微積分下冊主要知識點(diǎn)

1、第一換元積分法(湊微分法)g (x) (x)dx g(u)du F(u) C F (x) C.、常用湊微分公式1積分類型換兀公式1.f (ax b)dx 1 af (axb)d(axb)(a 0)uax b2.f(x )x1dx1f(x )d(x )(0)ux3.f (In x)2dxxf (ln x)d(lnx)uIn x第4.f(ex)exdxf(ex)dexux e換5.f(ax) a1 dxf (ax)daxInauax元6.f (sin x)cos xdxf (sin x)d sin xusin x積7.f (cos x)sin xdxf (cos x)d cos xucos x分法

2、8.f (tan x)sec2 xdxf (tan x)d tan xutan x9.f(cot x)csc2 xdxf (cot x)d cot xucot x10.f (arcta nx)1 xdxf (arctan x)d(arctan x)uarctan x11.f (arcs inx) 一dxf (arcsi nx)d(arcsin x)arcs in x廠2 xu三、第二換元法f(x)dx f (t) (t)dt F(t) C F (x) C,注：以上幾例所使用的均為三角代換,三角代換的目的是化掉根式，其一般規(guī)律如下當(dāng)被積函數(shù)中含有a) a22x ,可令xasi n t;b).x2

3、a2,可令xata nt;c)x2a2,可令 xa sect.當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時(shí)，常采用倒代換x 1 .t四、積分表續(xù)4.3分部積分法分部積分公式:udv uv vdu(3.1)uv dx uv u vdx(3.2)分部積分法實(shí)質(zhì)上就是求兩函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù) 積函數(shù)?？紤]應(yīng)用分部積分法(其中m,(或微分)的逆運(yùn)算.一般地，下列類型的被 n都是正整數(shù)).n x sinmxnx cosmxnx e sin mxnxe cosmxn mxx enx arcsinmxxn(l nx)xn arccosmxxn arctanmx等.5.1定積分的概念5.2定積分的性質(zhì)兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定:(a)當(dāng) af

4、 (x)dx 0; (b)當(dāng)abaf (x)dx f (x)dx .ab性質(zhì)bf(x)ag(x)dxbf(x)dxabg(x)dx.a性質(zhì)bkf (x)dxabk f (x)dx,a(k為常數(shù)).性質(zhì)bf(x)dx acf(x)dxabf (x)dx .c性質(zhì)b1 dxabdx b a.a性質(zhì)若在區(qū)間a,b上有 f(x) g(x),則bf(x)dxabg(x)dx,a(a b).推論若在區(qū)間ba,b上 f (x) 0,貝Uf (x)dxa0,(a b).推論bf(x)dxab| f (x) | dx (a b).a性質(zhì)6 (估值定理)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則

5、bm(b a)f (x)dx M (b a).a性質(zhì)7 (定積分中值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在 個(gè)點(diǎn)，使bf(x)dx f ( )(b a), (a b).a5.3微積分的基本公式一、引例x二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：(X) f (t)dta定理2若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)x(x) f(t)dta就是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù).f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則三、牛頓萊布尼茲公式定理3若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)b(3.6)f(x)dx F(b) F(a). a公式 (3.4)稱為 牛頓萊布尼茨公式 .5.4 定積分的換元法積分法和分

6、部積分法一、定積分換元積分法定理1設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù) 屈數(shù)x(t)滿足條件:(1) ( ) a, ( ) b, 且 a (t) b ；(2) (t)在,(或,)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有f (x)dxaf (t) (t)dt .(4.1)公式(4.1)稱為定積分的 換元公式 .定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似 . 但是,在應(yīng)用定積分的換元公式時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn):( 1)用 x上限對應(yīng)于上限( 2) 求出(t) 把變量 x 換成新變量 t 時(shí), 積分限也要換成相應(yīng)于新變量 t 的積分限 ,且 , 下限對應(yīng)于下限；f (t) (t)的一個(gè)原函數(shù)原變量 x 的函數(shù) ,而只要把新變

