高中數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程章末總結(jié) 北師大版選修21

1、章末總結(jié)知識點一圓錐曲線的定義和性質(zhì)對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略；應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時，要注意與數(shù)形結(jié)合思想、方程思想結(jié)合起來總之，圓錐曲線的定義、性質(zhì)在解題中有重要作用，要注意靈活運用例1已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，P為雙曲線上一點，且F1PF260°，SPF1F212，求雙曲線的標準方程知識點二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線一般有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離在直線與雙曲線、拋物線的位置關(guān)系中有一種情況，即直線與其交于一點和切于一點，二者在幾何意義上是截然不同的，反映在代數(shù)方程上

2、也是完全不同的，這在解題中既是一個難點也是一個十分容易被忽視的地方圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個交點無限靠近時的極限情況，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，即判別式等于零；而與圓錐曲線有一個交點的直線，是一種特殊的情況(拋物線中與對稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反映在消元后的方程上，該方程是一次的例2如圖所示，O為坐標原點，過點P(2，0)且斜率為k的直線l交拋物線y22x于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點(1)求x1x2與y1y2的值；(2)求證：OMON.知識點三軌跡問題軌跡是解析幾何的基本問題，求解的方法有以下幾種：(1)直接法：建立適當(dāng)

3、的坐標系，設(shè)動點為(x，y)，根據(jù)幾何條件直接尋求x、y之間的關(guān)系式(2)代入法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關(guān)系，把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點具體地說，就是用所求動點的坐標x、y來表示已知動點的坐標并代入已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求得所求動點坐標x、y之間的關(guān)系式(3)定義法：如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程(4)參數(shù)法：當(dāng)很難找到形成曲線的動點P(x，y)的坐標x，y所滿足的關(guān)系式時，借助第三個變量t，建立t和x，t和y的關(guān)系式x(t)，y(t)，再通過一些條件消掉t就間接地找到了x和y所滿足

4、的方程，從而求出動點P(x，y)所形成的曲線的普通方程例3設(shè)點A、B是拋物線y24px (p>0)上除原點O以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，垂足為M，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？知識點四圓錐曲線中的定點、定值問題圓錐曲線中的定點、定值問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點，解決這個難點沒有常規(guī)的方法，但解決這個難點的基本思想是明確的，定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的某個點或值，就是要求的定點、定值化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進

5、變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量例4若直線l：ykxm與橢圓1相交于A、B兩點(A、B不是左、右頂點)，A2為橢圓的右頂點且AA2BA2，求證：直線l過定點知識點五圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值、范圍問題，是高考熱點，主要有以下兩種求解策略：(1)平面幾何法平面幾何法求最值問題，主要是運用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解(2)目標函數(shù)法建立目標函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，是常規(guī)方法，其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù)，然后運用求函數(shù)最值的方法確定最值例5已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓1內(nèi)的兩定點，點M是橢圓上的動

6、點，求|MA|MB|的最值例6已知F1、F2為橢圓x21的上、下兩個焦點，AB是過焦點F1的一條動弦，求ABF2面積的最大值章末總結(jié)重點解讀例1解如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1 (a>0，b>0)e2，c2a.由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2ac，在PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60°(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos 60°)，即4c2c2|PF1|PF2|.又SPF1F212，|PF1|PF2|sin 60°12，即|PF1|PF2|48.由，得c216，c4，

7、則a2，b2c2a212，所求的雙曲線方程為1.例2(1)解過點P(2,0)且斜率為k的直線方程為：yk(x2)把yk(x2)代入y22x，消去y得k2x2(4k22)x4k20，由于直線與拋物線交于不同兩點，故k20且(4k22)216k416k24>0，x1x24，x1x24，M、N兩點在拋物線上，y·y4x1·x216，而y1·y2<0，y1y24.(2)證明(x1，y1)，(x2，y2)，·x1·x2y1·y2440.，即OMON.例3解設(shè)直線OA的方程為ykx (k±1，因為當(dāng)k±1時，直線A

8、B的斜率不存在)，則直線OB的方程為y，進而可求A、B(4pk2，4pk)于是直線AB的斜率為kAB，從而kOM，直線OM的方程為yx，直線AB的方程為y4pk(x4pk2)將相乘，得y24pkyx(x4pk2)，即x2y24pky4pk2x4p(k2xky)，又k2xkyx，代入式并化簡，得(x2p)2y24p2.當(dāng)k±1時，易求得直線AB的方程為x4p.故此時點M的坐標為(4p,0)，也在(x2p)2y24p2 (x0)上點M的軌跡方程為(x2p)2y24p2 (x0)，其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2p的圓，去掉坐標原點例4證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得

9、(34k2)x28mkx4(m23)0，則即又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點為A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20.y1y2x1x22(x1x2)40.40.7m216km4k20，解得m12k，m2，且均滿足34k2m2>0.當(dāng)m12k時，l的方程為yk(x2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾當(dāng)m2時，l的方程為yk，直線過定點，直線l過定點例5解因為A(4,0)是橢圓的右焦點，設(shè)A為橢圓的左焦點，則A(4,0)，由橢圓定義知|MA|MA|10.如圖所示，則|MA|MB|MA|MA|MB|MA|10|MB|MA|10|AB|.當(dāng)點M在BA的延長線上時取等號所以當(dāng)M為射線BA與橢圓的交點時，(|MA|MB|)max10|AB|102.又如圖所示，|MA|MB|MA|MA|MA|MB|10(|MA|MB|)10|AB|，當(dāng)M在AB的延長線上時取等號所以當(dāng)M為射線AB與橢圓的交點時，(|MA|MB|)min10|