人教版高數(shù)必修五第4講：等差數(shù)列的概念、性質(zhì)（教師版）.docx

1、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)墾大腦體操)逕作業(yè)完成情況J弟教學(xué)目標(biāo))教扇重點(diǎn)：掌握等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及性質(zhì)；求等差中項(xiàng)，判斷等差數(shù)列及與函數(shù)的關(guān)系；教學(xué)難點(diǎn)：通項(xiàng)公式的求解及等差數(shù)列的判定。夾&趣味引入)&知識梳理)1. 等差數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d來表示。用遞推關(guān)系系表示為-%=d(e此)或an-=d(22,wM)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若%為等差數(shù)列，首項(xiàng)為。公差為d,則q=q+(一l)d等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)工,組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)通項(xiàng)公

2、式的變形對任意的p,qeN*,在等差數(shù)列中，有：與=巧+(_1)4為=cq+(q_l)d兩式相減，得ap=a(/+(p-q)d其中p,g的關(guān)系可以為pq,p>q,p=q等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系ciI+5d=§.2.。3+。9=。|+2"+。+84=2。+10d=2(oi+5d)=§解法二：.“為等差數(shù)列，.2。6=白2+。10=。3+。9,.白2+。6+。10=3。6=1,.編=§,.。3+。9=2。6=§C也成等差數(shù)列，試C也成等差數(shù)列，試27.在MB中,若IgsinA,IgsinB,IgsinC成等差數(shù)列,且三個(gè)內(nèi)角A,B,判斷三角形的形

3、狀.答案：A,B,C成等差數(shù)列，.2B=A+C,又.A+B+C=ti,.38=兀，VlgsiM,Igsinfi,IgsinC成等差數(shù)列，:.21gsinB=lgsinA4-IgsinC,即sin2B=sinA-sinC,3/.sinAsinC=4-又,cos(A+C)=cosAcosCsinAsinC,cos(人C)=cosAcosC+sinAsinC,.cos(A-C)-cos(A+0.sinAsinC=,3|2tt/.=2lcos(AC)cos-y,.'.cos(人一C)=1,VA(7T,兀)，A-C=0,即A=C=§,A=B=C.故ABC為等邊三角形.標(biāo)程顧問簽李:教學(xué)

4、主管簽李:市等差數(shù)列的通項(xiàng)公式q=q+（-l）d可得%=d，i+（%_d）,這里,d是常數(shù)，是自變量，是的函數(shù)，如果設(shè)d=ci,c_d=仞則an=an+b與函數(shù)y=cuc+b對比，點(diǎn)（,q）在函數(shù)y=ax+b的圖像上。2. 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用（1）%+%=%+%=%+an-i=（2）若m+n=p+q=2vv,則am+an=ap+aq=2aw（m,p,q,e都是正整數(shù)）（3）若,p,成等差數(shù)列，則a,n>apyan也成等差數(shù)列都是正整數(shù)）（4）an=am-n-ni）d（m,n都是正整數(shù)）（5）若數(shù)列q成等差數(shù)列，則%=pn+q（p,qeR）（6）若數(shù)列%成等差數(shù)列，則數(shù)列Aati+b（2

5、,/?為常數(shù)）仍為等差數(shù)列（7）若%和如均為等差數(shù)列，則afl+bfl也是等差數(shù)列以典例講練）類型一：等差數(shù)列的判定、項(xiàng)及公差的求解、通項(xiàng)公式的求解例1.（2015河北唐山月考）數(shù)列%是首項(xiàng)=-1,公差d=3的等差數(shù)列，若為=2015,則=A.672B.673C.662D.663解析：由題意得an=a+（/?-l）J=-l+（/?-l）x3=3n-4,令q=2015,解得=673答案：B練習(xí)1.數(shù)列%是首項(xiàng)=一1,公差d=3的等差數(shù)列，若=2（）03,則二A.669B.673C.662D.663答案：A練習(xí)2.數(shù)列%是首項(xiàng)=-1,公差d=3的等差數(shù)列，若=2000,則=A.669B.668C.

6、662I）.663答案：B例2.（2015山西太原段考）一個(gè)首項(xiàng)為23、公差為整數(shù)的等差數(shù)列從第7項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則其公差d為（）A.-2B.-3C.-4D.-6ra,+5J=23+5>0解析：由題意知20,%<0所以有解得_/+6=23+64<02323deZ.d=-456答案：C練習(xí)3.個(gè)首項(xiàng)為23、公差為整數(shù)的等差數(shù)列從第6項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則其公差d為（）A.-2B.-3C.-4I）.-5答案：D練習(xí)4.等差數(shù)列時(shí)中,印+5=10,s=7,則數(shù)列皿的公差為（）A.1B.2C.3D.4答案:B例3.（2014浙江紹興一中期中）己知數(shù)列0滿足=1,%產(chǎn)1一-,其中昨N,設(shè)=7j

