微分中值定理的證明題[1](1)

1、微分中值定理的證明題1 .若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0,證明：V九wR,衣w(a,b)使得:f化)+九f«)=0。證：構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)e'x,則F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)=F(b)=0,由羅爾中值定理知:斗(a,b),使F)=0即：f注)+Kf(”e淮=0,而e熊。0,故f仁)+九吃)=0。2 .設(shè)a,b0,證明：3(a,b),使得aebbea=(1t)e*(ab)。11211證：將上等式變形得：1eb-1ea=(1-t)e£(-)baba11 41111作輔助函數(shù)f(x)=xex,則f(

2、x)在-,一上連續(xù),在(一,一)內(nèi)可導(dǎo),baba由拉格朗日定理得：1J1、，1J1、(,),baf(1)-f(1)1b11a"ba1eb-1ea1：即.1=(1e即：aeb-bea=(1-)e(a-b)3 .設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=0,有F(x)=x2f(x)證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點J使得：F)=0。證：顯然F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，又F(0)=F(1)=0,故由羅爾定理知：三x0亡(0,1),使得F'(x。)=0又F(x)=2xf(x)+x2f(x),故F'(0)=0,于是F'(x)在0,x°上滿足

3、羅爾定理條件，故存在"(0,%),使得：F*d)=0,而(0,x0)u(0,1),即證4 .設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(O)=0,f=1.證明:(1)在(0,1)內(nèi)存在之,使得f代)=1J(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個不同的點，刈使得f/(，)f)=1【分析】第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，1應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】(I)令F(x)=f(x)1+x,則F(x)在0,1上連續(xù)，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在已三(0,1),使得F仁)=0,即f仁)=1

4、之(II)在0,寺和&1上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理,存在兩個不同的點”小),，”1),使得中)U,(??！于是，由問題(1)的結(jié)論有f()1-f()1-1-1-=1.5 .設(shè)f(x)在0,2a上連續(xù)，f(0)=f(2a),證明在0,a上存在已使得f(a)=f().【分析】f(x)在0,2a上連續(xù)，條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到f(a)=f()rf(a)-f()=0f(ax)-f(x)=0【證明】令G(x)=f(a+x)-f(x),xw0,a.G(x)在0,a上連續(xù)，且G(a)=f(2a)-f(a)-f(0)-f(a)G(0)=f(a

5、)-f(0)當(dāng)f(a)=f(0)時，取自=0,即有f(a+£)=f1)；當(dāng)f(a)=f(0)時，G(0)G(a)<0,由根的存在性定理知存在£w(0,a)使得,Gd)=0,即f(a+，=f&).6 .若f(x)在0,1上可導(dǎo)，且當(dāng)*W0,1時有0<f(x)<1,且(x)#1,證明:在(0,1)內(nèi)有且僅有一個點七使得f代)證明：存在性構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-x則F(x)在0,1上連續(xù)，且有F(0)=f(0)0>0,F(1)=f(1)1<0,二由零點定理可知：F(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一點匕,使得F仁)=0,即:f()=唯一性：

6、(反證法)假設(shè)有兩個點(0,1),且匕2,使得F6)=F&)=0;F(x)在0,1上連續(xù)且可導(dǎo),且邑,與二0,1二F(x)在匕占上滿足Rolle定理條件二必存在一點“三(二2),使得：f')=f'(")-1=0即：f'F)=1,這與已知中f'(x)#1矛盾二假設(shè)不成立，即：F(x)=f(x)-x在(0,1)內(nèi)僅有一個根,綜上所述：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個點J使得f(D=£17 .設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0,f(1)=10試證至少存在一個tw(0,1),使f(x)=1。分析：f'(：

7、)=1nf'(x)=1nf(x)=x=f(x)-x=0令F(x)=f(x)-x證明：令F(x)=f(x)-xF(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(1)=f(1)-1二一1：二0(f(1)=0)11111、八(/咳-丁10(叼二1)由介值定理可知，三一個11日(1，1),使2F(")=0又F(0)=f(0)-0=0對F(x)在0,1上用Rolle定理，m一個S(0,n)c(0,1)使F'仁)=0即f'(t)=18.設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f試證存在自和L滿足0<n<1,使f'向+)=0。證由拉格朗日

