面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1

1、面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)內(nèi)容 1兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示： 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則ab=x1x2+y1y2 2向量的模： 若a=（x，y），則|a|2=aa=x2+y2，|a|= 3兩點(diǎn)間的距離公式： 設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）則=（x2-x1，y2-y1），|= 4兩向量垂直的坐標(biāo)條件： 設(shè)兩非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則abx1x2+y1y2=0 5設(shè)A、B、C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為：A（x1，y2），B（x2，y2），C（x3，y3），則（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）=0 學(xué)習(xí)重點(diǎn) 1向量有

2、坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積也有坐標(biāo)表示，即為：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則ab=x1x2+y1y2于是與ab=|a|b|cos（是a，b的夾角）相對照，a，b夾角的余弦也可以用坐標(biāo)表示: cos=，這樣求兩個(gè)向量（已知坐標(biāo)）間的夾角就十分方便了 2兩非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2）垂直的充要條件是ab=0，即x1x2+y1y2=0它為我們證明幾何中的垂直問題提供了強(qiáng)有力的工具 3兩向量a，b共線的充要條件是存在R，使a=b這里應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示可以得到a，b共線的充要條件是：|x1x2+y1y2|= 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用向量的數(shù)量積解決具體問題。 內(nèi)容講解： 上一節(jié)我們學(xué)習(xí)

3、了平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，而向量是可以用坐標(biāo)來表示的，那么向量數(shù)量積是如何用坐標(biāo)表示呢？下面我們來學(xué)習(xí)這部分知識。 我們給出兩個(gè)非零向量 （用坐標(biāo)給出），我們知道坐標(biāo)是與從原點(diǎn)出發(fā)的向量一一對應(yīng)。如圖不妨設(shè)： 則有A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x1, y1),(x2,y2)，又設(shè)x,y軸上的單位向量為 ， 則有 ，是互相垂直的單位向量， ， ， 則 也就是說，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和（結(jié)果是數(shù)量），即 ， 若 則 ， ， ， 上圖中A(x1,y1),B(x2,y2), 則 則 。 這就是我們已經(jīng)使用過的平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（不用向量你會推導(dǎo)嗎）。 上圖中若設(shè)AOB=， 則 ， 即 。

4、 由此可得到兩個(gè)向量的夾角。特別地，當(dāng)=90時(shí)，cos=0，即x1x2+y1y2=0。 由此知： 垂直的充要條件是x1x2+y1y2=0。 這個(gè)充要條件在今后解決問題中十分重要。 下面我們通過例題用坐標(biāo)的形式再一次驗(yàn)證。 例題分析第一階梯 例1.判斷題 1若A，B，C是坐標(biāo)平面上不同的三點(diǎn)，則ABBC的充要條件是=0（ ） 2設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則|+|=（ ） 3已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），且a，b的夾角為，則sin=（ ） 例2已知M（a，0），N（0，b）則|等于（ C ） A|a|+|b| B C D 例3. 已知a=（2m-1，2+m），若|a|，

5、則m的取值范圍為（ B ） A（-1，1） B-1，1 C， D（-，-1）1，+ 例4. 已知A（1，3），B（2，4），C（5，6），則= 7 ，= 18 例5. 已知A（1+a2，0），B（0，1-a2），則|=第二階梯 例1在下列各命題中為真命題的是 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則ab= x1y1+ x2y2 若A=（x1，y1）、B=（x2，y2）， 則|= 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則ab=0x1x2+y1y2=0 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則abx1x2+y1y2=0 A B C D 解：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若a=（x1，y1）