7、量二、 定積分的分部積分法t 的上、(t)后，不必象計(jì)算不定積分那樣再把(t)變換成下限分別代入(t )然后相減就行了 .bb uvbavdua或buv dx auvbab vudx af(x)dxaF(x)|aF() F(a)bf (x)dxF(x)|bF(b)F( )f (x)dxF(x)|F() F()bbf (x)dxlimf (x)dxa0abbf (x)dxalim f (x)dx.0ab udv a5.5 廣義積分一、 無窮限的廣義積分二、 無界函數(shù)的廣義積分5.6 定積分的幾何應(yīng)用般總可按分割、求和、取極限”三個(gè)步驟把所求的量表一、微元法 定積分的所有應(yīng)用問題， 示為定積分的形

8、式 .可以抽象出在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量 U (總量)表示為定積分的方法 微 元法 ，這個(gè)方法的主要步驟如下:(1) 由分割寫出微元 根據(jù)具體問題，選取一個(gè)積分變量，例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a,b，任取a,b的一個(gè)區(qū)間微元x,x dx，求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間微元上部 分量 U的近似值，即求出所求總量 U的微元dU f (x)dx ；(2) 由微元寫出積分根據(jù)dUf(x)dx寫出表示總量U的定積分bbU dU f(x)dxaa微元法在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)和下一節(jié)主要介紹微元法在幾何學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)用微元法解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：

9、(1) 所求總量U關(guān)于區(qū)間a,b應(yīng)具有可加性，即如果把區(qū)間a,b分成許多部分區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量U之和這一要求是由定積分概念本身所決定的；(2) 使用微元法的關(guān)鍵是正確給出部分量 U的近似表達(dá)式f(x)dx，即使得f(x)dx dU U .在通常情況下，要檢驗(yàn) U f(x)dx是否為dx的高階無窮小并非易事，因此，在實(shí)際應(yīng)用要注意 dUf(x)dx的合理性.二、平面圖形的面積(1) 直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積(2) 極坐標(biāo)系下平面圖形的面積1 2曲邊扇形的面積微元dA r( )2d1 2所求曲邊扇形的面積A ( )2d .2三、旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條

10、直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體.這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.旋轉(zhuǎn)體的體積微元dV f (x)2dx,bo所求旋轉(zhuǎn)體的體積V f (x)2dx.a四、平行截面面積為已知的立體的體積：如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算體積微元 dV A(x)dx,b所求立體的體積 V A(x)dx.a5.7積分在經(jīng)濟(jì)分析的應(yīng)用6.1空間解析幾何簡介空間直角坐標(biāo)系在平面解析幾何中， 我們建立了平面直角坐標(biāo)系，并通過平面直角坐標(biāo)系，把平面上的點(diǎn)與有序數(shù)組（即點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）對應(yīng)起來.同樣，為了把空間的任一點(diǎn)與有序數(shù)組對應(yīng)起 來，我們來建立 空間直角坐

11、標(biāo)系過空間一定點(diǎn) 0,作三條相互垂直的數(shù)軸，依次記為x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱為 坐標(biāo)軸它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz （圖6-1-1）.空間直角坐標(biāo)系有右手系和左手系兩種我們通常采用右手系二、空間兩點(diǎn)間的距離IMZ2I .（X2 xj2 （y2 yi）2 億 zj2.三曲面及其方程定義1在空間直角坐標(biāo)系中，如果曲面S上任一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程F（x, y,z） 0,而不在曲面S上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程，貝U方程F（x,y,z） 0稱為曲面S的方程，而曲面S就稱為方程F（x, y,z） 0的圖形空間曲面研究的兩個(gè)基本問題是：（1）已知曲面上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，建立曲

12、面的方程；（2）已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.平面平面是空間中最簡單而且最重要的曲面.可以證明空間中任一平面都可以用三元一次方程Ax By Cz D 0（1.3）來表示，反之亦然.其中A、B、C、D是不全為零常數(shù).方程（1.3）稱為平面的一般方程 柱面定義2平行于某定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的軌跡稱為 柱面.這條定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動直線L稱為柱面的 母線.二次曲面在空間直角坐標(biāo)系中，我們采用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截割曲面，從而得到平 面與曲面一系列的交線（即截痕），通過綜合分析這些截痕的形狀和性質(zhì)來認(rèn)識曲面形狀的 全貌.這種研究曲面的方法稱為平面截割法，簡稱為 截痕法.

