三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心地向量表示及其性質(zhì)85474

1、實(shí)用文案三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用1. 0是4人3©的重心u OA+OB+OC=0；S y”若O是MBC的重心，則 iSdOc ="岫=了13 故 oa + ob + oc = 0；PGPB ' + PC ') u G 為 &ABC 的重心.2. O是 4ABC 的垂心仁 OA OB = OB OC = OC OA ；若。是MBC （非直角三角形）的垂心，則SZPOC : SZAOC :S AOB = tan A : tan B : tan C故 tanAOA tan BOB tanCOC -0，2- 23. O 是 AABC 的外心。10

2、A |=|0B|=|0C| (或OA =OB- 2=OC )若 0是 MBC 的外心則 Sjoc： Szaoc： S&OB=sinBOC:s崔AOC:sinAOB = sin2A:sin2B:sin2c故 sin2AOA sin2BOB sin2COC = 0OA4. O是內(nèi)心 MBC的充要條件是,AB AC 、()=OB (| AB | ACBA|BA |BC CA CB_J = OC ()=0|BC |CA | CB |引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記 ab,bc,ca的單位向量為ei，e2,e3 ,則剛才。是.*ifcABC內(nèi)心的充要條件可以寫成0A (ei +e3) =O

3、B (ei + e2)= OC (e2 +e3)= 0° 是ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA+bOB+cOC=0。若O是AABC的內(nèi)心，則S &OC : S &OC ; S &OB = a - b ' c故 aOA bOB cOC =減 sinAOA sinBOB sinCOC = 0；| AB|PC + |BC|PA+|CA|PB=0u P 是 AABC 的內(nèi)心;向量M+SC）（八#0）所在直線過 MBC的內(nèi)心（是/BAC的角平 I AB| |AC|分線所在直線）；（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1 . O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上

4、不共線的動(dòng)點(diǎn)POP =OA (lABi +7AC|）,九三b,）則p點(diǎn)的軌跡一定通過 mbc的（AB AC（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槠帐窍蛄緼BAB、一 r、一、一，一的單位向量設(shè)AB與AC方向上的單位向量分別為OP OA = AP ,則原式可化為 AP = Me + e2）,由菱形的基本性質(zhì)知 AP平分/ BAC ,那么在 MBC 中，AP平分/BAC ,則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是 ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，hA hB=hB hC=hC hAu點(diǎn)H是AABC的垂心.由 HA HB -HB HC u HB （HC -HA） =0匕

5、 HB AC =0匕 HB _ AC ,同理HC_lAB, hA _lbc.故H是4人3。勺垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是ABCff在平面上一點(diǎn)，若 PA PB = PB PC = PC PA,則P是ABC勺（D ）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由 PA PB = PB PC得 PA PB PB PC = o .即 PB （PAPC） =o，即PB CA = o則PB _LCA,同理PA_L BC,PC _L AB 所以P為AABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.G是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GA+GB+GC=0u點(diǎn)G是4ABC的重心.:

6、三 E證明作圖如右，圖中GB+GC=GE連結(jié)BE和CE則CE=GB BE=GC BGC劃平行四邊形=D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中 線.將 gB +gC =gE 代入 gA +gB +gC =o,得GA+EG=0=GA = -GE=-2GD ,故G是 ABC勺重心.（反之亦然（證略）例5.P是 ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是AABC的重心u PG=1（PA+PB+PC）.3證明 PG =PA AG =PB BG =PC CG = 3PG =（AG BG CG） （PA PB PC）. G是ABC的重心 /. Ga+GB +Go=0=> ag+Bg+Cg =0, gp3pg = pa+p

7、B + pc由此可得PG=1（PA+PB+PC）.（反之亦然（證略） 3例 6 若 O 為 AABC 內(nèi)一點(diǎn)，OA + OB+OC =0，貝U O 是MBC 的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心 T T T 七口 T T T - y、，皿“小十一E、， 解析：由OA+OB+OC =0得OB+OC = -OA ,如圖以 OB OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則OB+OC=OD ,由平行四邊形性質(zhì)知 OE =1OD , |OA =2OE ,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性 質(zhì)，所以是重心，選D（四）將平面向量與三角形外心結(jié)力考查例 7 若 O 為 AABC 內(nèi)一點(diǎn)，OA=OB=|OC,則 O 是 AAB

8、C 的（）A.內(nèi)心B .外心C .垂心D .重心解析：由向量模的定義知 O到AABC的三頂點(diǎn)距離相等。故 O是AABC的外心 ，選B。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例 8.已知向量 OP1, OP2, OP3 滿足條件 OP1+OP2 +OP3 =0, OP11=| OP21=| OP31=1,求證 PiP2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明 由已知OP1+OP2 =- OP3,兩邊平方得OP1 OP2 =-2,同理 OP2 OP3 =OP3 OP1 = -1 ,2, | PlP2 | = | P2P3 | = | P3P1 |=稟,從而 PiP2P3 是正