6、、b=（x2，y2），則ab=x1x2+ y1y2，對照命題（1）的結(jié)論可知，它是一個(gè)假命題 于是對照選擇項(xiàng)的結(jié)論可以排除（A）與（D），而在（B）與（C）中均含有（3）故不必對（3）進(jìn)行判定，它一定是正確的對命題（2）而言，它就是兩點(diǎn)間距離公式，故它是真命題這樣就可以排除（C），應(yīng)選擇（B） 反思回顧：對于命題（3）而言，由于ab=0a=0或b=0或abx1x2+y1y2=0，故它是一個(gè)真命題而對于命題（4）來講，ab x1x2+y1y2=0但反過來，當(dāng)x1x2+y1y2=0時(shí)，可以是x1=y1=0，即a=0，而教科書并沒有對零向量是否與其它向量垂直作出規(guī)定，因此x1x2+y1y2推不出ab

7、，所以命題（4）是個(gè)假命題 例2已知a=（2，1），b=（-1，3），若存在向量c使得：ac=4，bc=-9試求向量c的坐標(biāo) 分析：這里應(yīng)利用方程思想進(jìn)行求解，我們可根向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立向量c的縱橫坐標(biāo)的二元一次方程組，解該方程組即可求得C的坐標(biāo) 解：設(shè)c=（x， y），則由ac=4可得： 2x+y=4；又由bc=-9可得：-x+3y=-9 于是有：2x+y=4 （1） -x+3y=-9 （2） 由（1）+2（2）得7y=-14y=-2，將它代入（1）可得：x=3 c =（3，-2） 反思回顧：已知兩向量a，b可以求出它們的數(shù)量積ab，但是反過來，若已知向量a及數(shù)量積ab，卻不能確定b需

8、要象本例一樣，已知兩向量，及這兩個(gè)向量與第三個(gè)向量的數(shù)量積，則我們可利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，通過解方程組的方法，確定第三個(gè)向量 例3. 已知A、B、C、D是坐標(biāo)平面上不共線的四點(diǎn)，則與共線是=0的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要的條件 分析：這里要選出正確結(jié)論，需要判定下列兩個(gè)命題，（1）若與與共線，則=；（2）若=0，則與共線對上述兩個(gè)命題的真假情況判斷清楚了，本例也就解決了 解：由與共線可知：四邊形的邊與互相平行，但未必有所以=0與=0不能成立即命題（1）不真；但是反過來，由=0，可知：及，所以/，即與共線，故命題（2）是真命題，從而應(yīng)選擇（B） 反

9、思回顧：（1）對于四邊形ABCD而言，若與共線，同時(shí)，與也共線，則該四邊形為平行四邊行，若這里的兩個(gè)共線條件改成一個(gè)共線，而另一個(gè)不共線，則該四邊形是梯形（2）若在四邊形ABCD中，有=0，則該四邊形，或者是直角梯形，或者是矩形第三階梯 例1. 設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值 分析：這里我們應(yīng)引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示，這樣所求的值及各條件都可用引進(jìn)的坐標(biāo)表示，再通過代數(shù)運(yùn)算可求出|3a+b|的值 解：設(shè)a=（x1，y1）、b=（x2，y2） |a|=|b|=1 x21+ y21=1， x22+ y22=1 3a-2b=3（x1，y1）-2（x2，y2） =

10、（3x1-2x2，3y1-2y2） |3a-2b|= 9 x21-12 x1x2+4 x22+9 y21-12 y1y2+4 y22=9 13-12（x1x2+ y1y2）=9 x1x2+ y1y2= 3a+b=3（x1，y1）+（x2，y2）=（3x1+x2，3y1+y2） |3a+b|= = = 反思回顧：（1）如果我們在上述解題過程，根據(jù)|a|=|b|=1，設(shè)a=（cos，sin），b=（cos，sin），則上述運(yùn)算過程可得到簡化 （2）利用本例的解法可解決下面的一般性問題：若向量a、b滿足|a|=|b|=r1，及|1a+u1b|= r2，求|2a+u2b|的值 例2在ABCD中，已知A