13、雙曲拋物面2p 2qz （ p與q同號）X2橢球面 a22yz.22bc1 (a 0,b0,c 0)(1.4)橢圓拋物面2 x z2y_（p與q同號）2p2q2xa2 y b22 zc1 (ao,bo,co)2x2 a2 y b22 zc1 (ao,bo,co)單葉雙曲面雙葉雙曲面2 2 2.次錐面xyz-r 0 (a 0,b 0,c 0) abc6.2多元函數(shù)的基本概念平面區(qū)域的概念：內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域二、二元函數(shù)的概念定義1設(shè)D是平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集，如果對于D內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)，按照某種法則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù) z與之對應(yīng)，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(x

14、,y)處的函數(shù)值 記為f (x,y)，即z f (x, y)，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的 定義域，數(shù)集z|z f (x,y), (x, y) D稱為該函數(shù)的 值域類似地，可定義三元及三元以上函數(shù)當(dāng)n 2時(shí),n元函數(shù)統(tǒng)稱為 多元函數(shù)二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)z f(x, y)在點(diǎn)Po(xo,yo)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無限趨于點(diǎn)P(xo,y)時(shí)，函數(shù)f (x, y)無限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z f(x,y)當(dāng)(x, y)(x, y)時(shí)的極限記為lim f (x, y) A X xoy yo或f(x, y) A (X, y

15、)(xoy。)也記作lim f (P) A 或 f (P) A (PPo)P Po二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在此不再詳述為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim f (x, y) f(xo,y),x xoy yo則稱z f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處連續(xù)如果函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處不連續(xù)，則稱函數(shù)z f(x,y)在(xo, yo)處間斷與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù)y的基本初等

16、函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個(gè)結(jié)論，當(dāng)要求某個(gè)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的極 限時(shí)，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿 足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1 （最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域 D上的二元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得 它的最大值和最小值各一次 定理2 （有界性定理）在有界閉區(qū)域 D上的二元連續(xù)函數(shù)在 D上一定有界定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域 D上的

17、二元連續(xù)函數(shù)，若在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù) 值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法定義1設(shè)函數(shù)z f （x, y）在點(diǎn)（Xo, y。）的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在yo而x在X0處有增量x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f (XoX, yo) f (Xo, yo),f（Xo一f （Xo,yo）存在，則稱此極限為函數(shù)如果limX ox對X的偏導(dǎo)數(shù)，記為z f (X, y)在點(diǎn)(Xo, yo)處例如，有X) yoX Xo y yo,Zx X Xo或fx(Xo, yo).y yofX(Xo,yo)lXmof (Xox, yo)f (Xo, yo)類似地，函數(shù)z f

18、（X, y）在點(diǎn)（Xo, yo）處對y的偏導(dǎo)數(shù)為|im f(xo,y。y) f(xo, y。)y oy記為zy x xo y yoyxxoyozy x xo或y yofy(Xo,yo).上述定義表明，在求多元函數(shù)對某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需把其余自變量看作常數(shù)，然后直接利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來計(jì)算之二、關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，補(bǔ)充以下幾點(diǎn)說明：（1） 對一元函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)dy可看作函數(shù)的微分 dy與自變量的微分dx的商但偏導(dǎo)dx數(shù)的記號是一個(gè)整體x（2） 與一元函數(shù)類似，對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)要利用偏導(dǎo)數(shù)的定義來求(3) 在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們知道，如果函數(shù)在某點(diǎn)存在導(dǎo)

19、數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)但對多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 例如，二元函數(shù)xy0,f (x, y),(x, y) (0,0) y(x,y) (0,0)fx(0,0)f(0x,0)f(0,0)在點(diǎn)(0,0)的偏導(dǎo)數(shù)為fy(0,0)lim 0.X 0 y|im f(0,0y)f(0,0)y 0y但從上節(jié)例5已經(jīng)知道這函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù).三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲面的方程為z f (x,y)，M(x, y。，f(x。，y。)是該曲面上一點(diǎn)，過點(diǎn)M。作平面 y y ,截此曲面得一條曲線，其方程為z f(x,y)y y0則偏導(dǎo)數(shù)fx(x0, y0)表示上述曲線在點(diǎn)

