雅克比矩陣Jacobi

1、雅可比矩陣(Jacobi方法) Jacobi 方法 Jacobi方法是求對稱矩陣的全部特征值以及相應(yīng)的特征向量的一種方法，它是基于以下兩個結(jié)論 1) 任何實對稱矩陣A可以通過正交相似變換成對角型，即存在正交矩陣Q,使得 QT AQ = diag(1 ,2 ,n ) (3.1)其中i(i=1,2,n)是A的特征值，Q中各列為相應(yīng)的特征向量。 2) 在正交相似變換下,矩陣元素的平方和不變。即設(shè)A=(aij)n×n ,Q交矩陣,記B=QTAQ=(bij)n×n , 則 Jacobi方法的基本思想是通過一次正交變換,將A中的一對非零的非對角化成零并且使得非對角元素的平方和減小。反復(fù)

2、進行上述過程,使變換后的矩陣的非對角元素的平方和趨于零，從而使該矩陣近似為對角矩陣，得到全部特征值和特征向量。 1 矩陣的旋轉(zhuǎn)變換設(shè)A為n階實對稱矩陣，考慮矩陣 易見 Vij()是正交矩陣, 記 注意到B=Vij A的第i,j行元素以及 的第i,j列元素為 可得 如果aij0，取使得 則有 對A(1) 重復(fù)上述的過程，可得A(2) ,這樣繼續(xù)下去, 得到一個矩陣序列A(k) ?？梢宰C明，雖然這種變換不一定能使矩陣中非對角元素零元素的個數(shù)單調(diào)增加，但可以保證非對角元素的平方和遞減，我們以A與A(1) 為例進行討論。設(shè) 由式(3.4) 可得 這表明,在上述旋轉(zhuǎn)變換下,非對角元素的平方和嚴(yán)格單調(diào)遞減

3、,因而由(3.2)可知，對角元素的平方和單調(diào)增加。 2. Jacobi方法 通過一系列旋轉(zhuǎn)變換將A變成A(k+1) ,求得A的全部特征值與特征向量的方法稱為Jacobi方法。計算過程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整數(shù)i,j, 使得 3) 計算旋轉(zhuǎn)矩陣 4) 計算A(k+1) 5) 計算 6) 若E(A(k+1)<, 則 為特征值， QT = (V(0) V(1) V(k+1)T的各列為相應(yīng)的特征向量；否則，k+1=>k返回2,重復(fù)上述過程。 例5 用Jacobi方法求矩陣的特征值和特征向量。一般地，Jacobi法不能在有限步內(nèi)將A化成對角陣，但有下面的定理。 定理3

4、 設(shè)A為n階使對稱矩陣，對A用Jacobi法得到序列A(k) , 其中A(0) = A, 則 證明 由Jacobi法計算過程 故有 (3.5)另一方面，有計算A 的公式可以得到 于是有, 代入式(3.5)得 因為 所以 雅可比矩陣以m個n元函數(shù)ui=ui(x1,x2,xn)(i=1,2,m)的偏導(dǎo)數(shù)(j=1,2,n)為元素的矩陣如果把原來的函數(shù)組看作由點x=(x1,x2,xn)到點u=(u1,u2,um)的一個變換T,則在偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的前提之下，u隨x的變化由相應(yīng)的微分方程組來描述。這是一個關(guān)于微分的線性方程組，其系數(shù)矩陣便是雅可比矩陣(J)，因而可寫成矩陣形式這隱含著(J)具有微分系數(shù)的某些

5、性質(zhì),類似于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。而在m=n=1的情形,它又恰好是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；所以它也是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)到m個n元函數(shù)的一種推廣。因此，(J)作為微分系數(shù)或?qū)?shù)的推廣,有時也被當(dāng)作變換T的“導(dǎo)數(shù)”看待并記為T(x)=(J)。變換T的進一步的數(shù)量描述需要雅可比行列式。 定義任給一個n維向量X，其范數(shù)X是一個滿足下列三個條件的實數(shù)：（1） 對于任意向量X，X0，且X0óX0;（2） 對于任意實數(shù)及任意向量X，XX；（3） 對于任意向量X和Y，XYXY；對于這樣的,叫雅克比矩陣定義。雅克比矩陣證明關(guān)于這個的一般性證明稍微復(fù)雜點，現(xiàn)在就給你證明為什么二維的dx(u,v)dy(u,v)=J

