Leslie人口模型及例題詳解

1、(1)(2)Leslie人口模型現(xiàn)在我們來建立一個簡單的離散的人口增長模型,借用差分方程模型,僅考慮女性人口的開展變化.如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的兩組,那么人口的年齡結(jié)構(gòu)無法刻劃,因此必須建立一個更精確的模型.20世紀40年代提出的Leslie人口模型,就是一個預(yù)測人口按年齡組變化的離散模型.模型假設(shè)(1)將時間離散化,假設(shè)男女人口的性別比為1:1,因此本模型僅考慮女性人口的開展變化.假設(shè)女性最大年齡為S歲,將其等間隔劃分成m個年齡段,不妨假設(shè)S為m的整數(shù)倍,每隔S/m年觀察一次,不考慮同一時間間隔內(nèi)人口數(shù)量的變化；(2)記小為第i個年齡組t次觀察的女性總?cè)藬?shù),記n(t)=ni(

2、t),n)2(t),nm(t)第i年齡組女性生育率為bi(注：所謂女性生育率指生女率),女性死亡率為可,記S=1di,假設(shè)bi,di不隨時間變化(3) 不考慮生存空間等自然資源的制約,不考慮意外災(zāi)難等因素對人口變化的影響(4)生育率僅與年齡段有關(guān),存活率也僅與年齡段有關(guān).建立模型與求解根據(jù)以上假設(shè),可得到方程mn1(tD二,bini(t)i1q書(t+1)=sn(t)i=1,2.,m-1寫成矩陣形式為n(t1)-Ln(t)'blb2bm4bm,A000其中,L=0s200a+.,m1<00sm=0記n(0)=必(0),1(0),nm(0)假設(shè)n(0)和矢I陣L已經(jīng)由統(tǒng)計資料給出,

3、那么n(t)=L%(0),t=0,1,2,|為了討論女性人口年齡結(jié)構(gòu)的長遠變化趨勢,我們先給出如下兩個條件：(i) Si>0,i=1,2,ml;(ii) b>0,i=1,2,m且bi不全為零.易見,對于人口模型,這兩個條件是很容易滿足的.在條件(i)、(ii)下,下面的結(jié)果是成立的：定理1L矩陣有唯一的單重的正的特征根工=及,且對應(yīng)的一個特征向量為n*=1,S1/0J),S1s2/入0,S1S2Sm1/,jm/(3)定理2假設(shè)'是矩陣L的任意一個特征根,那么必有|尢|船.定理3假設(shè)L第一行中至少有兩個順次的bi,bT>0,那么(i)假設(shè)L是矩陣L的任意一個特征根,那么

4、必有|九1<加.(ii)limn(t)/尤=cn*,(4)t-.：其中c是與n(0)有關(guān)的常數(shù).定理1至定理3的證實這里省去.由定理3的結(jié)論知道,當(dāng)t充分大時,有n(t)-Con*(5)定理4記電=Rs1s21HS,q(K)=Pi/九+P2/7+Pm/,那么人是L的非零特征根的充分必要條件為q(九)二1(6)所以當(dāng)時間充分大時,女性人口的年齡結(jié)構(gòu)向量趨于穩(wěn)定狀態(tài),即年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定形態(tài),而各個年齡組的人口數(shù)近似地按九1的比例增長.由(5)式可得到如下結(jié)論：(i) 當(dāng)>>1時,人口數(shù)最終是遞增的；(ii) 當(dāng)入<1時,人口數(shù)最終是遞減的；(iii) 當(dāng)=1時,人口數(shù)是穩(wěn)定

5、的.根據(jù)(6)式,如果九二1,那么有bl+b2S1+b3S1S2+bnS1S2-Sm-1=1記R=bl+b2Sl+b3SlS2+bmSlS2Sm-1R稱為凈增長率,它的實際含義是每個婦女一生中所生女孩的平均數(shù).當(dāng)R>1時,人口遞增；當(dāng)代1時,人口遞減.LeSlie模型有著廣泛應(yīng)用,這里我們給出一個應(yīng)用的例子,供大家參考.公園大象治理南非的一家大型自然公園放養(yǎng)了大約11000頭大象,治理部門希望為大象創(chuàng)造一個健康的生存環(huán)境,將大象的總數(shù)限制在11000頭左右.每年,公園的治理人員都要統(tǒng)計當(dāng)年大象的總數(shù).過去20年里,公園每年都要處理一些大象,以便保持大象總數(shù)維持在11000頭左右,通常都是