9、三角形.反之,若點(diǎn)o是正三角形 PiP2P3的中心，則顯然有OP1+OP2 +OP3 =0且| OP11=| OP21=| OP31.即O是ABCT在平面內(nèi)一點(diǎn)，OR +OP； +OP3 =0 且| op； |二| OP21=| OP31 o 點(diǎn) o是正 rp2P3的中心.Q G H三點(diǎn)共設(shè) A（0,0）、B例9.在 ABC中，已知Q G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： 線，且 QG:GH=1:20【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 （xi,0）、C（X2,y 2） , D E、F分別為 AB BC AC的中點(diǎn),則有：D （包,0）、2Xi X2G（

10、_ xi x2 y2X2 y2E（-7CTb F（V，n） 222 2BC =僅2 -xl）, AH _BC?）.AH =（X2，y4）,QF =（ 3X2（X2 -xi）y2, QF - ACAH *BC =x2（x2 -x；） y2y4 =0x2 x； y2QF *AC =X2（/弓 丫2（葭-丫3） =02y 2標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案QH 三僅2 -x-1, y4 -丫3)=(22x2 -x123x 2(x 2 - x 1) y 2一 瓦 一萬(wàn)QG二(七=(2x 2 -xix1 y2 V)(萬(wàn)/-y3)=(3x2(x2 -x1)6y22x2 -x1""6左)二1(63y2

11、x2(x2-x1) y232x 2 - x 122y23x 2 (x 2 -x 1) y 22y 21- =QH3即 QH =3QG ,故 QG H三點(diǎn)共線，且QG GH=1：例10.若。、H分別是 ABC的外心和垂心.求證著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心 (1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線 (2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一- 離是重心到外心距離的2倍?！蓖庑摹ⅰ皻W拉線”重心、垂心的位置關(guān)系:垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距OH =OA OB OC.證明 若 ABC的垂心為H,外心為0,如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D,連結(jié)AD CD. AD _LAB , CD _

12、LBC .又垂心為 H, AH ±BC , CH 1 AB , .AH/ CD CH/ AD四邊形AHCM平行四邊形，AH =Do =Do +oc ,故 OH=OA+AH=OA 而B+OC.求證 OGOH3“歐拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問題 例11. 設(shè)Q G H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.、一 、 、._一 _一_ _、1 d 1證明 按重心止理 G是 ABC的重/L、u OG =- (OA+OB+OC) 3按垂心定理 OH =OA OB OC由止匕可得 OG=1OH3則G是4ABC的重心.如圖“重心”的向量風(fēng)采【命題1】G是4ABC所在平面上白一

13、點(diǎn)，若 GA + GB + GC = 0,(1).圖圖Op=oa+?.（Ab+AC）,【解析】由 PA PB=PB PC,得PB <PAPC）=0,即7BcA=o,所以7B，C<PC± AbPAX BC . a P是ABC的垂心.如圖.BC上ICI二一.P圖A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)【命題4已知O是平面上一定點(diǎn)P滿足OP =OAAB cosBACACcosC,九w (0, +%,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過4ABC的垂心.【解析】由題意AP=，JAB- AB cos BACAC cosCAC cosC=0,所以AP表小垂直于+-ACBCAB cos BAC cos

14、C=BC'-BC的向量，即P點(diǎn)在過點(diǎn)A且垂直于BC的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的垂心,如圖.“內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】 已知I為ABC所在平面上的一點(diǎn)，且AB=c , AC = b , BC = a .若【命題2 已知O是平面上一定點(diǎn)， A B C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足(o( (0, + g),則P的軌跡一定通過 ABC的重心.【解析】由題意AP=K(AB+AC),當(dāng)九w(o,十餡)時(shí)，由于九湍+戰(zhàn))表示bc邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的重心，如圖.的向量風(fēng)采【命題3】aIA+bIB+cIC =0,則 I 是 ABC 的內(nèi)心.P

15、是4ABC所在平面上一點(diǎn)，若 PA PB=PB PC=pC PA,則P是4ABC的垂心.【解析】圖 ，AlAB+caC=|aCi AB + 向 AC =屈圓.駕V bAB cAC司,AC分別為AB和羨方向上的單位向量,IB = IA AB , IC = IA AC ,則由題意得(a+b+c)lA + bAB+cAC = 0, . 1Al與/ BAC平分線共線，即AI平分/ BAC .同理可證：BI平分NABC , CI平分NACB .從而I是4ABC的內(nèi)心，如圖【命題6已知O是平面上一定點(diǎn)，A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足九w (0, +哈,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過4ABC的內(nèi)心