11、（m1，n1）， B（m2，n2）， C（m3，n3），試求的值 分析：要求與的數(shù)量積，可利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示因此需要用坐標(biāo)表示與，由于條件中已知ABCD三頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式求出另一頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，這樣我們就可以得到與的坐標(biāo)表示，進(jìn)一步可求得的值 解： 在ABCD中，對角線AC與BD互相平分，AC的中點(diǎn)與BD的中點(diǎn)重合，（m1，n1）+（m3，n3）=（m2，n2）+D點(diǎn)的坐標(biāo)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m1+m3-m2，n1+n3-n2） 于是=（m3，n3）- （m1，n1）=（m3-m1，n3-n1） 而=（m1+m3-m2，n1+n3-n2）-（m2，n2）=（m1+m3-2m2，n

12、1+n3-2n2） =（m3-m1）（m1+m3-2m2）+（n3-n1）（n1+n3-2n2） 反思回顧：已知兩向量的坐標(biāo)，求它們的數(shù)量積時(shí)，一定要注意向量積是橫坐標(biāo)之積與縱坐標(biāo)之積的和，不能出現(xiàn)搭配上的錯(cuò)誤 例3設(shè)向量a、b滿足：|a|=|b|=1，且a+b=（1，0），求a，b 分析：這里由于向量a與b都是單位向量，所以在假設(shè)a，b的坐標(biāo)時(shí)，可以考慮選用三角表示（即用正弦、余弦表示），再通過已知條件建立簡單三角方程，求出正弦與余弦的值，就求出了a，b 解： |a|=|b|=1， 可設(shè)a=（cos，sin），b=（cos，sin） a+b=（cos+ cos，sin+sin）=（1，0）

13、cos+ cos=1（1） sin+sin=0（2） 由（1）得：cos=1- cos（3） 由（2）得：sin=-sin（4） 由（3）2+（4）2得：cos= cos=1- cos= sin=，sin= a=（ ，），b=（ ，-） 或a=（ ，-），b=（ ，） 反思回顧：在上述求解過程中，當(dāng)我們求出了cos=與cos=后，可分別得到：sin=與sin=但是這里要注意到它們需滿足（2）式所以cos與sin的值之間有一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，這就是決定了a，b只有兩組解，而沒有四組解 例4如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(diǎn)，PECF是矩形，試用向量法證明 （1）|=|； （2） 分析

14、：如果我們能用坐標(biāo)來表示與則要證明的兩結(jié)論，就只要分別用兩點(diǎn)間的距離公式和兩向量垂直的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證即可，因此只要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)的坐標(biāo)后，就可進(jìn)行論證 解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為x軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，|=， 則A（0，1），P，E，F(xiàn) 于是= = （1）|= = |= = |=| （2） =0 反思回顧：把幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算從而使問題得到解決這種解題方法具有普遍性，應(yīng)該把它掌握好，其中坐標(biāo)系的建立很重要，它關(guān)系到運(yùn)算的簡與繁 例5設(shè)A，B，C，D是坐標(biāo)平面上

15、的四點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為：A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）且任意三點(diǎn)不共線，試證四邊形ABCD為正方形的充要條件是（xB-xA，yB-yA）=（xC-xD，yC-yD）且（xB-xA）（xC-yB）+（yB-yA）（yC-yB）=0且（xC-xA）（xD-xB）+（yC-yA）（yD-yB）=0 分析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形的充要條件是該四邊形既是矩形又是菱形，而一四邊形為矩形的充要條件是該四邊形為平行四邊行且有一個(gè)角為直角，一四邊形為菱形的充要條件是該四邊形為平行四邊形且對角線互相垂直，這樣就得到了四邊形ABCD為正方形的充要條件：四邊形ABCD是有

16、一內(nèi)角為直角且對角線互相垂直的平行四邊形，于是我們找到了證明的途徑 證明：=（xB-xA，yB-yA），=（xC-xD，yC-yD），=（xC-xB，yC-yB），=（xC-xA，yC-yA），=（xD-xB，yD-yB）（xB-xA，yB-yA）=（xC-xD，yC-yD）且（xB-xA）（xC-yB）+（yB-yA）（yC-yB）=0且（xC-xA）（xD-xB）+（yC-yA）（yD-yB）=0 且=0且=0 ABCD且ABBC且ACBD 四邊形ABCD既是矩形又是菱形 四邊形為正方形 例6如圖：ABCD是正方形，M是BC的中點(diǎn)，將正方形折起使點(diǎn)A與M重合，設(shè)折痕為EF，若正方形面積為6

