均值不等式的待定系數(shù)法

1、不等式講座系列之33 (2)均值不等式的待定系數(shù)篇撰寫人：張平在處理一些不等式問題的時(shí)候，往往難以直接使用均值不等式，這就需要我們根據(jù)題目自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐錅悾环N被稱之為待定系數(shù)法均值的方法就這樣產(chǎn)生了。在配的時(shí)候要牢牢把握住“正，定，等”。這個(gè)純屬個(gè)人一些觀點(diǎn)，高手直接pass 掉。我的用意是在普及的基礎(chǔ)上能幫助一些朋友有所提高，不至于有那么多，?。“。“。?. 設(shè) x, y, z, w是不全為零的實(shí)數(shù)，求x2xy y 22 yzz2 zww2 的最大值分析：顯然只需考慮x 0, y 0, z 0, w 0的情形直接均值顯然不行，我們是不是可以這么考慮，引入待定的正參數(shù), 滿足x

2、2 y2 z2 w2 (x2y2) (1)y2z2 (1)z2 w22 xy 2 (1) yz 2 (1) zw故依據(jù)取等條件12122 (1)2 1顯然參數(shù)t 就是我們要求的最大值。消去 , 我們得到一個(gè)方程4t 2 4t 1 0 此方程的最大根為我們所求的最大值 解之得 t 2 12我們再來看一個(gè)類似的，相信你已經(jīng)找到了怎么處理這個(gè)問題了2. 設(shè) x,y,z是不全為零的正實(shí)數(shù)，求16x 9 2xy 93 3 xyz的最大值x 2y z是的同我們依然可以引進(jìn)參數(shù), , 使其滿足x 2yz (1 )x x y x (2)y z(1 )x2 xy33 (2)xyz依據(jù)取等條件我們有169 212

3、消去參數(shù), , 我們得到一個(gè)方程(t 18)(16t5 224t4 584t3 1440tx 2y z當(dāng)且僅當(dāng)x : y : z 1:18:36 取等。好了，我相信通過這兩個(gè)例題你對待定系數(shù)均值有了個(gè)大致的思路了，那我們開始來處理下面的幾個(gè)問題吧！ 223.設(shè)x, y, z是正實(shí)數(shù)，求y 的最小值。xy yz zx解：我們考慮引進(jìn)參數(shù)k 使其滿足：2210x2 10y2 z2 kx2 ky2 (10 k)x2 z (10 k)y2 z 2kxy 2(10 k)(xz yz)22依據(jù)取等條件我們有：2k 2(10 k) t t 410x2 10y2 z2故的最小值為4xy yz zx4.設(shè) x,

4、 y, z是正實(shí)數(shù)且滿足x y z 3，求x2 y2 z3的最小值解：觀察題目的結(jié)構(gòu)考慮到x, y 地位的平等性，引進(jìn)參數(shù)k,lx2 k2 2xk22223232y k 2yk x y z 2(k l ) 2k(x y) 3l zz3 l3 l 3 3zl2由取等條件我們有：2k 3l 2 ,x k, y k, z l 2k l 3 1377t 1458) 0這個(gè)方程的最大根為我們所求的目標(biāo)。解之得 t 18呵呵扯到這里，或許你說天啊，這個(gè)方程好恐怖，是的很遺憾這個(gè)題目手工解我認(rèn)為很困難解決，當(dāng)然我們可以借助計(jì)算機(jī)求解這個(gè)高次方程。有了這個(gè)待定系數(shù)我們也可以冒充一回高手，你可以很輕飄飄的對這個(gè)

5、題目來個(gè)一行秒殺。你也可以打出這么一個(gè)讓別人，啊！啊！啊！有木有的解答。16x 9 2xy 933xyz 16x 3 x18y 33x182y36z x 2y zx 2y z163(x 18y) x 18y 36z18x222232232331743 37所以 x2 y2 z3 2k(x y) 3l2z 2(k2 l3) 6k 2(k2 l3)108當(dāng)然了這個(gè)題目明顯可以拉格朗日數(shù)乘法來解決，這也從另外一個(gè)角度啟示我們某些條件極值是可以用待定系數(shù)均值來解決的.185設(shè)x, y為正實(shí)數(shù)，且x y 1，求22 的最小值xy分析： 這個(gè)題玩過不等式的會說權(quán)方和秒！今天我們從待定系數(shù)均值的角度也來玩一