6、dudv成立證明：對于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲邊四邊形ABCD，其中A(u,v),B(u+u,v),C(u+u,v+v),D(u,v+v),那么這個曲邊四邊形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+u,v)-A(u,v)和D(u,v+v)-A(u,v)張成的。利用中值定理可知：(u+u,v)-(u,v)=Mdu(u,v+v)-(u,v)=Ndv這里的M，N是偏導(dǎo)數(shù)的形式，不好打出，你可以自己算出來，很簡單的。當(dāng)變化量很小時，我們把(u+u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，dx(u,v)dy(u,v)=M

7、*Ndudv而其中的M*N剛好就是二維Jacobi行列式的展開形式。由此問題得證。 雅可比矩陣 在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣，其行列式成為雅可比行列式。 還有，在代數(shù)幾何中，代數(shù)曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個群簇，曲線可以嵌入其中。 它們?nèi)慷家詳?shù)學(xué)家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發(fā)音為ja ko bi n或者 ko bi n。 雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個可微方程與給出點的最優(yōu)線性逼近。因此，雅可比矩陣類似于多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 雅可比矩陣定義： 雅可比矩陣定義為向量對向量的微分矩陣，定義式如 下： 見所附

8、jpg圖片。 例：MATLAB中jacobian是用來計算Jacobi矩陣的函數(shù)。 syms r l f x=r*cos(l)*cos(f); y=r*cos(l)*sin(f); z=r*sin(l); J=jacobian(x;y;z,r l f) 結(jié)果： J = cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f) cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*c os(f) sin(l), r*cos(l), 0 Hessian 矩陣就是一個多元實函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，設(shè)f=f(x1,x2.xn) 二階導(dǎo)數(shù)（

9、d2f/d(xi)d(xj)）構(gòu)成矩陣,在優(yōu)化分析中常用到。 Jacobi矩陣就是一個多元矢量函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，如f=(f1(x1,x2.xn),.,fm(x1,x2.xn),相應(yīng)矩陣元素為d(fi)/d(xj)。在穩(wěn)定點附近的穩(wěn)定性分析常用到它。 本質(zhì)上說，以上兩者是相關(guān)的Jacobi可以看作是一個多元實函數(shù)的梯度（一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。 在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。還有，在代數(shù)幾何中，代數(shù)曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數(shù)群，曲線可以嵌入其中。它們?nèi)慷家詳?shù)學(xué)家卡爾·雅可比命名；英文雅可比量"Jacob

10、ian"可以發(fā)音為ja ko bi n或者 ko bi n。雅可比矩陣雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個可微方程與給出點的最優(yōu)線性逼近。因此，雅可比矩陣類似于多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。假設(shè)F:RnRm 是一個從歐式n維空間轉(zhuǎn)換到歐式m維空間的函數(shù)。這個函數(shù)由m個實函數(shù)組成: y1(x1,.,xn), ., ym(x1,.,xn). 這些函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣，這就是所謂的雅可比矩陣：此矩陣表示為： ，或者 這個矩陣的第i行是由梯度函數(shù)的轉(zhuǎn)置yi(i=1,.,m)表示的如果p是Rn中的一點，F(xiàn)在p點可微分，那么在這一點的導(dǎo)數(shù)由JF(p)給出(這是求該點導(dǎo)數(shù)最簡便的方法

11、)。在此情況下，由F(p)描述的線性算子即接近點p的F的最優(yōu)線性逼近，x逼近與p例子由球坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化由F函數(shù)給出:R × 0, × 0,2 R3此坐標(biāo)變換的雅可比矩陣是R4的f函數(shù):其雅可比矩陣為:此例子說明雅可比矩陣不一定為方矩陣。在動力系統(tǒng)中考慮形為x' = F(x)的動力系統(tǒng)，F(xiàn) : Rn Rn。如果F(x0) = 0，那么x0是一個駐點。系統(tǒng)接近駐點時的表現(xiàn)通常可以從JF(x0)的特征值來決定。雅可比行列式如果m = n，那么F是從n維空間到n維空間的函數(shù)，且它的雅可比矩陣是一個方塊矩陣。于是我們可以取它的行列式，稱為雅可比行列式。在某個給定點的