20、M0處的切線M0Tx對x軸正向的斜率(圖6-3-1).同 理，偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)就是曲面被平面x x所截得的曲線在點(diǎn) M處的切線MTy對y軸 正向的斜率四、偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義設(shè)某產(chǎn)品的需求量 Q Q(p, y),其中p為該產(chǎn)品的價(jià)格,y為消費(fèi)者收入.記需求量Q對于價(jià)格p、消費(fèi)者收入y的偏改變量分別為pQ Q(p p, y) Q(p, y),和yQ Q(p,y y) Q(p,y).易見，表示Q對價(jià)格p由p變到pp的平均變化率而p表示當(dāng)價(jià)格為p、消費(fèi)者收入為y時(shí)，Q對于p的變化率稱Epp 0 p/ p為需求Q對價(jià)格p的偏彈性.同理，表示Q對收入y由y變到y(tǒng)y的平均變化率.而yyQy表示當(dāng)價(jià)格p、消

21、費(fèi)者收入為y時(shí),Q對于y的變化率.稱EylimQQy 0 y/yQ _yy Q為需求Q對收入y的偏彈性.五、科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)在商業(yè)與經(jīng)濟(jì)中經(jīng)常考慮的一個(gè)生產(chǎn)模型是科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)p(x,y) cxay1a,c 0 且 0 a 1，其中p是由x個(gè)人力單位和y個(gè)資本單位生產(chǎn)處的產(chǎn)品數(shù)量(資本是機(jī)器、場地、生 產(chǎn)工具和其它用品的成本)。偏導(dǎo)數(shù)上和丄x y分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力六、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)1 fx(x，y)，: fy(x，y)，則在D內(nèi)fx(x, y)和fy(x, y)都是x、y的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱它們 是

22、函數(shù)z f (x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)按照對變量求導(dǎo)次序的不同，共有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):z2z“、z2z2fxx(x, y),fxy(x,y),x xxy xx y72727zzzfyx(X,y),z2fyy(x, y),x yy xy yy其中第二、第三兩個(gè)偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)類似地，可以定義三階、四階、 以及n階偏導(dǎo)數(shù).我們把二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定理1如果函數(shù)z f (x, y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)2 2z及z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則y xx y22在該區(qū)域內(nèi)有zzy xx y6.4全微分一、微分的定義定義1如果函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量z f (x x, y

23、y)f(x,y)可以表示為z A x B y o(),(4.2)其中A,B不依賴于 x, y而僅與x, y有關(guān),.(x)2( y)2,則稱函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分，A x B y稱為函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分，記為dz,即dz A x B y.(4.3)若函數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)各點(diǎn)處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1 (必要條件)如果函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x, y)的偏導(dǎo)數(shù),必存在，且zx yf (x, y)在點(diǎn)(x, y)處的全微分dz x y.x y(4.4)我們知道，一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是

24、在該點(diǎn)可微的充分必要條件但對于多元函數(shù)則不然定理1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件由此可見，對于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微因?yàn)楹瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個(gè)方向的變化情況但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性一般地，我們有：定理2 (充分條件)如果函數(shù)zf (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該x y點(diǎn)處可微分三、微分的計(jì)算習(xí)慣上，常將自變量的增量x、 y分別記為dx、dy，并分別稱為自變量的微分.這樣，函數(shù)z f(x, y)的全微分就表為dz dx dy.x y上述關(guān)于二元函

25、數(shù)全微分的必要條件和充分條件,(4.5)可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)u f(x,y,z)的全微分可表為du dx dy dz.(4.6)xy z四、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)z f(x, y)在點(diǎn)P(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y),fy(x, y)連續(xù)，且| x|,| y|都較小時(shí)，則根據(jù)全微分定義，有z dzzfx(x, y) xfy(x, y) y.由 z f (x x, yy) f (x, y)，即可得到二元函數(shù)的全微分近似計(jì)算公式f (x x, y y) f (x, y)fx(x, y) x fy(x, y) y (4.7)6.5復(fù)合

