巴特沃斯高通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)資料

1、巴特沃斯高通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)要求 ：3dB數(shù)字截止頻率為 c 0.2 rad ，阻帶下邊頻 s 0.05 rad ，阻帶 衰減為 As 48dB 。一、課程設(shè)計(jì)目的：數(shù)字信號(hào)處理( Digital Signal Processing DSP)是 20 世紀(jì) 60 年代以來(lái)， 隨著信息學(xué)科和計(jì)算機(jī)學(xué)科的高速發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興學(xué)科。 數(shù)字信 號(hào)處理是利用計(jì)算機(jī)或其他專(zhuān)用處理設(shè)備，以數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行采集、 變換、濾波、壓縮、傳輸、估值與識(shí)別等加工處理，借以達(dá)到提取信息和便于應(yīng) 用的目的的一種技術(shù)。數(shù)字信號(hào)處理隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)信息技術(shù)的進(jìn)步獲得了飛速的發(fā)展。 數(shù)字信號(hào) 處理已廣泛應(yīng)用于科

2、學(xué)研究和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，是新一代 IT 工程師必須掌 握的信息處理技術(shù)。 它在越來(lái)越多的應(yīng)用領(lǐng)域中迅速替代傳統(tǒng)的模擬信號(hào)處理技 術(shù)，并且開(kāi)辟出許多新的領(lǐng)域。數(shù)字信號(hào)處理有很多深?yuàn)W的數(shù)學(xué)概念， 理論也相對(duì)抽象， 而且是一門(mén)理論與 實(shí)踐密切結(jié)合的課程。 我們通過(guò)課程設(shè)計(jì)深入掌握課程內(nèi)容， 深入理解與消化關(guān) 于巴特沃斯濾波器的基本理論， 鍛煉我們獨(dú)立解決問(wèn)題的能力， 培養(yǎng)我們的創(chuàng)新 意識(shí)，加強(qiáng)我們的實(shí)踐學(xué)習(xí)。二、設(shè)計(jì)原理：1、數(shù)字濾波器所謂數(shù)字濾波器， 是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)， 通過(guò)數(shù)字運(yùn)算處理改變輸入 信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例， 或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。 正因 為數(shù)字濾波通過(guò)

3、數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波， 所以數(shù)字濾波器處理精度高、 穩(wěn)定、體積小、 重量輕、靈活、 不存在阻抗匹配問(wèn)題， 可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波 功能。按照不同的分類(lèi)方式， 數(shù)字濾波器可以有很多種類(lèi)型， 但總起來(lái)可以分為兩 大類(lèi)：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。 經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號(hào)中有用的頻率 成分和希望濾除的成分分別占有不同的頻帶， 通過(guò)一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干 擾，得到純凈信號(hào)，達(dá)到濾波目的。但是，如果信號(hào)和干擾的頻譜相互重疊，則 經(jīng)典濾波器無(wú)法有效濾除干擾， 最大限度恢復(fù)信號(hào)， 這就需要現(xiàn)代濾波器。 現(xiàn)代 濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性， 在某種最佳準(zhǔn)則下， 最大限度抑制干擾， 同時(shí)最

4、大限度恢復(fù)信號(hào)，達(dá)到最佳的濾波效果的目的。2、模擬濾波器模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟， 且有多種典型的模擬濾 波器供我們選擇，如巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器、貝塞爾濾 波器等。這些濾波器有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、 現(xiàn)成的曲線(xiàn)和圖表供設(shè)計(jì)人員使用， 而 且所涉及的系統(tǒng)函數(shù)都滿(mǎn)足電路實(shí)現(xiàn)條件。 這些典型的濾波器各有特點(diǎn)： 巴特沃 斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性； 切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或阻帶有 等波紋特性，可以提高選擇性； 貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線(xiàn)性相位特性； 橢 圓濾波器的特性相對(duì)前三者是最好的， 但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋特性， 相位 特性的非線(xiàn)性也稍嚴(yán)重。設(shè)

5、計(jì)時(shí)，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類(lèi)型。現(xiàn)在，我們分別使用 ha t 、Ha j 、Ha s 表示模擬濾波器的單位沖激響 應(yīng)、頻率響應(yīng)函數(shù)、系統(tǒng)函數(shù)，三者的關(guān)系為：H a s LT ha thae stdtHa jFT ha tha te j tdt可以用ha t 、Ha t 、Ha j 中任意一個(gè)描述模擬濾波器，也可以用線(xiàn)性 常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。 但在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)， 設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng) 函數(shù) Ha j 給出，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù) H a s 。工程上通常用所謂的損耗函數(shù)（也稱(chēng)為衰減函數(shù)） A 來(lái)描述濾波器的幅 頻響應(yīng)特性，對(duì)歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù)， A 定義如下

