241等比數(shù)列（一）

1、1、觀察下列數(shù)列，指出它們的共同特征：、觀察下列數(shù)列，指出它們的共同特征：(1)1，2，4，8，(2) (3)1，20，202，203，(4)活期存入活期存入10000元，年利率是元，年利率是1.98%，按照復(fù)利，按照復(fù)利，5年內(nèi)年內(nèi)各年末本利和分別是各年末本利和分別是10000(1+0.0198)，10000(1+0.0198)2，10000(1+0.0198)3，10000(1+0.0198)4，10000(1+0.0198)5一、引入一、引入1 1 11,2 4 8共同特征：共同特征：第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)比都等于同一個常數(shù) 一般地

2、，如果一個數(shù)列從一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)就叫做等比數(shù)列的做等比數(shù)列。這個常數(shù)就叫做等比數(shù)列的公比公比， 公比公比通常用字母通常用字母 q 表示。表示。1.等比數(shù)列的定義：等比數(shù)列的定義：12()nnaq na或或1*()nnaq nNa二、新課二、新課2.等比數(shù)列的定義的符號語言：等比數(shù)列的定義的符號語言： 注注：(1)等比數(shù)列的首項(xiàng)不為等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0, 即即a10。 (2)等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，即，即an0。 (

3、3)公比不為公比不為0，即，即q0。1. 下列數(shù)列是等比數(shù)列嗎？是的話，請指出它們下列數(shù)列是等比數(shù)列嗎？是的話，請指出它們的公比的公比q.思考：思考：在等比數(shù)列中，各項(xiàng)的符號與公比在等比數(shù)列中，各項(xiàng)的符號與公比q有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？1 64 32 16 82 1 1 1 13 3 3 3 34, ,- , ,- , , , , , , ,a a a a（ ）（ ）（ ）（ ）若若q0，則各項(xiàng)的符號，則各項(xiàng)的符號與與a1相同；相同；若若q0，則各項(xiàng)的符號，則各項(xiàng)的符號正負(fù)相間正負(fù)相間.是，是，q=1/2是，是，q= -1是，是，q=1不一定是不一定是三、練習(xí)三、練習(xí)當(dāng)當(dāng) a0時時; 它只是等

4、差數(shù)列。它只是等差數(shù)列。當(dāng)當(dāng) a0時時; 它既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列。它既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列。2.用下列方法表示的數(shù)列中能確定是等比數(shù)列的用下列方法表示的數(shù)列中能確定是等比數(shù)列的是是 .已知已知a1=2，an=3an+1；1，0，1，0，； 1，-1，1，(-1)n+1；sin1，sin2，sin4，sin8，sin2n-1；2a，2a，2a，2a三、練習(xí)三、練習(xí) 如果在如果在a與與c中間插入一個數(shù)中間插入一個數(shù)b，使，使a，b，c組成一個組成一個等比數(shù)列，則中間的數(shù)等比數(shù)列，則中間的數(shù)b叫做叫做a與與c的的等比中項(xiàng)等比中項(xiàng)，且，且注意注意：（1）若實(shí)數(shù)）若實(shí)數(shù)a、c有等比中項(xiàng)，則有等比中

5、項(xiàng)，則a、c符號相同；符號相同；（2）若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)a、c有等比中項(xiàng)，則該等比中項(xiàng)必有兩個值；有等比中項(xiàng)，則該等比中項(xiàng)必有兩個值；2()bacbac 或或二、新課二、新課練習(xí)練習(xí): 能否在下列兩個數(shù)中間再插入一個數(shù)，使這三個能否在下列兩個數(shù)中間再插入一個數(shù)，使這三個數(shù)組成一個等比數(shù)列？可以的話，請求出插入的數(shù)字?jǐn)?shù)組成一個等比數(shù)列？可以的話，請求出插入的數(shù)字.（1） -12，0 ； （2） 2，8 ；（3） -3，3 ； （4） -6，-1.5 ； an2=an-1 an+1 .二、新課二、新課3.已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是a1，公比是，公比是q，則通項(xiàng)公式是則通項(xiàng)公式是_;an

6、=a1qn-1例例1.某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，若每經(jīng)過某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，若每經(jīng)過一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的 84%，則這種物質(zhì)的，則這種物質(zhì)的半衰期為多少？（精確到半衰期為多少？（精確到1年）年）解：解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，經(jīng)過，經(jīng)過n年剩留量是年剩留量是an， 則由條件可知，數(shù)列則由條件可知，數(shù)列an是一個等比數(shù)列，是一個等比數(shù)列， 其中其中a1=0.84，q=0.84 設(shè)設(shè)an=0.5，則，則0.84n=0.5 即即 n=log0.840.5 由計(jì)算器可算得由計(jì)算器可算得 n4答：這種物質(zhì)的半衰期大約為答：

7、這種物質(zhì)的半衰期大約為4年。年。不完全不完全歸納法歸納法得得由由定定義義,1qaann 32412311,nnaaaaqqqq naaaa （）11342312 nnnqaaaaaaaa1111,nnnnaqaa qa 即即即通項(xiàng)公式為即通項(xiàng)公式為：an=a1qn-1分析：分析：n=1時上式仍成立時上式仍成立n1個個二、新課二、新課3.已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是a1，公比是，公比是q，則通項(xiàng)公式是則通項(xiàng)公式是_;累乘法累乘法an=a1qn-1探究：探究：已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a1，公比為，公比為q，試討論，試討論該數(shù)列的類型該數(shù)列的類型.分析分析：（1）

8、當(dāng)）當(dāng)q0時，時， an為擺動數(shù)列；為擺動數(shù)列；（2）當(dāng)）當(dāng)0q0，則，則an為遞減數(shù)列；為遞減數(shù)列； 若若a11時，時， 若若a10，則，則an為遞增數(shù)列；為遞增數(shù)列； 若若a10，則，則an為遞減數(shù)列；為遞減數(shù)列；二、新課二、新課an=a1qn-11naqq 3. 在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，（1）a1=3，an=192，q=2，求，求n；（2） a3=12，a4=18，求，求a1和和a2；（3）a3=48，a7=3，求，求a1和和q ；（4）a1+a2=3， a4+a5=24，求，求an；n=71216,83aa三、練習(xí)三、練習(xí)11192,2aq an =2n-1思考：思考：我們知道，等差數(shù)列我們知道，等差數(shù)列an滿足下列公式滿足下列公式（1）an=am+(n-m)d；（2）若）若m+n=p+q，則，則am+an =ap+aq 那么，等比數(shù)列是否也有類似的公式呢？那么，等比數(shù)列是否也有類似的公式呢？四、小結(jié)四、小結(jié)1.定