26、函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一、多元復(fù)合函數(shù)微分法1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù) z f (u, v) ,u u(t),v v(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù) z fu(t),v(t)dzz duz dv.(5.1)dtu dtv dt公式(5.1)中的導(dǎo)數(shù) 蟲 稱為全導(dǎo)數(shù).dt2、復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形f (u,v), u u(x,y), vv(x, y)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)zfu(x,y), v(x, y),zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy(5.3)(5.4)3、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)u u(x, y)在點(diǎn)(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)

27、v v(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)zf (u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z f u(x, y), v(y)在對應(yīng)點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有zzuxuJxzzuz dvyuyv dy(5.7)(5.8)注：這里上與丄是不同的,x x是把復(fù)合函數(shù)zxf u(x, y), x, y中的y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)，丄是把函數(shù)z f (u, x, y)中的u及y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)z與一fxy y也有類似的區(qū)別在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡便起見，常采用以下記號： f(u,v) f(u,v) 2f (u,v)f 1, f2, fi2,uvu v這里下標(biāo)1表示對第一個(gè)變量 u求偏

28、導(dǎo)數(shù)，下標(biāo) 2表示對第二個(gè)變量 v求偏導(dǎo)數(shù)，同理有等等二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，可得到重要的 全微分形式不變性以二元函數(shù)為例，設(shè)z f (u,v), u u(x, y), v v(x, y)是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈?zhǔn)椒▌t，有, z , z , z u zv z u z v .dz dx dydxdyx yu x v xu y v yzu. u. zv. v.dx dydx dyux yvx ydu dv. u v由此可見，盡管現(xiàn)在的 u、v是中間變量，但全微分 dz與x、y是自變量時(shí)的表達(dá)式在形式上完全一致這個(gè)性質(zhì)稱為全微分形式不變性適當(dāng)應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)，會收到很好的

29、效果三、隱函數(shù)微分法在一元微分學(xué)中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程F(x, y) 0(5.11)并通過來求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 這里將進(jìn)一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性, 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法定理4設(shè)函數(shù)F (x, y)在點(diǎn)p(x。，y。)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Fy(Xo,y。) 0, F(xo,yo) 0,則方程F(x,y) 0在點(diǎn)Pgy。)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確 定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y f(x),它滿足y0f (x0),并有dyFxx.(5.12)dxFy定理5設(shè)函數(shù)F (x, y,

30、 z)在點(diǎn)P(x0, y,Z0)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x,y0,z。) 0,Fz(x,y0,z。) 0,則方程F(x, y,z) 0在點(diǎn)p(x。，y,z)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z f (x, y),它滿足條件z0f (x0, y0),并有zFxzFy-,-(5.14)xFzyFz6.6多元函數(shù)的極值及求法一、二元函數(shù)極值的概念定義1設(shè)函數(shù)z f (x,y)在點(diǎn)(X0,y。)的某一鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于(x0, y0)的任意一點(diǎn)(x, y),如果f (x, y)f(X0,y),則稱函數(shù)在(X0,y)有極大值；如果f (x, y)f(x0,y),

31、則稱函數(shù)在(X0,y。)有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為 極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為 極值 占八、-定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)z f (x,y)在點(diǎn)(X0,y。)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(X0,y。)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即fx(X0,y) 0,fy(X0，y) 0.(6.1)與一元函數(shù)的情形類似，對于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的 駐點(diǎn).定理2 (充分條件)設(shè)函數(shù)z f (x,y)在點(diǎn)(X0, y)的某鄰域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 fx(x0,y0 ) 0, fy(x0,y0) 0.令fxx(x0,y0) A, fxy(x0,y0) B, fyy(x0,y0

