線性代數(shù)試題及答案-線性代數(shù)試題

1、、單項(xiàng)選擇題（本大題共一個(gè)是符合題目要求的,1.設(shè)行列式a11a21a12=m,a22a13a23a11a21=n,則行列式A.m+nC.n-ma11a12-a13a21a22'a23B.-(m+n)D.m-n第一部分選擇題（共28分）14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分。2.設(shè)矩陣A=00，則A-1115.356=等于（3A.C.3.設(shè)矩陣-10B.D.-1,A是A的伴隨矩陣，則A4中位于（1,2）的元素是（B.6D.2)B.B芋C時(shí)A=0D.|A|#0時(shí)B=CA.-6C.24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC,

2、則必有（A.A=0C.A#0時(shí)B=C5.已知3X4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（A.1B.2C.3D.46.設(shè)兩個(gè)向量組“1,a2,，as和31,32,，3s均線性相關(guān)，則（）A.有不全為0的數(shù)入1,入2,入s使入1a1+入2a2+入sas=0和入1日1+入22+入s3s=0B.有不全為0的數(shù)入1,入2,，入s使入1（"1+31）+入2（"2+32）+入s（”s+3s）=0C.有不全為0的數(shù)入1,入2,，入s使入1（"1-31）+入2（“2-32）+入s（"s-3s）=0D.有不全為0的數(shù)入1,入2,，入s和不全為0的數(shù)（11,;12,(1s使入10C

3、1+入20C2+Xsas=0和ii1B1+232+(is3s=07 .設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（）A.所有r-1階子式都不為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于08 .設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，Y1,B.所有r-1階子式全為0D.所有r階子式都不為0Y2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.11+22是Ax=0的一個(gè)解C.Y11-22是Ax=0的一個(gè)解B.一刀1+刀2是Ax=b的一個(gè)解22D.2刀刀2是Ax=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（）人秩（A）n8.秩（A）=n-1C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A.如存在數(shù)入和向

4、量a使Aa=Xa,則a是A的屬于特征值入的特征向量B.如存在數(shù)入和非零向量a,使（入E-A）a=0,則入是A的特征值C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如入1,入2,入3是A的3個(gè)互不相同的特征值，“1,a2,"3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向量，則a1,a2,33有可能線性相關(guān)11 .設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入°的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k,則必有（）A.k3B.k3D.k>3C.k=3/34）B.:6./1111%D.120Y02非選擇題（共72分）2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每12 .設(shè)A是正交矩陣，則下

5、列結(jié)論錯(cuò)誤的是（A.|A|2必為1C.A-1=AT13 .設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，A. A與B相似B. A與B不等價(jià)C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14 .下列矩陣中是正定矩陣的為（）,23;A.192536加A+2B=J17.設(shè)A=(aij)3x3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3),則(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.18.設(shè)向量(2,-3,5)與向量(-4,6,a)線性相關(guān)，則a=.19.設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若打1,

6、刀2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為.20.設(shè)A是mXn矩陣，A的秩為r（n）,則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)數(shù)為.21.設(shè)向量a、3的長度依次為2和3,則向量a+3與a-3的內(nèi)積（"+3,a-3）=22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個(gè)特征值-1和4,則另一特征值為.710°、C.02二Q-35）第二部分二、填空題（本大題共10小題，每小題小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。B.|A|必為1D.A的行（列）向量組是正交單位向量組B=CTAC.則（）16.設(shè)A=2-2/023.設(shè)矩陣A=1i_210,310<2、_1是

7、它的一個(gè)特征向量，則<2>a所對應(yīng)的特征值為.24.設(shè)實(shí)二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分),125.設(shè)A=,2_1.求(1)ABT;(2)|4A|.26.試計(jì)算行列式_1427 .設(shè)矩陣A=,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28 .給定向量組a1=<3試判斷a4是否為a29 .設(shè)矩陣A=,1-2-241,-122=a3=a3的線性組合;2)-6a4=3，若是，則求出組合系數(shù)。求：(1)秩(A);(2)A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。030.設(shè)矩陣a=-2的全部特征值為1,1和

8、-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使丁1AT=D.31 .試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2-2-2,f(X1,X2,X3)=X1+2X23x3+4x1X24X1X34X2X3,并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)=E+A+A.七2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.32 .設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆，且(E-A)'33 .設(shè)刀0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，試證明(1)刀1=刀0+衛(wèi)1,刀2二刀0+衛(wèi)2均是Ax=b的解;(2)Y0,Y1,Y2線性無關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題(本大題共14小題，每小題2分,1.D6.D2.B7.C3.

9、B8.A4.D9.A28分)5.C10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題(本大題共10空，每空2分，共20分)15. 6,337：16.U年7)17. 418. -1019. Y1+C(Y)2-Y1)(或22+C(Y)2-Y1),c為任意常數(shù)20. n-r21. -522. 223. 1222224. z1-z2-z3-z4三、計(jì)算題（本大題共25.解（1）ABT=37小題,每小題40J6分，共42分）,86”=1810.L310,(2) |4A|=43|A|=64|A|,而120|A|=340=-2.-121所以|4A|=64(-2)=-12826.解31-51201-523-4

10、1-134110-51-11131010-53027.解511-111-1-5-50511-620-5-50-62=30+10=40.-5-5AB=A+2B即(A-2E)222(A-2E)-1=171-12B=A,而3V01所以/1口Y42_,_-1B=(A-2E)A=1-511(64Jv-12303>28.解一1332一3_8_9120_6'_69)、0_53_2)_30-1130_1224011249J013_112)103510350112*01120088r00110_14_140001031002所以a4=2a組合系數(shù)為2,1,1).解-考慮a4=X1a1+X2a2+X

11、30C3,-2X1+x2X13X2:H3x3=0_12X2+2x33x1+4x2-x39.方程組有唯一解（2,1,1）29.解對矩陣A施行初等行變換T,組合系數(shù)為(2,1,1).-2-2-211-2-1021彳-2-10328-3032*30006-2000000-217)p00（1）秩（B）=3,所以秩（A)=秩(B)=3296308300，=B.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是）30.解A的屬于特征值

12、入E1=（2,-1,0）=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為T,E2=(2,0,1)T經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得Y1=入=-8的一個(gè)特征向量為2W5/5t/5/5,Y2=127/15455/157131.解經(jīng)單位化得,1/3"Y3=2/3'一句,2<5/5所求正交矢I陣為T=55/50100、對角矩陣D=010d0_8j12痣/52萬/15(也可取T=0-J5/315/5475/152.,15/154.5/15.5/31/32/3.)/3,1/32/3-2/3,f(X1,X2,X3)=(X1+2X2-2X3)2-2X22+4X2X3-7X32=(X1+2X2-2x3)2-2(X2-X3)2-5X32.y1=x1+2x22x3設(shè)“iy2=x2x3，y3=x3«-2因其系數(shù)矩陣C=0100x1=y1-2y2即方x2=y2+y3，x3=y30、1可逆，故此線性變換滿秩。1，經(jīng)此變換即得四、證明題（本大題共32.證由于（E-A）f(x1,X2,X3)的標(biāo)準(zhǔn)形y1-2y2-5y3.2小題，每小題5分，共10分)2、_3(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.33.證由假設(shè)Ar0=b,AE1=