高中數(shù)學(xué)推理與證明 23 數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 新人教版選修22

1、【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 新人教版選修2-2明目標(biāo)、知重點(diǎn)1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題1數(shù)學(xué)歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時特別注意：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可(3)步驟的證明必須以“假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN*)時命題成立”為條件情境導(dǎo)學(xué)多米諾骨牌游

2、戲是一種用木制、骨制或塑料制成的長方形骨牌，玩時將骨牌按一定間距排列成行，保證任意兩相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下只要推倒第一塊骨牌，就必然導(dǎo)致第二塊骨牌倒下； 而第二塊骨牌倒下，就必然導(dǎo)致第三塊骨牌倒下，最后不論有多少塊骨牌都能全部倒下請同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下蘊(yùn)涵怎樣的原理？探究點(diǎn)一數(shù)學(xué)歸納法的原理思考1多米諾骨牌游戲給你什么啟示？你認(rèn)為一個骨牌鏈能夠被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一張牌被推倒；(2)任意相鄰兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下結(jié)論：多米諾骨牌會全部倒下所有的骨牌都倒下，條件(2)給出了一個遞推關(guān)系，條件(1)給出了骨牌倒下的基礎(chǔ)思考

3、2對于數(shù)列an，已知a11，an1，試寫出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想請問這個結(jié)論正確嗎？怎樣證明？答a11，a2，a3，a4，猜想an(nN*)以下為證明過程：(1)當(dāng)n1時，a11，所以結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，結(jié)論成立，即ak，則當(dāng)nk1時ak1(已知)(代入假設(shè))(變形)(目標(biāo))即當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立由(1)(2)可得，對任意的正整數(shù)n都有an成立思考3你能否總結(jié)出上述證明方法的一般模式？答一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題P(n)，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN*)

4、時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法思考4用數(shù)學(xué)歸納法證明135(2n1)n2，如采用下面的證法，對嗎？若不對請改正證明：(1)n1時，左邊1，右邊121，等式成立(2)假設(shè)nk時等式成立，即135(2k1)k2，則當(dāng)nk1時，135(2k1)(k1)2等式也成立由(1)和(2)可知對任何nN*等式都成立答證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)榈诙阶C明時，未用到歸納假設(shè)從形式上看這種證法，用的是數(shù)學(xué)歸納法，實(shí)質(zhì)上不是，因?yàn)樽C明nk1正確時，未用到歸納假設(shè)，而用的是等差數(shù)列求和公式探究點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1

5、用數(shù)學(xué)歸納法證明1222n2(nN*)證明(1)當(dāng)n1時，左邊121，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即1222k2，那么，1222k2(k1)2(k1)2，即當(dāng)nk1時等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何nN*都成立反思與感悟(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)由nk到nk1時，等式的兩邊會增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練1求證：1(nN*)證明當(dāng)n1時，左邊1，右邊，所以等式成立假設(shè)nk(kN*)時，1成立那么當(dāng)nk1時，1，所以nk1時，等式也成立綜上所

6、述，對于任何nN*，等式都成立探究點(diǎn)三用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題例2已知數(shù)列，計(jì)算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明解S1；S2；S3；S4.可以看出，上面表示四個結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n1.于是可以猜想Sn.下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想(1)當(dāng)n1時，左邊S1，右邊，猜想成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時猜想成立，即，那么，所以，當(dāng)nk1時猜想也成立根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對任何nN*都成立反思與感悟歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法，數(shù)學(xué)歸納法是“完全歸納”的一種科學(xué)方法，對于無窮盡的事例，常用不完全歸納法去發(fā)

7、現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，并設(shè)法給予證明，這就是“歸納猜想證明”的基本思想跟蹤訓(xùn)練2數(shù)列an滿足Sn2nan(Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和)，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，再猜想an，并證明解由a12a1，得a11；由a1a22×2a2，得a2；由a1a2a32×3a3，得a3；由a1a2a3a42×4a4，得a4.猜想an.下面證明猜想正確：(1)當(dāng)n1時，由上面的計(jì)算可知猜想成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時猜想成立，則有ak，當(dāng)nk1時，Skak12(k1)ak1，ak12(k1)Skk1(2k)，所以，當(dāng)nk1時，等式也成立由(1)和(2)可知，an對任意正整數(shù)n都成立1若命題A(n)(n

