高中數(shù)學統(tǒng)計案例 13 可線性化回歸分析練習 北師大版選修12

1、1.3可線性化的回歸分析明目標、知重點1.進一步體會回歸分析的基本思想.2.通過非線性回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度1常見的非線性回歸模型冪函數(shù)曲線yaxb，指數(shù)曲線yaebx.倒指數(shù)曲線yae，對數(shù)曲線yabln_x.2非線性函數(shù)可以通過變換轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，得到線性回歸方程，再通過相應變換得到非線性回歸方程探究點一非線性回歸模型思考1有些變量間的關系并不是線性相關，怎樣確定回歸模型？答首先要作出散點圖，如果散點圖中的樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個變量不呈現(xiàn)線性相關關系，不能直接利用回歸方程來建立兩個變量之間的關系，這時可以根據(jù)已有的函數(shù)知識，觀察樣本點是否呈指數(shù)函數(shù)關系或二次

2、函數(shù)關系，選定適當?shù)幕貧w模型思考2如果兩個變量呈現(xiàn)非線性相關關系，怎樣求出回歸方程？答可以通過對解釋變量進行變換，如對數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個變量間的回歸方程，再得到所求兩個變量的回歸方程例1 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x/cm60708090100110體重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170體重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05試建立y與x之間的回歸方程解根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖所示由圖看出，樣本點分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線yc1ec2x的周圍，于是令z

3、ln y.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01畫出散點圖如圖所示由表中數(shù)據(jù)可得115，2.962 5，iyi4 370.5，173 000，b0.020，ab 0.663，z與x之間的線性回歸方程為z0.6630.020x，則有ye0.6630.020x.反思與感悟根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線yc1ec2x的周圍，其中c1和c2是待定參數(shù)；可以通過對x進行對數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為線性相關關系跟蹤訓練1在彩色顯影中，由經(jīng)驗知：形成染料光學密度y與析

4、出銀的光學密度x由公式y(tǒng)Ae (b<0)表示現(xiàn)測得試驗數(shù)據(jù)如下：xi0.050.060.250.310.070.10yi0.100.141.001.120.230.37xi0.380.430.140.200.47yi1.191.250.590.791.29試求y對x的回歸方程解由題給的公式y(tǒng)Ae，兩邊取自然對數(shù)，便得ln yln A，與線性回歸方程相對照，只要取u，vln y，aln A.就有vabu.題給數(shù)據(jù)經(jīng)變量置換u，vln y變成如下表所示的數(shù)據(jù)：ui20.00016.6674.0003.22614.28610.000vi2.3031.96600.1131.4700.994ui2

5、.6322.3267.1435.0002.128vi0.1740.2230.5280.2360.255可得ln y0.548，即ye0.548e0.548·e1.73e，這就是y對x的回歸方程探究點二非線性回歸分析思考對于兩個變量間的相關關系，是否只有唯一一種回歸模型來擬合它們之間的相關關系？答不一定我們可以根據(jù)已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)圖像進行比較，挑選一種擬合比較好的函數(shù)，作為回歸模型例2對兩個變量x，y取得4組數(shù)據(jù)(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分別求得數(shù)學模型如下：甲y0.1x1，乙y0.05x20

6、.35x0.7，丙y0.8·0.5x1.4，試判斷三人誰的數(shù)學模型更接近于客觀實際解甲模型，當x1時，y1.1；當x2時，y1.2；當x3時，y1.3；當x4時，y1.4.乙模型，當x1時，y1；當x2時，y1.2；當x3時，y1.3；當x4時，y1.3.丙模型，當x1時，y1；當x2時，y1.2；當x3時，y1.3；當x4時，y1.35.觀察4組數(shù)據(jù)并對照知，丙的數(shù)學模型更接近于客觀實際跟蹤訓練2根據(jù)統(tǒng)計資料，我國能源生產(chǎn)自1986年以來發(fā)展很快下面是我國能源生產(chǎn)總量(單位：億噸標準煤)的幾個統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份1986199119962001產(chǎn)量8.610.412.916.1根據(jù)有關專

7、家預測，到2010年我國能源生產(chǎn)總量將達到21.7億噸左右，則專家所選擇的回歸模型是下列四種模型中的哪一種()Aybxa(b0)Byax2bxc(a0)Cyax(a>0且a1)Dylogax(a>0且a1)答案A1散點圖在回歸分析中的作用是()A查找個體個數(shù)B比較個體數(shù)據(jù)大小關系C探究個體分類D粗略判斷變量是否相關答案D2變量x與y之間的回歸方程表示()Ax與y之間的函數(shù)關系Bx與y之間的不確定性關系Cx與y之間的真實關系形式Dx與y之間的真實關系達到最大限度的吻合答案D3變量x，y的散點圖如圖所示，那么x，y之間的樣本相關系數(shù)r最接近的值為()A1 B0.5C0 D0.5答案C4