16、.【解析】 當(dāng)九W(0, +叫時(shí)，7P表示/ BAC的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的內(nèi)心，如圖四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】已知O是 ABC所在平面上一點(diǎn)，若OA2 = OB2 = OC2 ,則 O 是 ABC 的外心.【解析】圖,2圖(7).若 OA =OB2=OC2,則 OA2 =|OB|2=OC , OA = OB = OC ,則 O 是4ABC 的外心，如圖【命題7 已知O是平面上的一定點(diǎn),A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足實(shí)用文案【解析】BC的向量AB十AB cosB_QAC |cosC由于OBF過BC的中點(diǎn),(注意：理由見二、4條解釋,九w

17、 (0,十,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的外心。當(dāng)兒w (0, +9)時(shí),ABACcos B 1 AC表示垂直于cosC),所以P在BC垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的外心，如圖。補(bǔ)充練習(xí)1.已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),。是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足標(biāo)準(zhǔn)文檔OP=- ( -OA + -OB+2OC),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的 322A.AB邊中線的中點(diǎn)C.重心B.D.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)AB邊的中點(diǎn)1. B取AB邊的中點(diǎn) M 則OA + OB=2OM ,由OP30P =3而+2MC, .MP=ZMC,即點(diǎn)P為三角形中3點(diǎn)P不過重心，故選B.11 1=(OA

18、 + OB +2 OC )可行 322AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且2.在同一個(gè)平面上有 AABC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式:2OA + BC2222=OB + CA = OC +2 一 一AB ，則。為MBC的外心B 內(nèi)心重心 D 垂心2.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P 滿足：PA+PB + PC=0 ,則 P 為 AABC 的A3.C外心B 內(nèi)心已知。是平面上C定點(diǎn),重心 D 垂心A B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足:OP =OA + K(AB+AC),則P的軌跡一定通過 ABC的A 外心B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4 .已知 ABC P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)

19、 P滿足:PA.PoPA.PBPB.PCA 外心B 內(nèi)心 C=0,則P點(diǎn)為三角形的重心 D 垂心5 .已知 ABC P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn) P滿足：a PA + b PB + c*PC = 0,則P點(diǎn)為三角形的A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心 2, 2 6 .在三角形 ABC中，動(dòng)點(diǎn) P滿足：CA =CB _2AB,CP,則P點(diǎn)軌跡一定通過 ABC的：（B ）A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心一 一 AB AC - AB AC 17 .已知非零向量ABWAC商足（ 十 ）- BC=0且=-,則 ABC為（）|AB| |AC|AB| |AC| 2A.三邊均不相等的三角形B.直

20、角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形T -K解析：非零向量與滿足（當(dāng)-+-AC-） =0,即角 A的平分線垂直于BC,. AB=AC,又|AB| |AC|AB AC 1-cosA = -AB .&=不,ZA=-,所以 ABC為等邊三角形，選D.|AB| |AC| 238 . MBC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H, OH =m（OA + OB + OC）,則實(shí)數(shù)m=J9 .點(diǎn)O是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 OA OB=OB OC = OC OA ,則點(diǎn)O是AABC的（B ）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）

21、三條高的交點(diǎn)II10 .如圖1,已知點(diǎn)G是AABC的重心，過G作直線與AB, AC兩邊分別交于M N兩點(diǎn)，且7M = xAB ,AN =yAC ,貝U1 +1 =3。x yI證 點(diǎn)G是AABC的重心，知 GA GB GC = O,W -AG (AB-AG) (AC-AG) 二Q有 AG= -(AB +AC)0又M, N, G三點(diǎn)共線(A不在直線MN 3上)，于是存在九，N,使得 AG=?uAM + RAN(且九+ N=1),1有 AG = KxAB + NyAC =-(AB +AC), 3,于是得1+工=3。x y1、課前練習(xí).2 2 . 21.1 已知。是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA =OB =

22、OC，則。是 ABC的A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心1.2 在 abc中，有命題 Ab -Ac =Bc :而+前十班二弓：若（+而初-而）；。，則ABCJ等腰三角形；若AB, AC A 0,則 ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是A、B 、 C 、 D 、例1、已知 ABC中，有：1AB+7AC BC=0和絲坐 = 1,試判斷ABC的形狀。I網(wǎng) kCblABl lACl 2練習(xí)1、已知 ABC中，AB = a, BC=b, B是AABC中的最大角，若a*b<0,試判斷 ABC 的形狀。4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題I_.i 2 I2 I_.i 2 ILI 2 I_.i 2. 2例2、已知O是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 OA +|bc| =同 +|aC=困+|ab|,則。是 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題例3、已知P是 ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)一一 一 AB ACP酒足 OP = OA +九曰+=，九 W(0,"),ABl AC則動(dòng)點(diǎn)P一定過 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心練習(xí)2、已知。為平面