6、（其單位是分貝，用 dB 表 示）：A 20lg H a j10lg Ha j 2 dB應(yīng)當(dāng)注意，損耗函數(shù) A 和幅頻特性函數(shù) H j 只是濾波器幅頻響應(yīng)特性 的兩種描述方法。損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)幅頻響應(yīng) H a j 的取值非線(xiàn)性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時(shí)觀察通帶和阻帶的頻響特性的變化情況。 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)有 p、 p、 s和 s。其中 p 和 s分別 稱(chēng)為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率，p 稱(chēng)為通帶最大衰減（即通帶 0, p 中允許 A 的最大值）， s 稱(chēng)為阻帶最小衰減（即阻帶 s上允許 A 的最小 值）， p和 s 的單位是 dB。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性， p和 s 可表

7、示為：p 10lg H a j p2 s 10lg H a j s濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù) H a s ，希望其幅度平方 函數(shù)滿(mǎn)足給定的指標(biāo)。一般的濾波器單位沖激響應(yīng)為實(shí)函數(shù)，因此Ha j 2 Ha sHa s s j Ha j Ha* j2如果能由 p、 p、 s和 s求出 Ha j 2 ，那么就可以求出 Ha sHa s ， 由此可求出所需要的 Ha s 。Ha s 必須是因果穩(wěn)定的，因此極點(diǎn)必須落在 s 平 面的左半平面，相應(yīng)的 Ha s 的極點(diǎn)必然落在右半平面。 這就是由 Ha s Ha s 求所需要的 H a s 的具體原則。3、巴特沃斯濾波器 巴特沃斯濾波器是電

8、子濾波器的一種。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是 通頻帶的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)最平滑。這種濾波器最先由英國(guó)工程師斯替芬·巴 特沃斯（ Stephen Butterworth ）在 1930 年發(fā)表在英國(guó)無(wú)線(xiàn)電工程期 刊的一篇論文中提出的。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)最大限度平 坦，沒(méi)有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在 振幅 的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波 特圖上 , 從某一邊界角頻率開(kāi)始 ,振幅隨著角頻率的增加而逐步減少, 趨向負(fù)無(wú)窮大。一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻 6 分貝，每十倍頻 20 分貝階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻 12 分貝、 三階巴特沃斯濾波器的衰 減率為每倍頻 18

9、分貝、如此類(lèi)推。巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下 降，并且也是唯一的無(wú)論階數(shù)，振幅對(duì)角頻率曲線(xiàn)都保持同樣的形狀的濾 波器。只不過(guò)濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器 高階的振幅對(duì)角頻率圖和低級(jí)數(shù)的振幅對(duì)角頻率有不同的形狀。4、設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器的頻率變換法 （1）、歸一化模擬低通原型到數(shù)字高通濾波器的變換 設(shè)歸一化模擬低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是 HaL p ，p 為模擬域內(nèi)的拉普拉 斯變量。在模擬域內(nèi)從低通到高通變換，即以 p 1代替 p,有HaH p HaL 1/ p進(jìn)行反歸一化后，即以 p s/ c 代入上式，得到反歸一化后的高通濾波器 的傳輸函數(shù) H sH s H

10、 aH s H aL c ；cs再進(jìn)雙線(xiàn)性變換，得數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為Hz Hs 1z1 HaL p1z1 s1z1p1 z 1p11 zz 1 c直接由歸一化低通原型變換為數(shù)字高通濾波器時(shí)，變換關(guān)系為11z2 wwcpc 1，c cot ，ctanc1z 1c 2c2其中， c為模擬濾波器 3dB截止頻率； wc 為數(shù)字濾波器 3dB截止頻率。2）歸一化模擬低通原型到數(shù)字帶通濾波器的頻率變換直接尋求從模擬低通到數(shù)字帶通之間的映射關(guān)系：1 2z 1 cosw0 z 2cosw0 coswp (1 z 2)0 c ，s0inwcosw0 coswu csin wucosw0 cos(wu

11、wl)/2 ，cos( wu wl ) / 2cosw0cos wsus 0 susin wsu其中， c為模擬濾波器 3dB 截止頻率； w0,wu,wl,wsu分別是數(shù)字帶通濾波器 的中心頻率、通帶上邊頻、通帶下邊頻和帶通的上阻帶下邊頻。3）歸一化模擬低通原型到數(shù)字帶阻濾波器的變換直接尋求從模擬低通到數(shù)字帶阻之間的映射關(guān)系：(1 z 2) csin wp 1 2 ,1 2z cos w0 zcos w0 cos wcos( wu wl ) / 2sin wuccos w0 coswucos w0,cos( wu wl ) / 2scos w0 coswsusin w su其中， c為模擬濾

12、波器 3dB 截止頻率； w0,wu,wl,wsu分別為數(shù)字帶阻濾波器 的中心頻率、阻帶上邊頻、阻帶下邊頻和帶阻的上通帶下邊頻。4）數(shù)字低通濾波器到數(shù)字低通的變換由截頻為 c 的數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H L z 得到截頻為 wc 的數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H d z ，變換關(guān)系為sinH d z HL zcc2a1z 1 a1zccsin5）數(shù)字低通濾波器到數(shù)字高通變換由截頻 c的數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H L z 得到截頻為 wc 的數(shù)字高通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H d z ，變換關(guān)系為cosccccHd z H L zzcos2cccc2（6）數(shù)字低通濾波器到數(shù)字帶通變換由截頻為 c 的數(shù)字低通

