現(xiàn)代控制理論與方法概述op lect9變分法

1、最優(yōu)及自適應(yīng)精儀系董景新:62792119(辦):dongjx第九章變分法求最優(yōu)本章從介紹變分法基本概念、變分法解最優(yōu)問(wèn)題出發(fā)，介紹了用變分法求最優(yōu)基本思路和方法。的9.1基本概念9.2用變分法求解最優(yōu)問(wèn)題9.3有約束條件的泛函極值9.4變分法求最優(yōu)9.1基本概念于1697年變分法數(shù)學(xué)家Johan Bernoulli提出的“最速降線問(wèn)題”。設(shè)有不在同一垂線的兩點(diǎn)A和B。有一質(zhì)量為m的球受重力作用沿連接A、B兩點(diǎn)的曲線自由下滑。忽略球和曲線之間的摩擦力，求下滑時(shí)間最短的曲線。Ax(0,0)B(x1, y1)y圖9-1最速降線問(wèn)題如圖9-1選取坐標(biāo)，速度為v，則球從A到B失去的勢(shì)能為mgy,而獲1

2、 mv2得的動(dòng)能為。則有2mgy = 1 mv2v =2gy或2設(shè)曲線弧長(zhǎng)為s,則v = ds =2gydtds =1+ ( dy )2 dx(dx)2 + (dy)2=dx1+ ( dy )2dt = ds =dxdxv2gy設(shè)從A到B的時(shí)間為T(mén)，則1 + ( dy )2 1 + ( y) 2 dxTxxT =dt =dx =11dx2gy2gy000xf ( y, y) dx=10我們稱這種廣義的函數(shù)T是y(x)的一種泛函。再如下圖連接A和B兩點(diǎn)的曲線弧長(zhǎng)問(wèn)題,連接和兩點(diǎn)的曲線弧長(zhǎng) 是曲線函數(shù)y=y(x)的泛函，這里dl 2 = dx2 + dy2(dx)2+ (dy )2dl =1+ y

3、& 2 dxyy(x)B( xb , yb )Dlxl =1+ y& 2 dxb即y* (x)xaA( xa , ya )0x變分法基本問(wèn)題是求泛函的極大值或極小值，是最優(yōu)理論一個(gè)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。泛函是一個(gè)變量或一個(gè)因變數(shù)，它的值依賴于一個(gè)或多個(gè)函數(shù)，它建立了變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。簡(jiǎn)言之，函數(shù)的函數(shù)稱為泛函數(shù)，簡(jiǎn)稱泛函。下式所示性能指標(biāo)是在時(shí)間定義域t0 , t f上的一種目標(biāo)泛函tJ =Lx(t), u(t), tdtft0基本約束條件為受控對(duì)象的狀態(tài)方程x&(t) =f x(t), u(t), t泛函的增量可表示為DJ = J y(x) + dy(x) - J y(x)= L y(x)

4、,dy(x) + R y(x),dy(x)式中dy(x) = y(x) - y0 (x) 宗量y(x)的變分；L y(x),dy(x) dy(x)的線性連續(xù)泛函；R y(x),dy(x) dy(x) 的高階無(wú)窮小量。定義泛函增量的線性主部為泛函的變分，即dJ =L y(x),dy(x)泛函的變分也可定義為dJ = J y(x) + ady(x)aa =0例：求下列泛函的變分J = t fx2 (t)dtt0解：方法1dx(t)ttD=x(t) +dt -2x2 (t)dtJfft0t0dx(t)dt +dx(t)2 dttt2x(t)fft0t0dJ =2x(t)dx(t)dtt則ft0方法2

5、dJ = a Jx(t) + adx(t)a =0t f= ax(t) + adx(t)2 dtta =00t f2x(t) + adx(t)dx(t)dt=a =0t0t2x(t)dx(t)dt=ft0例：求下列泛函的變分xJ =L y(x), y&(x), xdx1x0解：x1dJ =L y + ady, y& + ady&, xdxa =0ax0L y, yL y, y, x, x&xdy +dydx=1&yy&x0y(x), y&(x)這里，泛函的宗量是x則不是。，9.2用變分法求解最優(yōu)問(wèn)題一元函數(shù)求極小值充要條件為d 2dff= 0, 0dx2dx二元函數(shù)求極小值充要條件為ff2f(

6、= 1,2)= 0,= 0, 0i, jx1x2xi x j多元函數(shù)求極小值充要條件為 f tgrad ( f ) = 0, 0x x 泛函極值定理： 若可微泛函Jy(x)在 y0 (x)上達(dá)到極值，則在y=y0 (x)上的變分等于零，即dJ=0多元泛函取極值的必要條件仍然是dJ=0泛函極值的必要條件有以下定理：對(duì)于曲線x(t)，設(shè) x(t0 ) = x0 , x(t f )則使性能泛函=x，tftJ (x) =Lx(t), x&(t), tdtft0取極值的必要條件是x(t)為下面方程的解。L - dL = 0（歐拉方程）xdt x&或其展開(kāi)式L-LLL ddtdx&x -2 - =0x &

