希望杯第2屆八級(jí)第2試及答案

1、希望杯第二屆1991年初中二年級(jí)第二試試題一、選擇題：每題1分，共10分1. 如圖29,B是線段ACh的一點(diǎn)，M是線段AB勺中點(diǎn)，N為線段AC勺中點(diǎn)，P為NA勺 中點(diǎn)，Q為MA勺中點(diǎn)，貝U MN： PC等于A?圖29A. 1; B . 2; C . 3; D . 42. 兩個(gè)正數(shù)m n的比是tt > 1.假設(shè)m+n=s那么m n中較小的數(shù)可以表示為 tssA.ts; Bs-ts; C.; D.1 s 1 t3. y>0時(shí)，.廠X*等于xy xy xy xy.4. x+ax+b+x+bx+c+x+cx+a是完全平方式， 那么a, b, c的關(guān)系可以寫成A. a v bv c. B .

2、 a-b 2+b-c 2=0. C . c v av b. D . a=b* c5. 如圖 30, AC=CD=DA=BC=DE/ BAE是/ BAC勺A. 4倍.B. 3倍.C . 2倍.D. 1 倍6. D是等腰銳角三角形 ABC勺底邊BC上一點(diǎn)，那么AD, BD, CD滿足關(guān)系式A.AD2=bD+CD B . aD> bD+CDI C . 2AD=bD+C. D . 2AD> bD+CE22 19x 1x 一的實(shí)根個(gè)數(shù)為10 10A . 4 B. 3. C . 2 D . 13 3 L 的值為112 . 3的X?、/的值是y x2=1+ . 3 , y2=2+ . 3 ; B

3、. x2=2+ . 3 , y2=2- . 3 ;C. x 2=7+4 3 , y2=7-4 3 ; D. x2=1+2 3 , y2=2- 3 .9. 在整數(shù)0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為x，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為y,完 全平方數(shù)的個(gè)數(shù)為z,合數(shù)的個(gè)數(shù)為u.那么x+y+z+u的值為A. 17 B. 15. C . 13 D. 11b a10. 兩個(gè)質(zhì)數(shù)a, b，恰好是x的整系數(shù)方程x2-21x+t=0的兩個(gè)根，那么等于a bA.2213; B.58； C.竺；D. 365214938、填空題每題1分，共10分X 19911991-1991 X 1989198

4、8=2. 分解因式:a 2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=3. (a 2+ba+bc+ac):(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)的平方根是 4邊數(shù)為a, b, c的三個(gè)正多邊形，假設(shè)在每個(gè)正多邊形中取一個(gè)內(nèi)角，其和為1800,那么1 1 1 _a b cx ay 5有正整數(shù)解，那么正整數(shù)a=.y x 11-升,再加上等量的水,液體中還有酒精 升;攪勻后,再倒311出丄升混合液，并參加等量的水，攪勻后，再倒出丄升混合液，并參加等量的水，這時(shí),33所得混合液中還有升酒精.7. 如圖31,在四邊形 ABCDL AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘

5、米.且/ ABC=90，那么四邊形ABC的面積是 .&如圖 32,/ 1 + Z 2+Z 3/ 4+Z 5+ / 6=.9. x|2x 4丁可的最小值的整數(shù)局部是_10. 兩數(shù)積ab豐1.且22a2a +1234567890a+3=0,3b +1234567890b+2=0,那么b三、解答題：每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計(jì)算過程，語言力求簡明，字跡與繪圖力求清晰、工整1. 兩個(gè)正數(shù)的立方和是最小的質(zhì)數(shù).求證：這兩個(gè)數(shù)之和不大于2.2. 塊四邊形的地如圖 33 EO/ FK, OH KG內(nèi)有一段曲折的水渠，現(xiàn)在要把這段 水渠EOHGK改成直的.即兩邊都是直線但進(jìn)水口 EF的

6、寬度不能改變，新渠占地面 積與原水渠面積相等，且要盡可能利用原水渠，以節(jié)省工時(shí).那么新渠的兩條邊應(yīng)當(dāng) 怎么作？寫出作法，并加以證明.答案與提示、選擇題題號(hào)12345678g10HDCADCCAD提示：L VMN = AN-AM. PQ = .二選(臥2 22. 設(shè)tti = 3, n 1? PJlJt = 3, s 4. 貝有一斗1"枚選場1+t1+33. 由y > 0,可知x v 0 .應(yīng)選(C).4. 容易看到a=b=c時(shí)，原式成為3(x+a) 2,是完全平方式.應(yīng)選(B).5. AC是等邊三角形, BC/和厶ADE勻?yàn)榈妊切?故知/ BAC=30 ,而/ BAE=12