12、雅可比行列式提供了F在接近該點時的表現(xiàn)的重要信息。例如，如果連續(xù)可微函數(shù)F在p點的雅可比行列式不是零，那么它在該點附近具有反函數(shù)。這稱為反函數(shù)定理。更進一步，如果p點的雅可比行列式是正數(shù)，則F在p點的取向不變；如果是負(fù)數(shù)，則F的取向相反。而從雅可比行列式的絕對值，就可以知道函數(shù)F在p點的縮放因子；這就是為什么它出現(xiàn)在換元積分法中。例子設(shè)有函數(shù)F : R3 R3，其分量為：則它的雅可比行列式為：從中我們可以看到，當(dāng)x1和x2同號時，F(xiàn)的取向相反；該函數(shù)處處具有反函數(shù)，除了在x1 = 0和x2= 0時以外。參看海森矩陣 Jacobi陣和Hessian陣可謂是用途廣泛。不僅是在優(yōu)化問題中常用，在各種

13、多元問題中一般都常遇到。比如在求解非線性方程組時，兩者會經(jīng)常被使用。關(guān)于它們的定義和用法，推薦參看李慶揚等寫的非線性方程組的數(shù)值解法。 樓主可參看R.A.Horn的矩陣分析卷一 雅可比矩陣雅可比矩陣定義：雅可比矩陣定義為向量對向量的微分矩陣，定義式如下：見所附j(luò)pg圖片。 雅克比矩陣在有限單元法中指的是全局坐標(biāo)對局部坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，我們在由節(jié)點位移求解節(jié)點應(yīng)變的時候會碰到形函數(shù)對整體坐標(biāo)的偏導(dǎo)問題，即求解B矩陣，由于形函數(shù)對整體坐標(biāo)的偏導(dǎo)比較難求，我們可以先求形函數(shù)對局部坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，然后利用雅克比矩陣轉(zhuǎn)化為形函數(shù)對整體坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。雅克比矩陣其實質(zhì)和泛函求導(dǎo)數(shù)中泛函中的變量對自變量的導(dǎo)數(shù)是一樣

14、的。只不過一個是矩陣，一個數(shù)數(shù)值而已。在空間問題8節(jié)點的線性單元中，雅克比矩陣是3*3得矩陣。我們在計算過程中還經(jīng)常用到雅克比行列式的值，它用來判斷單元是否畸形，一般雅克比行列式為正，則說明單元形態(tài)較好，反之單元形態(tài)不好。雅克比方法是解決線性方程組的一種迭代方法，當(dāng)現(xiàn)行方程組的階數(shù)較高時，用直接法解方程組時可能誤差較大，就要采用迭代方法。不過雅克比迭代不是一種很高效的迭代方法，高斯 -塞德爾迭代方法較其效率要高。 雅克比矩陣必然是n*n的矩陣，因為局部坐標(biāo)和全局坐標(biāo)之間的變量的數(shù)量永遠(yuǎn)是相同的 在一般的應(yīng)用過程中，局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)線性無關(guān)且數(shù)目相等，所以雅克比矩陣是方陣，并且行列式不恒為零。

15、但是，從純數(shù)學(xué)的角度講，如果允許廣義坐標(biāo)之間線性相關(guān)，那么雅克比矩陣可能不是方陣，即使是方陣，行列式也可能恒為零。 討論Jacobi矩陣不能僅限于有限元。應(yīng)用數(shù)學(xué)上是這樣定義的：設(shè)有n個變元的m個函數(shù)yi=fi(x1,x2,.,xn) (i=1,2,.,m)，A=D(y1,.,ym)/D(x1,.xn)稱為上式的Jacobi矩陣。m和n是可以不同的。其實局部坐標(biāo)和全局坐標(biāo)的變量的數(shù)量是可以不同的，例如三角形單元的面積坐標(biāo)和四面體單元的體積坐標(biāo)，因為面積坐標(biāo)和體積坐標(biāo)都不是完全獨立的，其分量的和都是1。在有限元中，通過變量替換，使得Jacobi矩陣成為方陣，是為了求其逆矩陣的需要。只是在有限元中