7、 xx & dtt x& dtx&x dtL2 L2 L-0 =x即& &xt x( x2)&例：設(shè)受控對(duì)象的微分方程為x& = u邊界條件為x0 , x f，試求極值控制曲線 u* (t)，使下列性能泛函取極小值J (x)t=+ u 2 )dtx2（f0tt=+2) d=tx+&2 u22)x解： () x （x（ff00Ld-=0xdt解得極值曲線為+ x0sinh(t-xsinhtt*fft)=x (sinh t f則極值曲線為- x0cosh(t-xcosht*fft)=u (sinh t f以上極值泛函問(wèn)題可推廣到多變量即向量的情況。例：試求下列泛函的極值曲線J =p+ 2x& 2+

8、 4ux)dt2/ 2(2u&0邊界條件為：p2p2u(0) = 0,) = 1,x(0) = 0,) = -1u(x(解L： = 2 u & 2得歐拉方程+ 2 x&2+ 4 uxL2 L2 L2 L-&-0 =u&2&u &ut u u( u& )&uL2 L22 L-x-0 =x& &t ( x2x)&即u& - x = 0&x& - u = 0解之，得極值曲線為u*x*= sin t= -sin t9.3有約束條件的泛函極值解這類問(wèn)題的思路是應(yīng)用拉格朗日乘子法，將這種有約束條件的泛函極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的泛函極值問(wèn)題。(=f設(shè)多元函y數(shù)存在約束條件n )0= ,=j, 0,xfHu

9、H22t02 u2 u x則J為極小值，u*( t )為最優(yōu)。實(shí)際問(wèn)題中，由于解的唯一性，往往不用去上式，除非問(wèn)題中的最優(yōu)不存在。例：對(duì)于下列問(wèn)題，試求最優(yōu)使J為極小，x & =u)=x( t0x011t= cx+22ud(t0的c常數(shù)）ftt22f0H = 1 u2+ lu解：哈密爾頓函數(shù)2= 0l& = - H伴隨方程x= ( 1 cx2l) = cxxt ft ft f2t f極值條件為 Hu= u + l = 0l = cxt,fu = -l = -cxtf解之，得代入狀態(tài)方程，并據(jù)初始條件求得x(t) = -cxt(t - t0 ) + x0fx0=x據(jù)此，得t f1+ c(tcx0

10、- t)f0因而得u*= -1+ c(t f- t0 )9.4.2末端受約束情況9.4.2.1末端固定情況9.4.2.2末端受約束情況9.4.2.1末端固定情況這里考慮時(shí)變系統(tǒng)、型性能指標(biāo)、t f固定、末端固定情況。設(shè)u(t)為容許，x(t)為對(duì)應(yīng)的軌線。為使u(t)成為最優(yōu)u*( t ) ，x(t)成為最優(yōu)軌線x*( t ，)得必存在一向量函數(shù)（*t)，使（1）x* (t)與（*t) 為以下方程的解x& * (t) = H *& * (t) = - H*xH (x, u, t) = L(x, u, t) +t (t) f (x, u, t)（2）x*( t滿)足端點(diǎn)條件= )t(f，H有穩(wěn)定

11、值xtf（3）對(duì)于最優(yōu)Hu= 0*（4）H沿最優(yōu)軌線的變化可表達(dá)為HtH * (t) = H * (tt) -dtf*ft例：對(duì)于下列問(wèn)題，t f固定，試求最優(yōu)和最優(yōu)軌線，使J為極小x& = u)=ft) =x( t0x00(x1=t2Judtft02解：哈密爾頓函數(shù)1+ luH =u 22l& = - H= 0得x極值條件為 H =+ l=u0 u將u代入狀態(tài)方程后得兩點(diǎn)邊值問(wèn)題-l&=l&0=x( 0 t )=x0 x0t)= tft )=x(-tx解之，得最優(yōu)軌線為 x*(f0-t-tf0x0u*=得最優(yōu)為-tt0f為常數(shù)例：對(duì)于下圖所示系統(tǒng)，欲使系統(tǒng)狀態(tài)1tq（t）w (t)t 從初始

12、狀態(tài)的 10t經(jīng)過(guò)2秒轉(zhuǎn)移到0小，即，使性能泛函最12J =u (t)dt 2min02試求u(t)u(t)q& = ww& = u解：1q + 0uq& = 0即00w1w& q (0) = 1,q (2) = 0w(0)1w(2)0 哈密爾頓函數(shù)H = 1 u 2 +t 01q + 0u00w 12= 1 u 2 + l w + l u122l&1 = - H= 0- l1 l&2l&x 2 l&1= -l1= 0,即Hu= u + l= 0極值條件為2u = -l2解之，得上面5個(gè)方程聯(lián)立求解，并代入邊界條件J,w, l1, l2 , u。據(jù)此可求，即可求出得u* (t) = 3t -