7、0所以選(A).6. 以等邊三角形為例，當(dāng) D為BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，有AD> BD+CE2，當(dāng)D為BC邊的端點(diǎn)時(shí),有 aDbD+cD，故有 2AD2> bD+cD .應(yīng)選(D).1Q7. 當(dāng)鳳1時(shí)，有方程X2 -1 - (z + ),由根與系數(shù)關(guān)系可知，方程有一正相一負(fù)根*且 正扌冊(cè)合曼求當(dāng)圄<1時(shí)，有方程1-宀君 (X +同理可知也是一正根一負(fù)根"正根符合更貳 所嘛有M根-應(yīng)選©應(yīng)選(C).s. +* 亍 “h (/刊(/ +刊y x xyxyAx3=7 + 4 y2 =7-43,代入是 11 入選(C).9.T x=4, y=5, z=4, u=4.選(

8、A).10.由a+b=21, a, b質(zhì)數(shù)可知a, b必為2與 19兩數(shù).應(yīng)選).而匕+亠士±口竺a b ab 2x19 3S、填空題12345答案1991(a+b+cXa+2b+3c)±(a+c)11或21578910答寰77144( cm2)2提示:1. 1989 X 19911991-1991 X 19891988=1989(1991 X 104+1991)-1991(1989 X 104+1988)=1989X 1991-1991 X 1988=1991.2原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c) 2+(b+

9、c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c) 2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c):(c+a)(c+b)3. 原式=(a+c)(a+b): (b+a)(b+c)(a + (a + b)= (a + c)<平方根為土(a+c).4. 正多邊形中，最小內(nèi)角為60 °,只有a, b, c均為3時(shí)，所取的內(nèi)角和才可能為180 °5.兩式相加有3+3+3=1.(1+a)y=6 ,因?yàn)閍, y均為正整數(shù)，故a的可能值為5,這時(shí)y=1,這與y-x=1矛盾，舍去; 可能值還有a=2, a=1，這時(shí)y=2, y=3與y-x=1無矛盾. a=1或2.3J倒

10、一挾后，倒第二次后剰U下的是(|)7升，倒第三典后，剩下的是自升酒精.所以應(yīng)答善一7.在直角三角形 ABC中，由勾股定理可知 AC=10cm在厶AD(中，三邊長分別是10, 24,26，由勾股定理的逆定理可 AD(為直角三角形從而有面積為x 10x24 = 144( cn?).|2 2&/ 1 + Z 2+Z 3+/4+Z 5+ / 6,正好是以/ 2，/ 3，/ 5為3個(gè)內(nèi)角的四邊形的4個(gè)內(nèi)角之和.和為 360°.9.根據(jù)絕對(duì)值藥幾呵意義，可和 當(dāng)理I-運(yùn)或 -2 可戢是最小值.比擬血叭 原式彳-2返M朽卜傘環(huán) “-2占時(shí)，原式*2擊十厲卜*體-間 二最小僅是2厲-姫 其整

11、數(shù)局部為2.10.由條件可知a是方程 2x2+1234567890x+3=0 的一個(gè)根，b是方程 3y2+1234567890y+2=0 的一個(gè)根，后者還可以看成：；是3(-) 1234567890- +2或者說 o yy；是2.ya + 1234567390 + 3=0的一牛糕 從而可以 b認(rèn)為總和-是方程2/ + 123456789 +3 -。的兩個(gè)根. b1 a 3(注意：劉保證了埶:是方程2 +b12567S90z + 3 = 0的兩個(gè)不等的根.三、解答題1 .設(shè)這兩個(gè)正數(shù)為 a， b.那么原題成為 a3+b3=2，求證a+b< 2.證明(反證法)：假設(shè)a+b> 2由于a3+b3=2,必有一數(shù)小于或等于 1，設(shè)為b< 1，a> 2 b，這個(gè)不等式兩邊均為正數(shù)，ta3>(2-b) 3.t a3> 8-12b+6b2-b3.a3+b3> 8-12b+6b2.f 6b2-12b+6 v 0.f b2-2b+1 v 0.f(b-1) 2v0矛盾 a+b w 2 .即此題的結(jié)論是正確的.2此題以圖 33為準(zhǔn)由圖34知OK/ AB,延長EC和FK,即得所求新渠.這時(shí)，HG=GM都等于0K，且0K/ AB,故厶OHG勺面積和厶KGI的面積相同即新渠占地面積與原渠面積相等而且 只挖了 KG這么大的一塊地.我們?cè)倏戳硪环N方法