7、-2%T(1)(1)求證：數(shù)列勿是等差數(shù)列求數(shù)列%的通項(xiàng)公式解析:“=法二一上=若一法r始=2所以數(shù)列如是等差數(shù)答案:(2)a.2a,=1,.b.=-=2/.b=b.+(n-d=2n112a,-w1v72_72+1二=2，a,t=2atl-in2n(1)略+lIn練習(xí)5.已知數(shù)列%滿足=4血=>2）令如=J”一1（1）求證：數(shù)列"是等差數(shù)列（2）求數(shù)列如與%的通項(xiàng)公式答案：（1）數(shù)列如是公差為1的等差數(shù)列43（2）a=,b=n”4/?-3"4練習(xí)6.在等差數(shù)列%中，已知=-1,%=2,求6，d答案：=5,d=1例4.己知數(shù)列&ci,2,b,c是等差數(shù)列，則a,

8、b,c的值分別為解析：“為8與2的等差中項(xiàng)，得。=匚=5為a,b的等差中項(xiàng)得b=-l；由力為2與。的2等差數(shù)列，得c=-4答案：5,-1,-4練習(xí)7.已知數(shù)列8,。,2,&是等差數(shù)列，則"/的值分別為答案：5,-1練習(xí)8.已知數(shù)列2,8,A,c是等差數(shù)列，則a,b,c的值分別為答案：5,11,14類型二：等差數(shù)列的性質(zhì)及與函數(shù)的關(guān)系例5.等差數(shù)列%中,已知oo.+oi4=2015,則頃4=（）A.2014B.2015C.20131）.2016解析：.1001+1014=1+2014，且%為等差數(shù)列，.<+%m=%）i+%om=2015故選B答案：B練習(xí)9.在等差數(shù)列q中

9、，若+%+%+（）+%2=120,則20-6|2的值為（）A.24B.22C.20D.18答案：A練習(xí)10.（2015山東青島檢測）己知等差數(shù)列%中，«l007+«I008=2015,aI=-l,則。2014=答案：2016例6.己知數(shù)列%中，。2=2013,。的3=2且是的一次函數(shù)，則角015=解析：是的一次函數(shù)，所以設(shè)afl=hi+b（kO）代入。2/頃3解得k=_l,b=2015a”=+2015«20l5=2015+2015=0答案：0練習(xí)11.若a,b,c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)fx）=a-2bx+c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.1或2答案：D練習(xí)】

10、2.己知無窮等差數(shù)列%中，首項(xiàng)=3,公差d=5,依次取出序號被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列如(1)求如的通項(xiàng)公式(3)(3)如中的第503項(xiàng)是%的第幾項(xiàng)答案：數(shù)列勿是數(shù)列%的一個(gè)子集列，其序號構(gòu)成以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，由于勾是等差數(shù)列，所以如也是等差數(shù)列（1）=3,d=5,.q=3+（一1）（一5）=8-5數(shù)列%中序號被4除余3的項(xiàng)是%中的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng),.0=%=70=07=27（2）設(shè)/中的第m項(xiàng)是bn的第項(xiàng)即bn=a）n=3+4(一1)=4一1.如=85(4一1)=1320則Z?”=1320=13-20x503=-10047，設(shè)它是%中的第m項(xiàng)，則10047=85，則刀=20

11、11,即但中的第503項(xiàng)是%中的第2011項(xiàng)金當(dāng)堂檢測）1. 在等差數(shù)列福中,0+的=10，則。5的值為（）D.10D.10A.5B.6C.8答案：A2. 在數(shù)列角中,與=2,2如|=2知+1,則mi的值為（）D.52D.52A.49B.50C.51答案：D3. 如果等差數(shù)列。"中,。3+叫+。5=12,那么。|+。207=（D.35D.35A.14B.21C.28答案：C4. 已知等差數(shù)列。滿足.|+。2+03+，"+。101=0'貝”有（）D.時(shí)=0D.時(shí)=0A.a4«ioi>OB.。2+。100<0C.+與如。答案:D等差數(shù)列中，01+0

12、4+07=39,"2+。5+08=33,則。3+。6+。9的值為（）A.30B.27C.24D.21答案:B5. 等差數(shù)列時(shí)中，焦=33,«45=153,則201是該數(shù)列的第（）項(xiàng)（）A.60B.61C.62D.63答案：B&當(dāng)堂總結(jié)）&家庭作業(yè)）.基礎(chǔ)鞏固1. 在等差數(shù)列中，。3=7,白5=。2+6,則“6=（）A.11B.12C.13答案：C2. 若數(shù)列。是等差數(shù)列，且旬+。4=45,恐+。5=39,則3+處=（）D.14A.24B.27C.30答案：D3. 已知等差數(shù)列知中，切+。9=16,叫=1,則如等于（）A.15B.30C.31答案：A4. 等差