17、4，求AEM的面積。 解：如圖，建立直角坐標(biāo)系， 顯然EF是AM的中垂線， N是AM的中點(diǎn)，又正方形邊長為8 M(8,4), N(4,2) 設(shè)點(diǎn)E(e,0)，則=(8,4)，=(4,2)，=(e,0)，=(4-e,2)，由得：=0 即：(8,4)(4-e,2) = 0 解之：e = 5 即| = 5 SAEM=| =54 = 10 第四階梯例1已知： 。 （1）求： ； （2）求： ； （3）求： ， （4）求： 解：（1） 由此可見證 。（嚴(yán)格證明需要把 的坐標(biāo)一般化，但方法是一樣的。） （2） （3） 。 由此可證： （4） 由此可驗(yàn)證：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即 不一定相等。 例2試判

18、斷滿足下列條件的三角形的形狀。 （1）ABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1） （2）ABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5） （3）ABC中，A（0，3），B（4，0），C（7，4） 解：（1） 由此可知ABC為等腰三角形。 （2） 或： ， ABC為直角三角形。 （3） ， ABBC， ， ABC為等腰直角三角形。 例3已知：向量 滿足 ，求：向量 與向量 的夾角。 解：設(shè) ， 則 即 ， ， 則： ， 0， 。 例4求證：非零向量 垂直的充要條件是 。 證明：設(shè) （1）充分性：即x1x2+y1y2=0, . （2）必要性： ， x1x2+y1y2=0, 例5

19、已知：RtABC中， ，求m的值。 解：， 。 （1）當(dāng)A=90時(shí)， （2）當(dāng)B=90時(shí)， （3）當(dāng)C=90時(shí)， 即 ， 由（1）（2）（3）知： 。 例6已知： （1）求證： 垂直； （2）若 ，求-的值。 （1）證明：= = 垂直。 又證： 垂直。 （2） 2kcoscos+2ksinsin=-2kcoscos-2ksinsin 2kcos(-)=0 k0, cos(-)=0 0, . 課后練習(xí)： 1若點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，則 =（ ）。 A、-1B、0 C、1D、2 2若 的夾角為（ ）。 A、30 B、45 C、60 D、90 3若 垂直，則實(shí)數(shù)k=（ ）。 A

20、、1 B、-1 C、1或-1 D、非以上答案 4若A（1，0），B（5，-2），C（8，4），D（4，6），則四邊形ABCD為（ ）。 A、正方形 B、菱形 C、梯形 D、矩形 5若ABC中，A（1，2），B（4，1），C（0，-1），則ABC是（ ）。 A、直角三角形B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等邊三角形 6若 的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）。 A、 B、（2，+） C、 D、 7若 的向量 =_。 8與 垂直的單位向量是（ ）。 9若A(cos, sin), B(cos, sin), ，則| |的取值范圍是_。 10已知，以原點(diǎn)和A（5，2）為頂點(diǎn)的等腰直角三角形OA

21、B中，B=90，求：點(diǎn)B及向量 的坐標(biāo)。 練習(xí)答案： 1. B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7. (2,-3) 8. 9. (0,2 10. 測試選擇題1已知a=(3,0), b=(k,5),且a與b的夾角為 ，求k的值（ ）. A、3 B、4 C、-5 D、-3 2已知 ，則 上的投影為（ ）. A、 B、 C、 D、 3已知ABC的頂點(diǎn) ,則角A等于（ ）. A、 B、 C、 D、 4有下列命題：；若 ，則 的充要條件是 ；若 的起點(diǎn)為A（2，1），終點(diǎn)為B（-2，4），則 與x軸正向所夾角的余弦值是 ，其中正確命題的序號是（）. A、 B、 C、 D、5已知三點(diǎn)A（2，-2）