6、采用捕殺或者遷移的方法來實現(xiàn).統(tǒng)計說明,每年約處理600-800頭大象.近年來,公眾強烈反對捕殺大象行為,而且即使是遷移少量的大象也是不允許的.但是一種新的給大象打避孕針的方法也被研制成功.一只成年母象打了避孕針后,兩年內(nèi)不再懷孕.公園有一些關(guān)于大象的資料,供建模參考：1幾乎不再遷入或遷出大象；2目前性別比接近1:1,采取限制后,也希望維持這個比例；3初生象的性別比也是大約1:1,生雙胎的比例為1.35%4母象初次懷孕大約在10-12歲,一直到60歲大約每3.5年懷胎一次,60歲后不再受孕,懷孕期為22個月；5避孕針可能引起大象每個月都發(fā)情,但不受孕,由于大象通常每3.5年生育1次,所以按月循

7、壞的方案是缺乏取的；6避孕針對母象沒有副作用,打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；7初生象存活到1歲的比例為70%-80%此后,直至60歲前,存活率都比擬均勻,大約在95%以上,大象一般只活到70歲；8公園里不存在捕殺行為,偷獵可以不考慮；公園治理部門有一份過去兩年移出公園大象的粗略統(tǒng)計,不幸的是沒有捕殺或公園大象的具體數(shù)據(jù)；你的任務(wù)是,構(gòu)造一個模型,利用模型研究如何采用避孕舉措限制公園大象的總數(shù).同時需要完成以下任務(wù)：1建立并利用*II型推算2-60歲大象可能的存活率,以及目前的大象年齡結(jié)構(gòu)；2估計每年需要避孕多少大象,才能保證大象總數(shù)限制在11000頭左右,說明數(shù)據(jù)不確定性對你的結(jié)論的影響,評

8、價一下年齡結(jié)構(gòu)的變化以及對旅游的影響,你可能被要求觀察30-60年；3假設(shè)每年可以移出50-300頭大象,避孕大象數(shù)可以減少多少,評價如何根據(jù)經(jīng)濟效益平衡兩種方案；4有一些反對觀點認為,假設(shè)出現(xiàn)疾病或者失控的偷獵,使大象總數(shù)忽然大幅度下降,即使停止避孕,也會對大象群的恢復(fù)存在不良影響,研究并答復(fù)這個問題；5公園公治理部門正在構(gòu)造模型,特別希望批駁那些以缺乏完整數(shù)據(jù)為由而嘲笑利用模型指導(dǎo)決策的觀點.希望你的模型包括一份技術(shù)報告能給公園治理部門提一些建議,提升公園管理部門的信心,除此之外,你的報告,還應(yīng)該包括一個詳細的技術(shù)流程最多3頁答復(fù)公共關(guān)心的問題.6假設(shè)非洲其它公園對你的模型感興趣,有意利用

9、你的模型,請為公園大象數(shù)在300-25000頭規(guī)模的公園提供一份避孕方案,順便考慮一下存活率稍有不同或者可以有遷移的情況附過去兩年的遷出數(shù)據(jù)年齡0123456789總量1103777170686158515251母象150364129313028242229總量298746961605452595857母象257343329342827312525年齡10111213141516171819總量151505148474948474342母象127272627262528271925總量260636460635952554950母象226363830333424302130年齡202122232

10、42526272829總量142373941424345484947母象118161924172521262927總量253576553565053494340母象229274023292421262416年齡303132333536373839總量46424444464947484641母象24222022242423252124總量38353733203330292926母象17161818151812171613年齡40414243444546474849總量141424338343433303526母象124192620201516132011總量2102425222122112121

11、19母象261114101012811129年齡50515253545556575859總量1211814597母象11098444總量215510976母象2645442年齡606162686970總量1432213母象1211103總量2230202母象22100016044303254703240636465666702102001020100001000假設(shè)與分析大象性別比接近1:1,初生象的性別比也是大約1:1,采取限制后,也希望維持這個比例；2過去兩年遷出的大象是隨機抽樣,其結(jié)構(gòu)反映了象群總體的年齡結(jié)構(gòu)；3避孕是隨機的,母象是否避孕是不可識別的,假設(shè)各個年齡的母象是等比例避孕的,比

12、例系數(shù)為k,僅通過調(diào)節(jié)k來限制公園大象數(shù)量；4母象初次懷孕大約在10-12歲,簡化假設(shè)大象初孕時間為11歲,當(dāng)前狀態(tài)下,成年象的成活率為s,生育母象率為r,老年象的成活率是線性逐漸遞減的,因此其成活率可表示為si=s(70-i)/10,(60Mi£70)設(shè)初生象活到1歲的存活率為s0O5避孕針對母象沒有副作用,打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；且無論打避孕針前母象是否懷孕,一旦打了避孕針,母象就被避孕或中止懷孕,平均每年有尸比例的母象處于避孕狀態(tài)；每年母象的避孕率為n,每年的避孕方案時瞬時完成的.6假設(shè)大象的年齡結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的.數(shù)據(jù)處理與分析(1)2-60歲大象的存活率與年齡結(jié)構(gòu)母象生育

