連結(jié)FD、FG、FC    則由已知可得             作DM/AB，設(shè)它們之間的距離為h，G到DM的距離為a，則由已知可得H、C到DM的距離分別為2a、3a               &#

18、160;                                                                                           即   &#