22、、B（5，1），C（1，4），求BAC的余弦值（ ）. A、 B、 C、12 D、 答案與解析答案：1、C 2、C 3、D 4、C 5、A解析：1、答案：C. a b=3k, |a|=3, |b|= , , k=-5. 2、答案：C. .3、答案：D. . 解決本題的關(guān)鍵在于將角A看作向量 的夾角，運(yùn)用向量的夾角公式求解.4、答案：C. 是數(shù)量積的分配律.應(yīng)為 .的充要條件是 . 5、答案：A. ， 又， ， . 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示知識要點(diǎn)： 向量的數(shù)量積它可以解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即向量數(shù)量積的代數(shù)化，可以將數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，進(jìn)而解決有關(guān)長度、角度

23、、垂直的問題. 要求將向量數(shù)量積的性質(zhì)在坐標(biāo)形式下準(zhǔn)確記憶，特別地，根據(jù)定義還可推出向量夾角的坐標(biāo)公式：向量 的夾角 滿足 .向量垂直的充要條件的坐標(biāo)式是重點(diǎn). 向量 互相垂直等價(jià)于x1x2+y1y2=0，它與向量共線的充要條件的坐標(biāo)式x1y2-x2y1=0容易發(fā)生混淆. 典型題目：例1三角形ABC中，A(5, -1), B(-1, 7), C(1,2)，求：（1）BC邊上的中線AM的長；（2）CAB的平分線AD的長；（3）ABC的余弦. 解：（1）M的坐標(biāo)為 .，. （2） ， D點(diǎn)分 的比為2, ， . （3）ABC是 的夾角，而 . . 點(diǎn)評：向量的數(shù)量積運(yùn)算常用來解決有關(guān)長度和角度問題

24、，反映在坐標(biāo)上應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式和夾角公式. 例2ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，8），B（0，0），C（6，-4）.求： （1）ABC的三邊的長；（2）ABC的AB邊上的中線CD的長；（3）ABC的重心G的坐標(biāo). 解：（1） ， ， . （2）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)是(x, y)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 D（2，4）,. （3）設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y),則 . 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 即重點(diǎn) . 例3（1）已知a=(6,2),b=(-3,9),判斷a與b是否垂直？ （2）判斷以O(shè)(0,0),A(a,b),B(a+b, b-a)為頂點(diǎn)的三角形的形狀. 解：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得ab=6(-3)+29

25、=0, 向量a與b垂直. （2）由向量的坐標(biāo)表示，得 . 所以， 這個(gè)三角形的三條邊長分別為： 所以，OAB的三邊滿足下列關(guān)系: ，且 ， 因此，以O(shè)、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形（其中，A=90，O=B=45）. 例4、以原點(diǎn)O和點(diǎn)A（4，2）為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，B=90，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和 . 解：如圖，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(x ,y)，則 . B=90， ，x(x-4)+y(y-2)=0, 即x2+y2=4x+2y. 再設(shè)OA的中點(diǎn)為D，則D的坐標(biāo)是（2，1）. 連結(jié)BD，則 . 4(2-x)+2(1-y)=0.即 2x+y=5 解、聯(lián)立的方程組，得 點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3）或（3，-1）. 當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）時(shí)， ； 當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1）時(shí)， . 例5、已知點(diǎn)A（1，2）和B（4，-1），問能否在y軸上找到一點(diǎn)C，使ACB=90，若不能，說明理由；若能，求C點(diǎn)坐標(biāo). 解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y)，由ACB=90知 ， ，即(-1)(-4)+(y-2)(y+1)=0, y2-y+2=0無解.故不能找到滿足條件的點(diǎn). 課外練習(xí)： 1、已知O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)， ，在x軸上有一點(diǎn)P，使 取最小值，求P點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的APB的大小. 2、已知兩點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),點(diǎn)C在直線 上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為