32、) C. 當(dāng)AC B20時(shí)，函數(shù)f(x,y)在(xo, yo)處有極值，且當(dāng) A 0時(shí)有極小值 f(x0,y0)；A 0時(shí)有極大值 f(x0,y0)；2(2) 當(dāng)AC B20時(shí)，函數(shù)f(x,y)在(xo,yo)處沒有極值；2(3) 當(dāng)AC B 0時(shí)，函數(shù)f(x,y)在(x。，y。)處可能有極值，也可能沒有極值 .根據(jù)定理1與定理2,如果函數(shù)f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求 z f(x, y)的極值的一般步驟為：第一步 解方程組fx(x,y) 0, fy(x, y) 0,求出f (x, y)的所有駐點(diǎn)；第二步 求出函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點(diǎn)處A、 B、 C的值，并根據(jù)AC

33、B2的符號判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)最后求出函數(shù)f (x, y)在極值點(diǎn)處的極值二、 二元函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù) f(x, y )的最大值和最小值的一般步驟為 :(1)求函數(shù)f(x, y)在D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值(2)求f(x, y)在D的邊界上的最大值和最小值 ；( 3)將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較, 其中最大者即為最大值 , 最小者即為最小值 在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f(x, y)的最大值(最小值)一定在 D的內(nèi)部取得，而函數(shù) f (x,y)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的 函數(shù)值就是函數(shù)f(x, y)在D上的最大值(最小值).三、 條件極值 拉

34、格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題, 對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi), 并無其它限制條 件,這類極值我們稱為 無條件極值 . 但在實(shí)際問題中,常會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條 件的的極值問題 . 對自變量有附加條件的極值稱為 條件極值 .拉格朗日乘數(shù)法設(shè)二元函數(shù)f (x, y)和(x, y)在區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求 z f (x, y)在D內(nèi)滿 足條件 (x,y) 0 的極值問題,可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)L(x,y, ) f(x, y)(x,y)其中 為某一常數(shù))的無條件極值問題于是，求函數(shù) z f (x,y) 在條件 (x, y) 0 的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1)

35、 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中 為某一常數(shù) ;(2) 由方程組L(x, y, ) f(x,y)(x, y)Lxfx(x,y)x(x,y) 0,Lyfy(x,y)y(x,y) 0,L(x,y)0解出x, y,其中x, y就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn).注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件 , 因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否 為極值點(diǎn) , 還需要加以討論 . 不過在實(shí)際問題中 , 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求 的點(diǎn)是不是極值點(diǎn) .拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形:四、數(shù)學(xué)建模舉例6.7 二重積分的概念與性質(zhì)一、 二重積分的概念定義 1 設(shè) f (x,y) 是有界閉區(qū)

36、域12其中i 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)i 上任取D 上的有界函數(shù) . 將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域一點(diǎn) ( i, i ), 作乘積f( i, i) i, (i 1,2, ,n)并作和nf( i, i) i,i1如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零時(shí) , 這和式的極限存在 , 則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記為 f(x,y)d ,即 Dnf(x,y)dlim0f( i, i ) i (7.2)D 0i 1其中 f (x,y) 稱為 被積函數(shù) , f(x,y)d稱為 被積表達(dá)式 , d 稱為 面積微元x和y稱為積n分變量 ,D 稱為 積分

37、區(qū)域 , 并稱 f( i, i)i 為積分和 .i12(X) 其中函數(shù)！(X),2(X)在區(qū)間y 軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于2(y) 其中函數(shù)i(x),2(X)在區(qū)間x 軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于y 2(x).(x,y)dy(8.2)( x,y)|a xb, i(x)則有b2 (x)f (x,y)dxdydx 2 fDa i (x)對二重積分定義的說明 如果二重積分f(x,y)d 存在，則稱函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上是可積的.可以證D明，如果函數(shù)f (x, y)區(qū)域D上連續(xù)，則f (x,y)在區(qū)域D上是可積的.今后，我們總假定 被積函數(shù)f (x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的；(2) 根據(jù)定義，如果函數(shù) f (x,y) 在區(qū)域 D 上可積，則二重積分的值與對積分區(qū)域的分 割方法無關(guān)，因此，在直角坐標(biāo)系中，常用平行于x軸和y軸的兩組直線來分割積分區(qū)域D，則除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是