16、是這樣用的而已。不過Jacobi矩陣J的行列式|J|何時為常數(shù)？我一直弄不清楚。書上說二維情形下的矩形和平行四邊形單元的|J|是常數(shù)，三維情形下的正六面體或平行六面體單元的|J|不是常數(shù)，請問從理論上怎么理解呢？最好不是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果。回樓上的兄弟： 雅克比矩陣的行列式|J|為常數(shù)，就是里頭的每個元素都為常數(shù)，以二維等參單元的自然坐標(biāo)和平面坐標(biāo)為例，J(1,1)=Ni'(，)Xi，只要插值函數(shù)Ni是的一次函數(shù)，則不管任何點（，）上的J(1，1)都是常數(shù)。所以插值函數(shù)只要是單維線性的，雅克比矩陣的行列式就是常數(shù)。ljz0702 2006-7-23 11:32雅可比矩陣的作用是什么?如題,

17、請教雅可比矩陣和彈塑性矩陣的區(qū)別,以及在材料的本構(gòu)關(guān)系中為什么有的時候用雅可比矩陣,有時用彈塑性矩陣?謝謝不吝賜教!camus 2006-7-27 17:22在等參單元中J反映的是整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。;ZeQ-odCn彈塑性矩陣反映的是材料的性質(zhì)與彈模和泊松比有關(guān);在b計算剛度/b矩陣時用到了BT D B J 行列式的局部坐標(biāo)下的積分b|H2w'K而彈塑性矩陣是在b計算應(yīng)力/b時用到 De 怎么理解海森矩陣和雅可比矩陣首先類比一下一維。Jacobian相當(dāng)于一階導(dǎo)數(shù)，Hessian相當(dāng)于二階導(dǎo)數(shù)。一維函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的motivation是很明顯的。二階導(dǎo)數(shù)的零點就是一階導(dǎo)數(shù)的極值

18、點。對于很多應(yīng)用，我們不僅關(guān)心一階導(dǎo)數(shù)的零點（也就是函數(shù)的極值點），也關(guān)心一階導(dǎo)數(shù)的極值點，比如信號處理中，信號的一階導(dǎo)數(shù)的極值點反映信號變化的最劇烈程度。極值點尋求在編程時不方便，不如找二階導(dǎo)數(shù)的零點。Jacobian對于標(biāo)量函數(shù)f: Rn-> R1，實際是個向量，這個向量實際上就是函數(shù)的梯度gradient。gradient根據(jù)Cauchy-Swartz公式，指向的是在某處方向?qū)?shù)取極大值的方向。在二維圖像處理中，可用gradient來檢測灰度值的邊緣。對于向量場F: Rn-> Rm, Jacobian的每一行實際都是一個梯度。且有 F（X)=F(P)+J(P)(X-P)+O(

19、|X-P|) 這個式子的每一行都是一個分量的局部線性化?？紤]一個二維的數(shù)字圖像線性變換（Homography， image warping), 以有限差分代替微分，可作類似分析。H: 像素（x,y)->像素(u,v)u=u（x,y) v=v(x,y)則其Jacobian為 u'(x) u'(y) v'(x) v'(y)反映了局部圖像的變形程度。最理想的情況 u'(x)=1,v'(y)=1,u'(y)=0,v'(x)=0.說明圖像維持原狀。由于 dudv=|det(Jacobian(x,y)|dxdy （此式的有效性可參考換元

20、法）注：有的書上稱det(Jacobian(x,y)）為Jacobian.說明面積微元改變的程度由|det(Jacobian(x,y)|決定當(dāng)|det(Jacobian(x,y)|=1時，說明面積不變，當(dāng)|det(Jacobian(x,y)|<1時，說明面積壓縮，出現(xiàn)了像素丟失現(xiàn)象。當(dāng)|det(Jacobian(x,y)|>1時，說明面積擴張，需要進行像素插值。另外，由Jacobian矩陣的特征值或奇異值，可作類似說明。可參考Wielandt-Hoffman定理Hessian矩陣定義在標(biāo)量函數(shù)上，對于矢量函數(shù)，則成為一個rank 3的張量。ls的解釋很好 Jacobian和Hess

21、ian就好比單變量標(biāo)量函數(shù)情況下的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 能很好的概括函數(shù)的極值點和單調(diào)性Hessian矩陣有一個特例是Fisher Information Matrix, 也叫Information Matrix,是對對數(shù)似然函數(shù)的Hessian矩陣 求期望得到的, 衡量了分布中信息量的大小, 在統(tǒng)計中非常有用.雅克比矩陣（Jacobia matrix)以m個n元函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) 為元素的矩陣 如果把原來的函數(shù)組看作由點到點的一個變換T，則在偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的前提之下，u隨x的變化由相應(yīng)的微分方程組來描述。這是一個關(guān)于微分的線性方程組，其系數(shù)矩陣便是雅克比矩陣（J），因而可寫成矩陣形式 正交矩陣 正交