13、率為r=1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448頭/年12歲的母象生育母象的生育率為r/6.由題設(shè)知道存活率sw(0.95,0.99).以下是第一年遷移出0至70歲大象數(shù)據(jù)x1=103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4,4,4,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2;以下是第二年遷移的0

14、-70歲大象數(shù)據(jù)x2=98,7469616054525958576063646063595255495053576553565053494340383537332033302929261024252221221121211915510976547023020201000;x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y1=503641293130282422292727262726252827192518161924172521262927242220222424232521242419262020151613201110984443032;以下是第二年遷移

15、的0-59歲母象數(shù)據(jù)y2=57343329342827312525263638303334243021302927402329242126241617161818151812171613611141010128111296454423240;考慮到有些數(shù)據(jù)較小及抽樣的隨機性,我們?nèi)纱纬闃拥钠骄底鳛榉治龅母緮?shù)據(jù).t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9672t1=x1(12:21);t2=x2(12:21);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt

16、(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9820t1=x1(12:31);t2=x2(12:31);tt=t1+t2;tt1=tt(1:19);tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9859t1=x1(12:41);t2=x2(12:41);tt=t1+t2;tt1=tt(1:29);tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9765t1=x1(12:51);t2=x2(12:51);tt=t1+t2;tt1=tt(1:39);tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1;mean(tn)

17、ans=0.9771t1=x1(12:60);t2=x2(12:60);tt=t1+t2;tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9719n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;endn1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1;N1=n1(12:50);xx=x(12:50);xx=100*xx/norm(xx,1);N1=100*N1/norm(N1,1);圖1')t=1:39;plot(t

18、,N1,t,xx);axis(10,40,0,5);title('43.532.521.510.5010152025303540通過以上分析大致可以得到,1-60歲大象的存活率約為0.98.0-70歲年齡結(jié)構(gòu)向量見圖2.y0=100*x0/norm(x0,1);a=0:70;bar(a,y0,'stacked');title('圖2')下面我們?nèi)0=0.75,&=s2=0.98.m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.029;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;endm1;for

19、i=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);endm1;m1=100*m1/norm(m1,1);bar(a,m1,'stacked');title('圖3穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu))plot(a,m1,'r-',a,y0,'b-.');title('圖4年齡結(jié)構(gòu)當(dāng)前狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)比擬)圖4年齡結(jié)構(gòu)當(dāng)前狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)比較7polyfit(y0,m1,1)ans=0.1981-0.0694從所給的數(shù)據(jù)來看,象群的年齡結(jié)構(gòu)還沒有到達相對穩(wěn)定的狀態(tài).根據(jù)以上數(shù)據(jù),大體可以得到l=zeros(71,71);l(1,13)=0.

20、1448/6;l(2,1)=0.75;fori=14:61l(1,i)=0.1448;endl;forj=3:61l(j,j-1)=0.98;end;l;fork=62:71l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;endl;eig(l);矩陣的唯一正特征值為1.0322.對于不同的存活率,得到的唯一正特征值為：s0=0.75,s=0.97,p=1.023;s0=0.75,s=0.98,p=1.0322;s0=0.75,s=0.99,p=1.042.下面我們估計每年處于避孕狀態(tài)母象的比率不.此時,女性生育率為0.1448(1-).記s0=0.75,3=s=0.98-13-0.1

21、448(1-)s0s11/6,-i-0.1448(1-)s0s1111|s2J2(14<i<61)由(6)式得q(1)=-13-14-IH-61=1解得11-二48二0.376,1=0.6240.1448s0sl1/6.(1-s)/(1-s2)1-1/(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98-0.98A49)/0.02)ans=0.6240即每年應(yīng)該有62.4%的母象處于避孕狀態(tài).為了保證有62.4%的母象處于避孕狀態(tài),下面分析每年應(yīng)該打避孕針母象的比例n.在假設(shè)3和假設(shè)5的前提下,如果每年打避孕針母象比例為no母象可以分成3類：即當(dāng)年被打避孕針而上一年沒有被