8、N*)在nk(kN*)時命題成立，則有nk1時命題成立現(xiàn)知命題對nn0(n0N*)時命題成立，則有()A命題對所有正整數(shù)都成立B命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立D以上說法都不正確答案C解析由已知得nn0(n0N*)時命題成立，則有nn01時命題成立；在nn01時命題成立的前提下，又可推得n(n01)1時命題也成立，依此類推，可知選C.2用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2a2n1(a1)”在驗(yàn)證n1時，左端計(jì)算所得項(xiàng)為()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4答案C解析將n1代入a2n1得a

9、3，故選C.3用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN*)的過程如下：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊2111，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即12222k12k1，則當(dāng)nk1時，12222k12k2k11.所以當(dāng)nk1時等式也成立由此可知對于任何nN*，等式都成立上述證明的錯誤是_答案未用歸納假設(shè)解析本題在由nk成立，證nk1成立時，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上假設(shè)條件，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符4用數(shù)學(xué)歸納法證明11n(nN*)證明(1)當(dāng)n1時，左式1，右式1，所以1，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，命題成立，即11k，則當(dāng)nk1時，1>12k·1

10、.又1<k2k·(k1)，即當(dāng)nk1時，命題成立由(1)和(2)可知，命題對所有的nN*都成立呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定為1；(2)遞推是關(guān)鍵：正確分析由nk到nk1時式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障；(3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明.一、基礎(chǔ)過關(guān)1某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時，該命題成立，那么可推得nk1時，該命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時，該命題成立，那么可推導(dǎo)出()A

11、當(dāng)n6時命題不成立B當(dāng)n6時命題成立C當(dāng)n4時命題不成立D當(dāng)n4時命題成立答案B2一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n2時命題成立，且由nk時命題成立可以推得nk2時命題也成立，則()A該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立B該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時成立與k取值無關(guān)D以上答案都不對答案B解析由nk時命題成立可以推出nk2時命題也成立且n2，故對所有的正偶數(shù)都成立3在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時，第一步驗(yàn)證n等于()A1 B2 C3 D0答案C解析因?yàn)槭亲C凸n邊形，所以應(yīng)先驗(yàn)證三角形，故選C.4若f(n)1(nN*)，則n1時f(n)是()A1 B.C1 D以上答

12、案均不正確答案C5已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時，f(2)答案D解析觀察分母的首項(xiàng)為n，最后一項(xiàng)為n2，公差為1，項(xiàng)數(shù)為n2n1.6在數(shù)列an中，a12，an1(nN*)，依次計(jì)算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項(xiàng)表達(dá)式為()A. B.C. D.答案B解析a12，a2，a3，a4，可推測an，故選B.7用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)(1)(1)(1)(nN*)證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時等式成立，即(

13、1)(1)(1)(1)，當(dāng)nk1時，(1)(1)(1)(1)·(1)(1)，所以當(dāng)nk1時等式也成立由(1)(2)可知，對于任意nN*等式都成立二、能力提升8用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n·1·3··(2n1)(nN*)，從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1時，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)·(k1)k·(2k2)(k1)(k2)(kk)·(2k1)·2，應(yīng)增乘2(2k1)9已知f(n)(nN*)，則f(k1)_.答案f(k)10

14、證明：假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即當(dāng)nk1時等式也成立因此對于任何nN*等式都成立以上用數(shù)學(xué)歸納法證明“242nn2n(nN*)”的過程中的錯誤為_答案缺少步驟歸納奠基11用數(shù)學(xué)歸納法證明12223242(1)n1·n2(1)n1·.證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊(1)11×1，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，結(jié)論成立即12223242(1)k1k2(1)k1·，那么當(dāng)nk1時，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1·(1)k(k1)2(1)k&

15、#183;(k1)(1)k·.即nk1時結(jié)論也成立由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立12已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an.(2)證明當(dāng)n2時，a25×2225，公式成立假設(shè)nk(k2，kN*)時成立，即ak5×2k2，當(dāng)nk1時，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2a3ak55105×2k2.55×2k1.故nk1時公式也成立由可知，對n2，nN*，有an5×2n2.所以數(shù)