固體物理(2011)第1章晶體結(jié)構(gòu)2倒格子

1、 ninxkekx 212:caseour llRrr 332211alalalRl量子力學如何描述一個自由粒子？2311232aabaaa1231232aabaaa3121232aabaaa根據(jù)原胞基矢定義三個新的矢量根據(jù)原胞基矢定義三個新的矢量 倒格子基矢量倒格子基矢量以以 為基矢構(gòu)成一個倒格子為基矢構(gòu)成一個倒格子321,bbb 倒倒Bravais格子格子倒格子基矢的性質(zhì)倒格子基矢的性質(zhì)2()20()ijijija bij3, 2, 1,ji 倒格子空間是正格子的倒易空間倒格子空間是正格子的倒易空間 332211321321bhbhbhKGhhhhhh 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性

2、晶格具有周期性，一些物理量具有周期性勢能函數(shù)勢能函數(shù)1 12233( )()AAVxVxl al al a勢能函數(shù)是以勢能函數(shù)是以321,aaa為周期的三維周期函數(shù)為周期的三維周期函數(shù)由倒格子基矢由倒格子基矢231123312123123123222aabaaaaabaaaaabaaa)(0)(22jijibaijji332211aaax得到得到 11/2bx22/2bx33/2bx 321332211321,)(2,)(hhhhhhihhheVxV 代入代入原胞里任一點原胞里任一點傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)332211aaax 宗宗 量量)()(332211alalalxVxV晶格周期性函數(shù)晶格周

3、期性函數(shù) 321332211321,)(2,)(hhhhhhihhheVxV 321,hhh為整數(shù)為整數(shù))()(2310210110,332211321xVedddVhhhihhh 321, 積分在一個原胞中進行積分在一個原胞中進行例子？例子？321332211321,)(,)(hhhxbhbhbhihhheVxV得到得到1 2 3123,1231( )h h hiGxh hhVdxeV xa aa1 2 3123123,( )n n niGxh hhh hhV xVe332211321321bhbhbhKGhhhhhh )()()()2(21133233aaaaaa 倒格子與正格子間的關(guān)系倒

4、格子與正格子間的關(guān)系 1) 正格子原胞體積反比于倒格子原胞體積正格子原胞體積反比于倒格子原胞體積 )(*321bbb1a31213112()()aaaaaaa a CBABCACBA)()( 13223)()2(*aaa3(2 )* 3112AaaBaCa2）正格子中一簇晶面正格子中一簇晶面 和和 正交正交 )(321hhh321hhhKijjiba2332211321bhbhbhKhhh 1133/CAahah2233/CBahah 可以證明可以證明1 2 30h h hGCA1 2 30h h hGCB 321hhhG與晶面族正交與晶面族正交晶面方程晶面方程3）倒格子矢量倒格子矢量 為晶面

5、為晶面 的法線方向的法線方向321hhhK)(321hhhnxbhbhbh 2)(332211 各晶面到原點的距離各晶面到原點的距離3322112bhbhbhn面間距面間距1 1223 32dhbh bh b1 2 32/h h hdGijjiba24) 倒格子的倒格子的 “倒格子倒格子” 是什么？是什么？?),(),(),(321321321 cccbbbaaa 由倒格子定義由倒格子定義3213212aaaaab3211322aaaaab3212132aaaaab體心立方格子原胞基矢體心立方格子原胞基矢)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaa倒格子基矢倒格子基矢)(2)(2

6、22321321kjiakjiaaaaaab)()(422kjikjia)(2kja同理同理)(22321132kiaaaaaab)(22321213jiaaaaaab可見由可見由 為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子 321,bbb1.6 如果基矢如果基矢 構(gòu)成簡單正交系構(gòu)成簡單正交系，證明晶面族證明晶面族 的面間距為：的面間距為：并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度比較大，容易解理并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度比較大，容易解理c,b,a)(hkl222)()()(1clbkahd 簡單正交系簡單正交系cbakcaj bai aa321,倒格子基矢倒格子基矢321321

7、2aaaaab3211322aaaaab3212132aaaaabkcbjbbiab2,2,2321倒格子矢量倒格子矢量321b lbkbhK kcljbkiahK 222 晶面族晶面族 的面間距的面間距)(hklKd 2 222)()()(1clbkah 面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越容易解理點的密度越大，這樣的晶面越容易解理倒格子基矢倒格子基矢二維倒格子基矢二維倒格子基矢 布里淵區(qū)布里淵區(qū), 特別是第一布里淵區(qū)（特別是第一布里淵區(qū)（1st BZ） 在倒格子空間把在倒格子空間把原點和原點和所有倒格矢所有倒

8、格矢中中點的垂直平分面畫出，點的垂直平分面畫出，倒格子空間分割為許倒格子空間分割為許多區(qū)域多區(qū)域幾種晶格的布里淵區(qū)幾種晶格的布里淵區(qū) 1) 簡單立方格子簡單立方格子 第一布里淵區(qū)為原點和第一布里淵區(qū)為原點和6個近鄰格點的垂直平分面圍個近鄰格點的垂直平分面圍成的立方體成的立方體kaaj aai aa321,kabjabiab2,2,2321倒格子基矢倒格子基矢正格子基矢正格子基矢 簡單立方格子簡單立方格子 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)2) 體心立方格子體心立方格子 正格子基矢正格子基矢123(),(),()222aaaaijkaijkaijk )(21kjab)(22kiab)(23jiab 倒格子

9、基矢倒格子基矢a4 邊長邊長 的面心立方格子的面心立方格子 第一布里淵區(qū)為原點和第一布里淵區(qū)為原點和12個近鄰格點連線的垂直平分個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體面圍成的正十二面體 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)原點和原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體(菱菱形十二面體形十二面體)3) 面心立方格子面心立方格子123(),(),()222aaaajkakiaij)(21kjiab)(22kjiab)(23kjiab 正格子基矢正格子基矢 倒格子基矢倒格子基矢a4 邊長邊長 的體心立方格子的體心立方格子 第一布里淵區(qū)為原點和第一布里淵區(qū)為原點和8個近個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的八面體，和沿立方軸的6個次近鄰個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體格點連線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的的六個角，形成的14面體面體 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)