22、矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是正規(guī)矩陣。盡管我們在這里只考慮實數(shù)矩陣，這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，對于復(fù)數(shù)的矩陣這導(dǎo)致了歸一要求。 定義定義 1如果：AA'=E（E為單位矩陣，A'表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”。）或AA=E，則n階實矩陣 A稱為正交矩陣， 若A為正交陣，則滿足以下條件:1) A 是正交矩陣2) AA=E（E為單位矩陣）3) A是正交矩陣4) A的各行是單位向量且兩兩正交5) A的各列是單位向量且兩兩正交6) (Ax,Ay)=(x,y) x,yR正交矩陣通常用字母Q表示。舉例：A=r11 r12 r13;r21 r22 r

23、23;r31 r32 r33則有：r112+r122+r132=r212+r222+r232=r312+r322+r332=1r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質(zhì)正交方陣是歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣。在矩陣論中，實數(shù)正交矩陣是方塊矩陣 Q，它的轉(zhuǎn)置矩陣是它的逆矩陣:，如果正交矩陣的行列式為 +1，則我們稱之為特殊正交矩陣:概述要看出與內(nèi)積的聯(lián)系，考慮在 n 維實數(shù)內(nèi)積空間中的關(guān)于正交基寫出的向量 v。v 的長度的平方是 vv。如果矩陣形式為 Qv 的線性變換保持了向量長度，則所以有限維線性等距同構(gòu)，比如旋轉(zhuǎn)、反射和它們的組合，都產(chǎn)生正交矩陣。反過來也成立:

24、正交矩陣蘊涵了正交變換。但是，線性代數(shù)包括了在既不是有限維的也不是同樣維度的空間之間的正交變換，它們沒有等價的正交矩陣。有多種原由使正交矩陣對理論和實踐是重要的。n×n 正交矩陣形成了一個群，即指示為 O(n) 的正交群，它和它的子群廣泛的用在數(shù)學(xué)和物理科學(xué)中。例如，分子的點群是 O(3) 的子群。因為浮點版本的正交矩陣有有利的性質(zhì)，它們是字?jǐn)?shù)值線性代數(shù)中很多算法比如 QR分解的關(guān)鍵，通過適當(dāng)?shù)囊?guī)范化，離散余弦變換 (用于 MP3 壓縮)可用正交矩陣表示。例子下面是一些小正交矩陣的例子和可能的解釋。恒等變換。旋轉(zhuǎn) 16.26°。 針對 x 軸反射。 旋轉(zhuǎn)反演(rotoinv

25、ersion): 軸 (0,-3/5,4/5)，角度90°。 置換坐標(biāo)軸?；緲?gòu)造低維度最簡單的正交矩陣是 1×1 矩陣 1 和 1，它們可分別解釋為恒等和實數(shù)線針對原點的反射。如下形式的 2×2 矩陣它的正交性要求滿足三個方程 在考慮第一個方程時，不丟失一般性而設(shè) p = cos , q = sin ；因此要么 t = q, u = p要么 t = q, u = p。我們可以解釋第一種情況為旋轉(zhuǎn) ( = 0 是單位矩陣)，第二個解釋為針對在角 /2 的直線的反射。旋轉(zhuǎn) 反射在 45°的反射對換 x 和 y；它是置換矩陣，在每列和每行帶有一個單一的 1(

26、其他都是 0):單位矩陣也是置換矩陣。反射是它自己的逆，這蘊涵了反射矩陣是對稱的(等于它的轉(zhuǎn)置矩陣)也是正交的。兩個旋轉(zhuǎn)矩陣的積是一個旋轉(zhuǎn)矩陣，兩個反射矩陣的積也是旋轉(zhuǎn)矩陣。更高維度不管維度，總是可能把正交矩陣按純旋轉(zhuǎn)與否來分類，但是對于 3×3 矩陣和更高維度矩陣要比反射復(fù)雜多了。例如，和表示通過原點的反演和關(guān)于 z 軸的旋轉(zhuǎn)反演(逆時針旋轉(zhuǎn)90°后針對x-y平面反射，或逆時針旋轉(zhuǎn) 270°后對原點反演)。旋轉(zhuǎn)也變得更加復(fù)雜；它們不再由一個角來刻畫，并可能影響多于一個平面子空間。盡管經(jīng)常以一個軸和角來描述 3×3 旋轉(zhuǎn)矩陣，在這個維度旋轉(zhuǎn)軸的存在是偶然