13、數(shù)列中，若。3+«4+。5+但+。7+。8+。9=420,則。2+10等于（）A.100B.120C.140答案:BD.33D.64D.1605. 巳知?jiǎng)tchb的等差中項(xiàng)為（）A.*B.SC出答案：A在等差數(shù)列中，“3+7=37,則2+。4+"6+。8=.答案：74等差數(shù)列“中,公差為;，且1+。3+50的=60,則久+叫+缶0100=答案：85在等差數(shù)列s中，若。4+。6+。8+。10+。12=120,則09矽11的值為（）A.14B.15C.16D.17答案：C6. 在等差數(shù)列“中，已知67）=2,。2+。3=13,則。4+。5+。6=.答案：42等差數(shù)列0的前三項(xiàng)依次

14、為x,2r+l,4x+2,則它的第5項(xiàng)為答案:4已知等差數(shù)列630,，試求此數(shù)列的第100項(xiàng).答案：設(shè)此數(shù)列為。,則首項(xiàng)s=6,公差d=36=3,+l）d=63（一1）=3n+9.A«ioo=-3X100+9=291.能力提升7. 等差數(shù)列的首項(xiàng)為法，旦從第10項(xiàng)開始為比1大的項(xiàng)，則公差d的取值范圍是（）卜8八，3八8,3、8一3A.75B-d<25C-75<d<25D75<J25答案：D設(shè)等差數(shù)列山中，己知。1=：,小+。5=4,。=33,則，?是（）A.48B.49C.50D.51答案：C8. 已知數(shù)列mJ中，。3=2,。7=1,又?jǐn)?shù)列云土1是等差數(shù)列，則

15、。等于（）12A.0B.gC.3D.I答案：B9. 若兩個(gè)等差數(shù)列為，x2,b與sV，），2,力，人的公差分別為4、"2,則攵等于（）3-2A.3-2A.2-3B.4-3CD410. 九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有-根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容枳成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為升.答案:676617.等差數(shù)列中，2+。5+處=9,那么關(guān)于工的方程：亍+(。4+。6)尤+10=0()A.無實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根C,有兩個(gè)不等實(shí)根答案：A在。和人之間插入個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則其公差為()baabbaA.-B.77C.7TFn+l+l答案：C18.

16、 在等差數(shù)列曲中，己知m+"=A,am-n=B,則如=答案:,(a+b)19. 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于18,它們的平方和等于116,答案：4,6,820. 在等差數(shù)列時(shí)中，己知。3+處=10，則3%+幻=.D.不能確定有無實(shí)根b_an1則這三個(gè)數(shù)為答案：2()22.已知數(shù)列小是等差數(shù)列，且5=11，。2=8.(1) 求.3的值;(2) 判斷一101是不是數(shù)列中的項(xiàng)；(3) 從第兒項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù)？(4) 在區(qū)間(-31,0)中有幾項(xiàng)？答案：(1)由題意知。=11,d=ci2。|=811=3,=們+(一l)d=ll+(一l)X(-3)=-3/i+14.心3=3X13+14=25.

17、(2)設(shè)一101=缶，則一101=3+14,.3=115,=38爭N+.A-101不是數(shù)列山中的項(xiàng).(3)設(shè)從第項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù)，即。區(qū)0,3+14<0,.FEN+,.偵習(xí)，即從第5項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù).(4)設(shè)為E(_31,0),即一31<an<0,:.31v3+14<0,2:.4</<15,.EN十，.=5,6,7,，14,共10項(xiàng).23. 已知等差數(shù)列時(shí)中，們5=33,(知=217,試判斷153是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？答案：設(shè)首項(xiàng)為，公差為d,由已知得，由已知得，«i=_23。=4?！?(151)"=33“1+(611)&qu

18、ot;=217.“=-23+(一l)X4=4一27,令為=153,即4一27=153,得“=45彌*,.153是所給數(shù)列的第45項(xiàng).24. LA知函數(shù)數(shù)列&)的通項(xiàng)由xn=fixn-i)(u2,且EN*)確定.(1) 求證：-是等差數(shù)列；(2) 當(dāng)為=!時(shí)，求1100的值.答案：(1).&=731)=;：¥3。診2,任N'),.I_w+3_LI* 'xn3xn-|3Xn-C.9左=%邑水)數(shù)列-是等差數(shù)列.(2)由知普的公差為！，又力=土.£=土+(-詰=3+| J_1P0.5_±,xioo-3+3一35,即枷o_35四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其平方和為94,第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的積比第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積少18,求此四個(gè)數(shù).答