22、打避孕針或上一年被打避孕針而本年沒有被打避孕針,比例為2n(1_4)；連續(xù)兩年被打避孕針M；連續(xù)兩年沒有被打避孕針.只有最后一類母象具有生育水平.因此,只需要“滿足方程=2(1-)21-sqrt(0.376)ans=0.3868ans=0.38680.3868*5500ans=2.1274e+003解得ti=0.387,即每年大約需要給2127頭母象打避孕針.在方案實施過程中,實際上根本不需要打這么多針,由于許多小象還是可以識別的.可以采取隨機抽樣的打針方式,對于抽到的小象只計數(shù)不打針,直至計滿2127頭母象,就算完成當(dāng)年任務(wù).采取打避孕針的方案對象群的年齡結(jié)構(gòu)是由一些影響的,下面給出了打與不

23、打避孕針情況下穩(wěn)定的象群年齡結(jié)構(gòu)與各你阿爸年齡段象群數(shù)的比擬.m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322;end;m1;fori=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end;m1;n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;end;n1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end;n1;subplot(1,2,1)a=0:70;plot(a,m

24、1,'r-',a,n1,'b-');title('圖5年齡結(jié)構(gòu)比擬');axis(0,70,0,1);M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1);a=0:70;subplot(1,2,2)plot(a,M1,'r-',a,N1,'b-')title('圖5各年齡段大象數(shù)比擬圖')250200150圖5年齡結(jié)構(gòu)比擬1axis(-0,70,0,300)0.90.80.70.60.50.40.30.20.102040600通過以上兩個圖的比擬,可以發(fā)現(xiàn)采取避孕舉

25、措,將使幼象、小象數(shù)減少,中老年象數(shù)增加.由于采取避孕舉措,使得初生小象數(shù)減少,因此會不可防止地引起象群年齡結(jié)構(gòu)的改變,下面分析,15年、30年、60年后的象群年齡結(jié)構(gòu).L=zeros(71,71);L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75;fori=14:61L(1,i)=0.1448*0.376;end;L;forj=3:61L(j,j-1)=0.98;end;L;fork=62:71L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;end;L;eig(L);n15=LA15*x0'n30=LA15*n15;n60=LA30*n30;n15=10

26、0*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);n60=100*n60/norm(n60,1);M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,55*y0)title(,圖6a避孕前種群量分布');axis(0,70,0,250)bar(a,M15)title('圖6b避孕15年后種群量分布');axis(0,70,0,250)bar(a,M30)title('圖6c避孕30年后種群量分布');axis(0

27、,70,0,250)M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,M60)title('圖6d避孕前種群量分布');axis(0,70,0,250)圖6d避孕前種群量分布n70=LA70*x0'n70=100*n70/norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);圖7給出了避孕前后年齡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)的比擬plot(a,k1,'r-',a,n70,'b-.");title(,圖7避孕前后穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)');axis(0,70,0,5)圖7避孕前后穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)5數(shù)據(jù)不確定性對結(jié)果的影響=0.421

28、,二0.579分別取s0=0.7,0.8,、=電=0.95,0.990.1448sos11/6S2(1-s48)/(1-s2)1-1/(0.1448*0.7*0.95A11*(1/6+(0.95-0.95人49)/0.05)ans=0.01151-sqrt(1-0.0115)ans=0.00581-1/(0.1448*0.8*0.99A11*(1/6+(0.99-0.99A49)/0.01)ans=0.74661-sqrt(1-0.7466)ans=0.49660.012,0.757每年需避孕的母象比例為0.6%49.7%.對于每年可以遷移50-300頭大象及s0=0.75,5=s2=0.98

29、,下面分析避孕方案的變化及最經(jīng)濟的方案.設(shè)增長率為p,對于=0.75,G=s2=0.98-3=0.1448(1-)s0s11/6,-i-0.1448(1-)s0s111Hs2,2(14EiE61)q(p)='/p12-14/p13HI-61/p60=1令務(wù)'u、/p,s'1=s,/ps2'=$/pP'13=0.1448(1-')s0'ss；1/6,P14'=0.1448(1-')s0'(s')11(s')2-42(14<i<61)q(p)''''13

30、9;-'14IH-61=11-=111480.1448s'0s'11/6+s2(1-s2)/(1-s'2)當(dāng)p=1.01,每年的避孕率為28.2%,每年遷出110頭；當(dāng)p=1.02,每年的避孕率為16.8%,每年遷出220頭；當(dāng)p=1.025,每年的避孕率為11.3%,遷出275頭.1-1/(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98-0.98人49)/0.02)ans=0.62401-sqrt(0.376)ans=0.3868p=1.01;1-pA12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).A49)/(1-0.98./p)ans=0.48481-sqrt(0.5152)ans=0.2822p=1.02;1-p.A12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans=0.30801-sqrt(0.692)ans=0.1681p=1.025;1-p.A12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans=0.20361-sqrt(0.7864)ans=0.1132進一步分析可以知道,