8、某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y之間有下表關系，現(xiàn)在知道其中一個數(shù)據(jù)弄錯了，則最可能錯的數(shù)據(jù)是_.x/萬元24568y/萬元3040605070答案(6,50)呈重點、現(xiàn)規(guī)律1對于確定具有非線性相關關系的兩個變量，可以通過對變量進行變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸問題去解決建立回歸模型的步驟確定研究對象，明確變量關系；畫出散點圖，觀察變量之間的關系；由經(jīng)驗確定回歸方程的類型；按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)2常見曲線方程的變換公式曲線方程變換公式變換后的線性方程ay，xyabxyaxbyln y，xln xyAbx(Aln a)yabln xyy，xln xyabxyaebxyln y，xxyAbx(Aln

9、 a)一、基礎過關1下列說法正確的是()線性回歸方程適用于一切樣本和總體；線性回歸方程一般都有時間性；樣本的取值范圍會影響線性回歸方程的適用范圍；根據(jù)線性回歸方程得到的預測值是預測變量的精確值A B C D答案B2某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其線性回歸方程可能是()Ay10x200 By10x200Cy10x200 Dy10x200答案A3在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為()A1 B0 C. D1答案D4某學

10、校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列擬合曲線，其中擬合程度最好的是()Ay2x2 By()xCylog2x Dy(x21)答案D解析可以代入檢驗，當x取相應的值時，所求y與已知y相差最小的便是擬合程度最高的5對于指數(shù)曲線yaebx，令uln y，cln a，經(jīng)過非線性化回歸分析之后，可以轉(zhuǎn)化成的形式為()Aucbx BubcxCybcx Dycbx答案A解析對方程yaebx兩邊同時取對數(shù)，然后將uln y，cln a代入，不難得出ucbx.6在研究兩個變量的相關關系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集

11、中于某一條指數(shù)曲線yebxa的周圍，令zln y，求得線性回歸方程為z0.25x2.58，則該模型的回歸方程為_答案ye0.25x2.58解析z0.25x2.58，zln y，ye0.25x2.58.7.某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345(1)求年推銷金額y關于工作年限x的線性回歸方程；(2)若第6名推銷員的工作年限為11年，試估計他的年推銷金額解(1)設所求的線性回歸方程為ybxa，則b0.5，ab0.4.年推銷金額y關于工作年限x的線性回歸方程為y0.5x0.4.(2)當x11時，y0.5x0

12、.40.5×110.45.9(萬元)可以估計第6名推銷員的年推銷金額為5.9萬元二、能力提升8研究人員對10個家庭的兒童問題行為程度(X)及其母親的不耐心程度(Y)進行了評價結(jié)果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，兒童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母親得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.下列哪個方程可以較恰當?shù)臄M合()Ay0.771 1x26.528By36.958ln x74.604Cy1.177 8x1.014 5Dy20.924e0.019 3x答案B解析可以通過畫散點圖觀察知兩個變量x、y之間大

13、致呈現(xiàn)對數(shù)函數(shù)關系9已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x1.081.121.191.25y2.252.372.432.55則y與x之間的線性回歸方程ybxa必過點_答案(1.16,2.4)解析回歸方程ybxa必過樣本點的中心(，)，1.16，2.4，樣本點的中心為(1.16,2.4)10已知線性回歸方程為y0.50x0.81，則x25時，y的估計值為_答案11.69解析當x25時，y0.50×250.8111.69.11在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521如何建立y與x之間的回歸方程解畫出散點圖如圖(1)所示，觀察可知y與x近似是反比

14、例函數(shù)關系設y (k0)，令t，則ykt.可得到y(tǒng)關于t的數(shù)據(jù)如下表：t4210.50.25y1612521畫出散點圖如圖(2)所示，觀察可知t和y有較強的線性相關性，因此可利用線性回歸模型進行擬合，易得：1.55，7.2，iyi94.25，21.312 5，b4.134 4，ab0.791 7，所以y4.134 4t0.791 7，所以y與x的回歸方程是y0.791 7.12某地區(qū)六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤總額y與年次x的試驗數(shù)據(jù)如下表所示：年次x123456利潤總額y11.3511.8512.4413.0713.5914.41由經(jīng)驗知，年次x與利潤總額y(單位：億元)有如下關系：yabxe0.其

15、中a、b均為正數(shù)，求y關于x的回歸方程(保留三位有效數(shù)字)解對yabxe0兩邊取對數(shù)，得ln yln ae0xln b，令zln y，則z與x的數(shù)據(jù)如下表：x123456z2.432.472.522.572.612.67由zln ae0xln b及最小二乘法公式，得ln b0.047 7，ln ae02.38，即z2.380.047 7x，所以y10.8×1.05x.三、探究與拓展13某商店各個時期的商品流通率y(%)和商品零售額x(萬元)資料如下：x9.511.513.515.517.5y64.643.22.8x19.521.523.525.527.5y2.52.42.32.22.1散點圖顯示出x與y的變動關系為一條遞減的曲線經(jīng)濟理論和實際經(jīng)驗都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營規(guī)模效益，假定它們之間存在關系式：ya.試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元時的商品流通率解設u，則ya