不定積分解題方法及技巧總結(jié)

1、不定積分解題方法及技巧總結(jié)J不定積分解題方法總結(jié)不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中,不定積分是定積分、二重積分等的根底,學(xué)好不定積分十分重要.然而在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循.本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過程中對不定積分解題方法的歸納和總結(jié).關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣,變幻莫測,但并不是毫無解題規(guī)律可言.本文所總結(jié)的是一般規(guī)律,并非所有相似題型都適用,具體情況仍需要具體分析.1.利用根本公式.這就不多說了2.第一類換元法.湊微分設(shè)fH具有原函數(shù)Fpi.那么其中.x可微.用湊微分法求解不定積分時,首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù),尋找導(dǎo)數(shù)項內(nèi)容,同時為下一步積分

2、做準(zhǔn)備.當(dāng)實在看不清楚被積函數(shù)特點時,不妨從被積函數(shù)中拿出局部算式求導(dǎo)、嘗試,或許從中可以得到某種啟迪.如例1、例2：jJndx_一j0n(x+1)-inA)J(ln(x+1)-Inx)=一;(ln(x+l)-lnx)2+C1+InxtTCIX(xlnx)【解】【解】xlnx=l+lnx3 .第二類換元法：設(shè)x是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù),并且9.工.,又設(shè)/SQ“具有原函數(shù),那么有換元公式【解】【解】(ln(x+l)-lnxy=-1x(x+l)(Inarcsinx)Pm(aAxSinx)第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式.常見的變換形式需要熟記會用.主要有以下幾種：(7)當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)單項式或多項

3、式時一般用2代去根號.但當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)高次黑時可能保存根號,(7)當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)單項式或多項式時一般用2代去根號.但當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)高次累時可能保存根號,4 .分部積分法.公式：J/A/V=/V-分部積分法采用迂回的技巧,躲避難點,挑容易積分的局部先做,最終完成不定積分.具體選取4、時,通?；谝韵聝牲c考慮：(1)降低多項式局部的系數(shù)(2)簡化被積函數(shù)的類型舉兩個例子吧!x-arccosAf=dx【解】【解】觀察被積函數(shù),選取變換/=arcco&,那么例4：jarcsin2xdxarcsin2xdx=xsin2x-fx2arcsinxdxJ上面的例3,降低了多項式系數(shù)；例4,簡化了被積函數(shù)的類

4、型.有時,分部積分會產(chǎn)生循環(huán),最終也可求得不定積分.在4、V的選取有下面簡單的規(guī)律：將以上規(guī)律化成一個圖就是：【解】【解】但是,當(dāng)=lnx,i/=arcsinx時 是無法求解的.對于3情況,有兩個通用公式：分部積分法用處多多在本冊雜志的?涉及的不定積分?中,?？梢钥吹椒植糠e分5不定積分中三角函數(shù)的處理L分子分母上下同時加、減、乘、除某三角函數(shù).令=cosx,那么為2.只有三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系,注意sin?x+cos2.Y=1的使用.三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系.被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難,適當(dāng)?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題的思路變得清楚.3 .函數(shù)的降次形如Jsin

5、xcosx必的積分m,n為非負(fù)整數(shù)當(dāng)m為奇數(shù)時,可令u=cosx,于是Jsinxcosxdx=1sin-1xcosxdcosx=-J1-undu,轉(zhuǎn)化為多項式的積分當(dāng)n為奇數(shù)時,可令=sinx,于是Jsinxcosxdx=Jsinxcos-1xdsinxj/戶du,同樣轉(zhuǎn)化為多項式的積分.當(dāng)m,n均為偶數(shù)時,可反復(fù)利用以下三角公式：不斷降低被積函數(shù)的靠次,直至化為前兩種情形之一為止.形如Jtanxdr和Jcotxdr的積分(n為正整數(shù))令=tanxdx,那么x=arctanu,dx=.f從而1+1X+cos-Xdx上下同乘sinx變形為已轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分.類似地,fCOf7%心可通過代換U

6、=cotX轉(zhuǎn)為成有理函數(shù)的積分.3形如jsec和Jcsd才心的積分(n為正整數(shù))當(dāng)n為偶數(shù)時,假設(shè)令=tanX,那么x=arctanu,假設(shè)=一,于是1+u已轉(zhuǎn)化成多項式的積分.類似地,Jcsdx公可通過代換=cotx轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分.當(dāng)n為奇數(shù)時,利用分部積分法來求即可.4.當(dāng)有x與三角函數(shù)相乘或除時一般使用分部積分法.5 .幾種特殊類型函數(shù)的積分.(1)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)學(xué)1先化為多項式和真分式與W之和,再把2分解為假設(shè)干QMQM.(幻個局部分式之和.(對各局部分式的處理可能會比擬復(fù)雜.出現(xiàn)時,記得用遞推公式：J(a2+x2),=x2-3)H-2a2(n-1)(x2+a2)n-1+

7、2a2(n-i)l1.有理真分式化為局部分式之和求解簡單的有理真分式的拆分注意分子和分母在形式上的聯(lián)系此類題目一般還有另外一種題型：2.注意分母(分子)有理化的使用例5：Jx6+x4-4x2-2丁(r+1)2-dx【解【解】x6+x4-4x2-2_x6+x44x2+2_x4x2+2x3(x2+1)2xx2+1)2x3(x2+1)2x2+1x3(x2+1)2故不定積分求得.(2)三角函數(shù)有理式的積分sinx=萬能公式：cosx=2tan21+tan2-21-tan221+tan2-2：(sinucosx)八可用變換=tan：化為有理函數(shù)的積分,但由于計算較J(2(sinx.cosx)2煩,應(yīng)盡量

8、防止.對于只含有tanx(或cotx)的分式,必化成EE或3.再用待定系數(shù)cosxsinx+例S-)來做.(注：沒舉例題并不代表不重要acosx+bsinx)(3)簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式.像一些簡單的,應(yīng)靈活運用.如：同時出現(xiàn)和萬7時,可令x=；同時出現(xiàn)五和Jl-x時,可令x=sin；同時出現(xiàn)Jl-i和arcsinx時,可令x=sint；同時出現(xiàn)Jl-x?和arccosjv時,可令x=cost等等.(4)善于利用屋,由于其求導(dǎo)后不變.這道題目中首先會注意到xej由于其形式比擬復(fù)雜.但是可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)后為1+才產(chǎn)與分母差二,另外由于/求導(dǎo)后不變,所以容易想到分子分母

9、同乘以e(5)某些題正的不行倒著來這道題換元的思路比擬奇特,一般我們會直接使用=sinx,然而這樣的換元方法是解不出此題的.我概括此類題的方法為“正的不行倒著來當(dāng)u=sinx這類一般的換元法行不通時嘗試下L=sinx.這種思路類似于證U明題中的反證法.(6)注意復(fù)雜局部求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)注意到：=-2d,)-t-3Int+c=ln(lnx2(lnx)3e*rj-InJV-3InInAT+c此題把被積函數(shù)拆為三局部：片,兀,打,匕的分子為分母的導(dǎo)數(shù),匕的值為1.%的分子為分母因式分解后的一局部.此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多,一般在競賽中出現(xiàn).對于J1(占+bx+c)dx(a黃0)型積分,考慮=b-4ac的符號來確定取不同的變換.如果(