8、中值定理知,1.f(1)-f(0)2-°f()1、(0，2)1f(1)-f(2)21(2，1)1.1f(-)-f(0)f(1)-f(-)9.設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0Macb),f(a)#f(b),證明：三之產(chǎn)w(a,b)使得f()=黃f().證：(用(b-a)乘于(1)式兩端，知)(1)式等價于f()f()fh22.丁(b-a)-2(b-a).(2)為證此式，只要取F(x)=f(x),取G(x)=x和x2在a，b上分別應(yīng)用Cauchy中值定理，則知工ff()f()22f(b)-f(a)=-(b-a)="(b2-a2)，其中，(a，b).10.已知函數(shù)f

9、(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，0<a<b,證明存在t,n(a,b),使32f7)=(a2abb2)f/()解：利用柯西中值定理f/()f(b)-f(a),33b-a而f(b)-f(a)=f«)(ba)則f/()f(b)-f(a)f/()(b-a)f;()33-22b-aaabb(后面略)11.設(shè)f(x)在x至a時連續(xù)，f(a)<0,當(dāng)x>a時,f/(x)>k>0,則在(a,a-上回)k內(nèi)f(x)=0有唯一的實根解:因為f/(x):>kA0,則f(x)在(a,a-f(a)上單調(diào)增加/f(a-(a)=f(a)-1(句fa)=f(a)1

10、-一”。(中值定理)kkk而f(a)<0故在(a,af(a)內(nèi)f(x)=0有唯一的實根12.試問如下推論過程是否正確。對函數(shù)f(t)=t2sin1020在0»上應(yīng)用拉格朗日中值定理得:2.1xsinf(x)-f(0_)xx0x-00=xsin-x1.f(二)2一c血：二：二x)即:111cos=2sin-xsin-二x(0：x)1<?<x,故當(dāng)xT0時，Ut0,由m£0=limxsin-=0Xx行：.11八im+cosy=0,即雪£os7=01解：我們已經(jīng)知道，ym+cos9=0不存在，故以上推理過程錯誤。首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的t是個

11、中值點，是由f和區(qū)間0,X的端點而定的，具體地說，巴與X有關(guān)系，是依賴于X的，當(dāng)XT0時，巴不一定連續(xù)地趨于零,它可以跳躍地取某些值趨于零,從而使limcos-=0成X)0、_11乂，而1m/os=0中要求是連續(xù)地趨于苓。故由lim/os-=0推不出_0-X_0-111m.eos-=。X13.證明：V0<x<一成乂x<tgX<2-。2cosx證明：作輔助函數(shù)f(x)=tgx,則一*)在0,司上連續(xù),在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日定理知：f(X)-f(0)=>=f()=_.(0,x)X-0Xcos即：tgx=x2豆，因csX在(0,二)內(nèi)單調(diào)遞減，故-21在(0,2

12、)cos2cosx2內(nèi)單調(diào)遞增，故7T即：x<Tv<22222cos0coscosXcoscosX1即：x<tgx<2-。cosX注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)f(x)及相應(yīng)的區(qū)間a,b,然后驗證條件，利用定理得f(b)-f(a戶f()b/(ab),再根據(jù)f'(x)在(a,b)內(nèi)符號或單調(diào)證明不等式。14.證明：當(dāng)0<x<一時，sinx+tgx>2x。23T證明：作輔助函數(shù)*(x)=sinx+tgx-2xxe(0,)2(x)=cosxsec2x-21c=cosx2-2cosX2c.1-cosx-22-cos

13、X112二(cosx)cosx0故中(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，又因中(0)=0,9(x)在(0二)上連續(xù)，22故中(x)>邛(0)=0,即：sinx+tgx-2x>0,即：sinx+tgx>2x。注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，欲證當(dāng)xwI時f(x)>g(x),常用輔助函數(shù)中(x)=f(x)-g(x),則將問題轉(zhuǎn)化證中(x)之0,然后在I上討論中(x)的單調(diào)性，進而完成證明。15.證明：若f(x)二階可導(dǎo)，且f"(x)>0,f(0)=0,WJF(x)=f()在x(0產(chǎn)的單調(diào)遞增。證明：因F'(x)=xf(刈；"刈，要證F(x)