13、72- 7 t 2q *(t) = 1 t 3+ t +124w *(t) = 3 t 2- 7 t +122例：對(duì)于下圖所示系統(tǒng)，欲使系統(tǒng)狀態(tài)q（t） 從初始狀態(tài)的1經(jīng)過(guò)2秒轉(zhuǎn)移到0,而w (2) 自由，使性能泛函最小，即12J =2u(t)dtmin02試求u(t)。u(t)解：q& = ww& = u1q + 0uq& = 0即w& 00w 1 q (0) = 1,q (2) = 0哈密爾頓函數(shù)1q + 0uH = 1 u2 +t 000w12 = 1 u2 + l w + l u122l&1 = - H= 0l& - l x1 l&2 2 得l&1= -l1= 0,Hu= u + l=

14、 0極值條件為2解之，得u = -l2l2 (2) = u(2) = 0(Qw (2)自由)5個(gè)方程聯(lián)立求解，并代入邊界條件， 即可求出J,w, l1 , l2 , u 。據(jù)此可求得u* (t) = 6t -123 t 3- 9 t 2 + t +1q * (t) =168- 9 t +19 t 2w * (t) =164比較上述兩例可見(jiàn)，同一系統(tǒng)終端條件不同，其最優(yōu)解也不同。9.4.2.2末端受約束情況這里考慮時(shí)變系統(tǒng)、復(fù)合型性能指標(biāo)、t f固定、末端受約束情況。設(shè)u(t)為容許，x(t)為對(duì)應(yīng)的軌線。為使u(t)成為最優(yōu)u*( t，) x(t)成為最優(yōu)軌線x*( t )，必存在一向量函數(shù)（

15、*向量，使得t)及一常（1）x* (t) 與（*t)為以下方程的解x& * (t) = H *& * (t) = - H*xH (x, u, t) = L(x, u, t) +t (t) f (x, u, t)（2）x*( t ) （*t及)滿足端點(diǎn)條件,=)g j0K k+nj*=*xxtjft ft f（3）對(duì)于最優(yōu)，H有穩(wěn)定值Hu= 0*（4）H沿最優(yōu)軌線的變化可表達(dá)為Ht( * t)=H*t-H(t)dtf*ft例：系統(tǒng)如下，試求最優(yōu)線，使J為極小和最優(yōu)軌 x&1 = 01 x1 + 0ux&0x01 2 2 )=(x00x(1 +11x2) -1 =()終端狀態(tài)約束曲線為1=1Ju2

16、dt02H = 1 u 2+ l x+ l u解：哈密爾頓函數(shù)1222極值條件H= u + l= 0u2l&1 = - H= 0l& - l x1 2 得l&1 = 0l&2= -l1由狀態(tài)方程，得= x2= ux&1x&2l (1)= n g jK +mu1= l2 (1)n jxtxtj =1ffx1(0) = 0x2 (0) = 0解之并代入邊界條件，得最優(yōu)軌線為- 13+*( =t3 t2tx)114376+*( =t-2tx)t2147- 36+u=*得最優(yōu)為t77例：設(shè)由靜止發(fā)射，其推力為時(shí)間的已知函數(shù)，而推力方向可以。當(dāng)飛行了時(shí)間 t f后，進(jìn)入水平飛行，其高度為h。試求如何推力

17、的方向才能使在給定的 t f、h下水平飛行速度最大（忽略重力作用）。解：該問(wèn)題可抽象為質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題ayvmF0x其運(yùn)動(dòng)方程為(caos b為w水平速度) 為v 垂直速度)(a為& =wy & = vx度)w& =v & =asin b式中a=F/m即 x& 00 x 000010000 y& = 01 y + 0 w& 00 w a cos b 0a sin bv0 v &y(0) = 0,v(0) = 0初始條件為x(0) = 0,w(0) = 0,末端約束條件為g1 (xt, yt, wt, vt) = vt= 0- h = 0fg2 (xtff, ytff, wtff, vtff)

18、= ytf性能指標(biāo)為J = K (xt, vt) = wt, yt, wtfffff則 H = lt (t) f (x, u, t)= lxw + lyv + lwa cos b + lva sin b伴隨方程為l&x 00l& Hy = -= l&w - lx xl& - ly l&y v l&x即= 0,= 0,l&vl&w= -lx ,= -ly 0 0 0 0 g jK= 0 + 0 + vy = vy 2ll=+ 0 vv 1 0 0 1 vv t fjxxj =1t ft f 0即lx (t flw (t fly (t f ) = n y ,lv (t f ) = n v) = 0,) = 1,H= l- b