萬有引力天體的運(yùn)動(dòng)

1、§3.6 萬有引力 天體的運(yùn)動(dòng)361、萬有引力任何兩個(gè)物體間存在一種稱為萬有引力的相互作用力。萬有引力是自然界中已發(fā)現(xiàn)的四種相互作用（萬有引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用）之一。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，其大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)距離的平方成反比，方向沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向，其表示式為式中G稱為萬有引力常量，其值為萬有引力公式只適用于質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)物體的幾何線度不能忽略時(shí)，可以把它們分割成線度可略的小部分，兩物體間每一小部分之間的萬有引力的合力便就是兩物體間的萬有引力?？梢宰C明兩個(gè)質(zhì)量均勻的球體之間的引力?？梢杂萌f有引力定律計(jì)算，只是計(jì)算式中的r為兩球心間的距離。質(zhì)

2、量為m的均勻分布的球殼對(duì)球殼外任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力，等于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處于球心處與該質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，它對(duì)球殼內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力則為零。測得的地球表面上物體所受到的重力，是地球?qū)ξ矬w引力的一個(gè)分量，由于地球并不嚴(yán)格是個(gè)球體，質(zhì)量分布也不均勻，加之地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，使得同一物體，在地球表面不同位置處受到的重力略有不同。萬有引力定律的應(yīng)用天體表面的重力加速度g：設(shè)天體質(zhì)量為M且均勻分布，天體為圓球體且半徑為R，物體質(zhì)量為m，則 故 關(guān)于天體質(zhì)量和平均密度的計(jì)算：設(shè)質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為M的恒星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)的半徑為r，周期為T，由牛頓定律，恒星對(duì)行星的萬有引力就是行星繞恒星作勻速圓周運(yùn)

3、動(dòng)的向心力，故有由此可得恒星的質(zhì)量為設(shè)恒星的球半徑為R，則它的平均密度為這個(gè)公式也適用于衛(wèi)星繞行星作圓周運(yùn)動(dòng)的情況。如設(shè)近地人造衛(wèi)星的周期為T，因有，上式就可以寫成這就很容易求出地球的平均密度了。362、天體的運(yùn)動(dòng)開普勒根據(jù)前人積累的行星運(yùn)動(dòng)觀察資料?？偨Y(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的三定律開普勒三定律。第一定律：行星圍繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。圖3-6-1第二定律：行星與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。下面舉一個(gè)例子詳加說明：為用數(shù)學(xué)式子表述第二定律，設(shè)徑矢r在時(shí)間內(nèi)掃過的面積為，則面積速度為，由圖3-6-1可知，故面積速度為常量式中v為行星運(yùn)動(dòng)的線速度，為徑矢r與速度v方向之

4、間的夾角。當(dāng)行星位于橢圓軌道的近日點(diǎn)或遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，速度v的方向與徑矢r的方向垂直，即=90º，故第三定律：各行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期平方與軌道半長軸立方的比值相同，即開普勒定律不僅適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)。也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)半長軸a與半短軸b相等時(shí)，橢圓成為圓。由開普勒第二定律可知，圓軌道運(yùn)動(dòng)必為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力。對(duì)于繞地球作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，由牛頓第二定律和萬有引力定律可得根據(jù)地球表面物體重力與引力的關(guān)系R為地球半徑衛(wèi)星速率為對(duì)于貼著地球表面運(yùn)行的衛(wèi)星。這就是第一宇宙速度，也就是發(fā)射衛(wèi)星必須具有的最小速度利用能量關(guān)系，可求出從地球表面發(fā)射的宇宙飛般，為

5、能掙脫地球引力的束縛，其發(fā)射速度必須滿足稱為第二宇宙速度。下面舉一個(gè)例子詳加說明：新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10km。學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn)。當(dāng)把試驗(yàn)用的樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變，試求這個(gè)行星表面處的自由落體加速度。已知萬有引力常數(shù)為 。解1：如圖3-6-2以R表示此星球（包括水層）的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表層海洋的深度，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)A到星球中心O的距離，表示除表層海洋外星球內(nèi)層的半徑。則有，且，以表示水的密度，則此星球表層海洋中水的總質(zhì)量為由于，故式可略去其

6、中h的高次項(xiàng)面是近似寫為根據(jù)均勻球體表面處重力加速度的公式，可得此星球表層海洋的底面和表面處的重力加速度分別為R0RrAOh圖3-6-2依題述有,即整理上式可解得由于，故近似取2Rh-,則式可寫為由和式得此星球表面的重力加速度為以G=、代入式，得解2：設(shè)行星的內(nèi)層（即半徑為的球體部分）的平均密度為，則可將該半徑為的球體視為由一個(gè)均勻的水球（密度為、半徑為）和一個(gè)密度為半徑為的球疊加而成。則在水球殼層內(nèi)的重力加速度應(yīng)由這兩個(gè)球分別產(chǎn)生的加速度疊加而成。如圖3-6-2，對(duì)于水球殼層中的任一點(diǎn)A，以表示上述水球在該處形成的重力加速度，則有由上式可見，隨r的增加而增加，當(dāng)r增加為r+r時(shí)，的增加量為又以表示上述的密度為的球在A點(diǎn)產(chǎn)生的重力加速度，則有由上式可見，隨r的增加而減少，當(dāng)r增加為r+r時(shí)，的增加量（為一負(fù)值，表明其實(shí)際上是減少）為