6、玩。考慮x y 1 和為定值，我們?yōu)榱耸褂镁担梢赃@樣引進(jìn)參數(shù)k k(x y)因此 18 + k = 18 k(x y) 1 kx kx 8 ky ky 93 kx2y2x2y2x222y22241 kxx22由取等條件：82 ky 3 2 1 k 54y22 k 3xy1所以12 82 93 k k 27x2 y246 .若 x 2 xy a(x y) 對任意 x 0, y 0恒成立，求a的最小值。解： x 2 xy a(x y) 對任意 x 0, y 0 恒成立所以 x 2 xya 對任意 x 0, y 0 恒成立 xy下面我們依然可以待定均值x y (1 k)x kx y (1 k)x

7、 2 kxy121k 2k消去 k 我們得到：t2 t 1 0 方程的最大根及為我們所求解之得 t 5 12a 的最小值為52 1讀到這里也許有讀者會說：你每次解那個(gè)比例式方程為什么說那個(gè)比值就是我們要求的目標(biāo)呢？這個(gè)問題我想不用我解釋吧，這太顯然了！是不是？為了加深對這個(gè)方法的認(rèn)識和應(yīng)用，我們來看一個(gè)大家都很熟悉的問題：7 .若 a 1 ,b 1 且 a b 1 ，求證：2a 1 2b 1 2 222好吧！你也許會說哥用柯西一行就秒了。是的， 今天在這里我用待定系數(shù)來處理一下這個(gè)問題?？紤]這樣引進(jìn)參數(shù)m(a b)32 327ab 9y cos2 sin2a 12b 1m2m22a 12b 1

8、2 2a 12 2b 1m 2m 222a 1 2b 1mm m22222m22 2a 1 m2 m考慮取等條件：m22 a b , m22m22ab1所以 2a 1 2b 1 m2222 2m8 .有一邊長為a和 b(a b) 的長方體紙板，在四個(gè)角各裁去一個(gè)大小相同的正方形，把四邊折起做成一個(gè)無蓋的盒子，要使紙盒的容積最大，問裁去的正方形的邊長應(yīng)為多少？分析：這是一個(gè)很old 的問題了，大多可以建立函數(shù)模型用導(dǎo)數(shù)解決之。今天我們換個(gè)角度用均值，對還是用均值來kill it ！解：設(shè)裁去正方形的邊長為x則做成的無蓋長方體容積為V x( a 2 x) ( b 2 x)(xb0 <)m,n

9、(m 2n 2)x na b)327mnmx n(a 2x) (b 2x) 31(3)V (mx)n(a 2x)(b 2x)3mnmn考慮取等情況：mx n(a 2x) b 2x當(dāng) m 2n 2 0時(shí)，右邊為常數(shù)故當(dāng)二者同時(shí)成立時(shí)函數(shù)有最大值。消去參數(shù)得到：12x2 4(a b)x ab 0解之得：x (a b)a62 ab b2 ,(0 x b2)故 x (a b) a2 ab b23(na b)Vmax x(a 2x)(b 2x) (na )27mn22(a b)(2 a b)(2b a) (a2 ab b2)254219 .求函數(shù) y x x (x 0) 的最小值。2x分析：這個(gè)單變量的函數(shù)，話說單變量都可以導(dǎo)數(shù)的嘛，你明白的在這里我還是想說均值可以kill it解：考慮引進(jìn)參數(shù)02 yxx 1 x22x(x)4x 4x1x2x 2xx2, x 1 消去參數(shù)得：4x3 2x2 1 04x 2x(2x 1)(2x2 2x 1) 02此時(shí)1 ，ymin72410 .問(0)取什么值時(shí)，y cos2 sin 取最大值。2解：考慮引進(jìn)參數(shù)a, b 0y c o 2ssi n 1 a ab(a b b( 1 a ) s( 1 sbi n ) ( 1 s i n ) s i n27ab3in )考慮取等條件：a(1 sin ) b(1 sin ) sinb1a0sin21