13、濾波器系統(tǒng)函數(shù) HL z 得到中心頻率為 0 ，帶通上、下截頻分別為 u, c的數(shù)字帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù) H d z ，變換關(guān)系為2 2 k 1 zz k1k1k1cos2 k z 1 k 1zcoscos 0k 1z 2 k 1z5、MATLAB模擬頻率變換函數(shù)MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù) lp2lp 、lp2bp 、lp2hp 、lp2bs 是模擬頻率變換函 數(shù)。（ 1）低通模擬濾波器到低通模擬濾波器變換函數(shù) lp2lp 調(diào)用格式說(shuō)明如下。bs,as=lp2lp（b,a,Wl） 該函數(shù)將截止頻率為 1rad/s （歸一化截止頻率）的模擬低通原型濾波器 變換成截止頻率為 Wl 的低通濾波器。

14、（ 2）低通模擬濾波器到帶通模擬濾波器的變換函數(shù) lp2bp 調(diào)用格式如下。bs,as=lp2bp（b,a,W0,Bw）該函數(shù)將截止頻率為 1rad/s （歸一化截止頻率）的模擬低通原型濾波器變換成具有指定帶寬 B 和中心頻率為 0 的帶通濾波器。如果要求濾波器的低端截止頻率為 1 ，高端截止頻率為 2 ，則按下式可計(jì)算帶寬 B 和中心頻率為 0 的帶通濾波器Bw=W2-W1W0=sqrt（W1*W2） 3）低通模擬濾波器到高通模擬濾波器變換函數(shù) lp2hp 調(diào)用格式如下。bs,as=lp2hp（b,a,Wh）該函數(shù)將截止頻率為 1rad/s （歸一化截止頻率）的模擬低通原型濾波器 變換成截止

15、頻率為 h 的高通濾波器。4）低通模擬濾波器到帶阻模擬濾波器變換函數(shù) lp2bs開(kāi)始得到結(jié)果調(diào)用格式如下bs,as=lp2bs(b,a,Wh)該函數(shù)將截止頻率為 1rad/s （歸一化截止頻率）的模擬低通原型濾波器變換成具有指定帶寬 B 和中心頻率為 0 的帶阻濾波器三、設(shè)計(jì)步驟與流程框圖：字濾波器四、設(shè)計(jì)過(guò)程：1、設(shè)計(jì)要求：設(shè)計(jì)一巴特沃斯高通數(shù)字濾波器， 3dB 數(shù)字截止頻率為 c 0.2 rad ，阻帶下邊頻 s 0.05 rad ，阻帶衰減為 As 48dB 。2、設(shè)計(jì)過(guò)程：1） 求模擬低通濾波器指標(biāo)c tan c /2 tan 0.1 0.3249 sc2 cot s /2 1.341

16、32） 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器求出模擬低通濾波器指標(biāo)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)N lg 100.1As 1s2lg s c3.8975 ，取 N=4，設(shè)計(jì)模擬低通濾波器利用 MA TLAB 編程實(shí)現(xiàn) 濾波器查表得 H a s1 2.613s 3.414s2 2.613s3 s43)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H z H s s c11 zz11 4z 1 6z 2 4z 3 z 42.3103 5.4743z 1 5.346z 2 2.4366z 3 0.4324z 44) 利用 MATLAB設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器源程序： 頻率變換函數(shù)編程：wp=0.2*pi;ws=0.05*pi;Ap=3;As=48

17、;Wp=tan(wp/2);Ws=tan(ws/2); N,wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); fprintf(' 濾波器階數(shù) N=%.0fn',N) b,a=butter(N,1,'s');numa,dena=lp2hp(b,a,Wp); numd,dend=bilinear(numa,dena,0.5); disp('分子系數(shù) b');fprintf('%.4e ',numd);fprintf('n');disp('分母系數(shù) a');fprintf('

18、;%.4e ',dend);fprintf('n');w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid; xlabel('歸一化頻率 '); ylabel('幅度/dB');程序運(yùn)行結(jié)果如下：濾波器階數(shù) N=4分子系數(shù) b9.9999e-001-4.0000e+0006.0000e+000-4.0000e+0009.9999e-001分母系數(shù) a2.3103e+000 -5.4742e+0004.3290e-001其幅度響應(yīng)函數(shù)如圖所示 :5.3459e+000-2.4366e+000五、結(jié)果分析：由最終所得到的運(yùn)行結(jié)果以及該濾波器的幅度響應(yīng)函數(shù)圖像可以看出， 我們 所設(shè)計(jì)的濾波器完全符合最初的要求，是一個(gè)巴特沃斯高通濾波器， 3dB 數(shù)字截 止頻率為 c 0.2 rad ，阻帶下邊頻 s 0.05 rad ，阻