27、的性質(zhì)而不適用于其他維度。但是，我們有了一般適用的基本建造板塊如置換、反射、和旋轉(zhuǎn)?；咀儞Q最基本的置換是換位(transposition)，通過交換單位矩陣的兩行得到。任何 n×n 置換矩陣都可以構(gòu)造為最多 n1 次換位的積。 構(gòu)造自非零向量 v 的 Householder反射為這里的分子是對稱矩陣，而分母是 v 的平方量的一個數(shù)。這是在垂直于 v 的超平面上的反射(取負(fù)平行于 v 任何向量分量)。如果 v 是單位向量，則 Q = I2vv 就足夠了。Householder 反射典型的用于同時置零一列的較低部分。任何 n×n 正交矩陣都可以構(gòu)造為最多 n 次這種反射的積。

28、Givens旋轉(zhuǎn)作用于由兩個坐標(biāo)軸所生成的二維(平面)子空間上，按選定角度旋轉(zhuǎn)。它典型的用來置零一個單一的次對角線元素(subdiagonal entry)。任何 n×n 的旋轉(zhuǎn)矩陣都可以構(gòu)造為最多n(n1)/2 次這種旋轉(zhuǎn)的積。在 3x3 矩陣的情況下，三個這種旋轉(zhuǎn)就足夠了；并且通過固定這個序列，我們可以用經(jīng)常叫做歐拉角的三個角來(盡管不唯一)描述所有 3×3 旋轉(zhuǎn)矩陣。雅可比旋轉(zhuǎn)有同 Givens 旋轉(zhuǎn)一樣的形式，但是被用做相似變換，選擇來置零 2×2 子矩陣的兩個遠(yuǎn)離對角元素(off-diagonal entry)。性質(zhì)矩陣性質(zhì)實數(shù)方塊矩陣是正交的，當(dāng)且僅當(dāng)

29、它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間 R 的正交規(guī)范基，它為真當(dāng)且僅當(dāng)它的行形成 R 的正交基。假設(shè)帶有正交(非正交規(guī)范)列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒有特殊價值而沒有特殊名字；他們只是 MM = D，D 是對角矩陣。任何正交矩陣的行列式是 +1 或 1。這可從關(guān)于行列式的如下基本事實得出:反過來不是真的；有 +1 行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。對于置換矩陣，行列式是 +1 還是 1 匹配置換是偶還是奇的標(biāo)志，行列式是行的交替函數(shù)。比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在復(fù)數(shù)上可對角化來展示特征值的完全的集合，它們?nèi)急仨氂?復(fù)數(shù))絕對值 1。群

30、性質(zhì)正交矩陣的逆是正交的，兩個正交矩陣的積是正交的。事實上，所有 n×n 正交矩陣的集合滿足群的所有公理。它是 n(n1)/2 維的緊致李群，叫做正交群并指示為 O(n)。行列式為 +1 的正交矩陣形成了路徑連通的子群指標(biāo)為 2 的 O(n) 正規(guī)子群，叫做旋轉(zhuǎn)的特殊正交群 SO(n)。商群 O(n)/SO(n) 同構(gòu)于 O(1)，帶有依據(jù)行列式選擇 +1 或 1 的投影映射。帶有行列式 1 的正交矩陣不包括單位矩陣，所以不形成子群而只是陪集；它也是(分離的)連通的。所以每個正交群被分為兩個部分；因為投影映射分裂，O(n) 是 SO(n) 與 O(1)的半直積。用實用術(shù)語說，一個相當(dāng)

31、的陳述是任何正交矩陣可以通過采用一個旋轉(zhuǎn)矩陣并可能取負(fù)它的一列來生成，如我們在 2×2 矩陣中看到的。如果 n 是奇數(shù)，則半直積實際上是直積，任何正交矩陣可以通過采用一個旋轉(zhuǎn)矩陣并可能取負(fù)它的所有列來生成?，F(xiàn)在考慮 (n+1)×(n+1) 右底元素等于 1 的正交矩陣。最后一列(和最后一行)的余下元素必須是零，而任何兩個這種矩陣的積有同樣的形式。余下的矩陣是 n×n 正交矩陣；因此 O(n) 是O(n+1) (和所有更高維群)的子群。因為 Householder 正交矩陣形式的基本反射可把任何正交矩陣簡約成這種約束形式，一系列的這種反射可以把任何正交矩陣變回單位矩

32、陣；因此正交群是反射群。最后一列可以被固定為任何單位向量，并且每種選擇給出不同的 O(n) 在 O(n+1) 中的復(fù)本；以這種方式 O(n+1) 是在單位球S 與纖維 O(n) 上的叢。類似的，SO(n) 是 SO(n+1) 的子群；任何特定正交矩陣可以使用類似過程通過 Givens 平面旋轉(zhuǎn)來生成。叢結(jié)構(gòu)持續(xù): SO(n) SO(n+1) S。一個單一旋轉(zhuǎn)可以在最后一列的第一行生成一個零，而 n1 次旋轉(zhuǎn)序列將置零n×n 旋轉(zhuǎn)矩陣的除了最后一列的最后一行的所有元素。因為平面是固定的，每次旋轉(zhuǎn)只有一個自由度，就是它的角度。通過歸納， SO(n) 因此有自由度，O(n) 也是。置換矩陣

33、簡單一些；它們不形成李群，只是一個有限群，n! 次對稱群 Sn。通過同類的討論，Sn 是 Sn+1 的子群。偶置換生成行列式 +1 的置換矩陣的子群，n!/2 次交錯群。規(guī)范形式更廣泛的說，任何正交矩陣的效果分離到在正交二維空間上的獨立動作。就是說，如果 Q 是狹義正交的，則你可以找到(旋轉(zhuǎn))改變基的一個正交矩陣 P，把 Q 帶回到分塊對角形式:(n 偶數(shù))， (n 奇數(shù))。 這里的矩陣 R1,.,Rk 是 2×2 旋轉(zhuǎn)矩陣，而余下的元素是零。作為例外，一個旋轉(zhuǎn)塊可以是對角的， ±I。因此如果需要的話取負(fù)一列，并注意 2×2 反射可對角化為 +1 和 1，任何正交

34、矩陣可變?yōu)槿缦滦问? 矩陣 R1,Rk 給出位于復(fù)平面中單位圓上的特征值的共軛對；所以這個分解復(fù)合確定所有帶有絕對值 1 的特征值。如果 n 是奇數(shù)，至少有一個實數(shù)特征值 +1 或 1；對于 3×3 旋轉(zhuǎn)，關(guān)聯(lián)著 +1 的特征向量是旋轉(zhuǎn)軸。數(shù)值線性代數(shù)利益數(shù)值分析自然的利用了正交矩陣的很多數(shù)值線性代數(shù)的性質(zhì)。例如，經(jīng)常需要計算空間的正交基，或基的正交變更；二者都采用了正交矩陣的形式。有行列式 ±1 和所有模為 1 的特征值是對數(shù)值穩(wěn)定性非常有利的。 一個蘊涵是條件數(shù)為 1 (這是極小的)，所以在乘以正交矩陣的時候錯誤不放大。很多算法為此使用正交矩陣如 Householder

35、反射和 Givens旋轉(zhuǎn)。有幫助的不只是正交矩陣是可逆的，還有它的逆矩陣本質(zhì)上是免花費的，只需要對換索引(下標(biāo))。置換是很多算法成功的根本，包括有局部定支點(partial pivoting)的運算繁重的高斯消去法(這里的置換用來定支點)。但是它們很少明顯作為矩陣出現(xiàn)；它們的特殊形式允許更有限的表示，比如 n 個索引的列表。同樣的，使用 Householder 和 Givens 矩陣的算法典型的使用特殊方法的乘法和存儲。例如，Givens 旋轉(zhuǎn)只影響它所乘的矩陣的兩行，替代完全的 n 次的矩陣乘法為更有效的 n 次運算。在使用這些反射和旋轉(zhuǎn)向矩陣介入零的時候，騰出的空間足夠存儲充足的數(shù)據(jù)來重生成這個變換。分解一些重要的矩陣分解(Golub & Van Loan, 1996)涉及到了正交矩陣，包括:QR分解 M = QR, Q 正交，R 上三角。 奇異值分解 M = UV, U 和 V 正交， 非負(fù)對角。 譜分解 S = QQ, S 對稱，Q