《與三角形有關(guān)的角》教案設(shè)計(jì)

1、與三角形有關(guān)的角教案設(shè)計(jì)與三角形有關(guān)的角教案李天明從容說課三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用又因?yàn)槿切问嵌噙呅蔚囊环N，而且是最簡單的多邊形在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究他們因此對三角形性質(zhì)的研究就顯得十分重要在小學(xué)已學(xué)習(xí)過三角形的內(nèi)角的有關(guān)知識，知道三角形的內(nèi)角和為180，?但是為什么是180而不去研究?在這里要求學(xué)生掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論及其證明在證明過程中通過一題多解、一題多變，初步體會(huì)思維的多向性，引

2、導(dǎo)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展；由內(nèi)角中的等量關(guān)系和外角中的不等關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)相等與不等關(guān)系的簡單證明引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外，相等和不等的不同角度對三角形作更全面的思考在教學(xué)中，首先讓學(xué)生動(dòng)手操作，把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼合在一起，探索它們的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并歸納總結(jié)出結(jié)論再尋求多渠道、不同途徑的解決問題的方法，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)思考交流總結(jié)運(yùn)用的過程讓他們不僅掌握知識點(diǎn)，還要知道為什么、做什么用，使學(xué)到的數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活聯(lián)系起來避免了數(shù)學(xué)的枯燥無味和脫離實(shí)際的現(xiàn)象，使數(shù)學(xué)真正運(yùn)用到實(shí)際中去教學(xué)課時(shí)三維目標(biāo)一、知識與技能1掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單運(yùn)用2掌握三角形的外角的定義，三角形

3、內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論及其證明；3體會(huì)幾何中不等關(guān)系的簡單證明二、過程與方法1通過探索“三角形內(nèi)角和定理”及其推論，?培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和實(shí)踐操作能力；2在學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和外角后，能運(yùn)用所學(xué)知識解決簡單的問題，?訓(xùn)練學(xué)生對所學(xué)知識的運(yùn)用能力三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1通過讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲；2由具體實(shí)例的引導(dǎo)，?讓學(xué)生初步認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與研究教學(xué)重點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理及推論教學(xué)難點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理及推論的證明和運(yùn)用教具準(zhǔn)備投影片三張：第一張（記作72A）；第二張（72B）；第三張（72C）教學(xué)過程一、

4、創(chuàng)設(shè)問題情境，導(dǎo)入新課在小學(xué)我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和為180，但究竟為什么是180，我們沒有去研究，本節(jié)課我們來回答這個(gè)問題二、動(dòng)手試一試，你會(huì)有收獲活動(dòng)1問題：在紙上畫一個(gè)三角形，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看，三個(gè)內(nèi)角的和是否為180？設(shè)計(jì)意圖：旨在讓學(xué)生親身實(shí)驗(yàn)一下，對所研究的問題產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心和求知欲通過親身經(jīng)歷，體會(huì)從具體情景中發(fā)現(xiàn)教學(xué)問題師生活動(dòng)：讓學(xué)生人人畫一個(gè)三角形，并把三個(gè)角裁下來，拼在一起，讓他們自己得出結(jié)論生：三個(gè)角拼在一起，會(huì)得到一個(gè)180的角師：為什么是180呢？生：因?yàn)槿齻€(gè)角合起來形成一個(gè)平角，而平角等于180，?所以三個(gè)角的和為180師：大家得出的結(jié)論相同嗎

5、？你們畫的三角形都一樣嗎？如果不一樣，你能得出什么結(jié)論呢？生：我們互相交流一下，結(jié)論都是一樣的，但所畫的三角形并不完全一樣，所以說明三角形三個(gè)內(nèi)角的和與形狀沒有關(guān)系，?只要是三角形，?其內(nèi)角和就一定為180師：大家回答得非常棒但這只是實(shí)驗(yàn)，由觀察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明來驗(yàn)證，那么怎樣證明呢？請同學(xué)們看投影片72A)在圖7.2-1(1)中，/8和/0分別拼在/人的左右兩側(cè)，？三個(gè)角合起來形成一個(gè)平角，出現(xiàn)一條過點(diǎn)A的直線L,移動(dòng)后的/B和/C各有一條邊在L上.想一想，L?與4ABC的邊BC有什么關(guān)系？由這個(gè)圖你能想出說明三角形內(nèi)角和等于180這個(gè)結(jié)論正確的方

6、法嗎？請大家思考后再互相交流.生：因?yàn)橐苿?dòng)后的/C與未移動(dòng)時(shí)的/C相等，而他們又是內(nèi)錯(cuò)角，由平行線的裁定可知，直線L與邊BC平行，所以可以過ABC的頂點(diǎn)A作直線L平行于ABC的邊BQ由平行線的性質(zhì)與平角的定義可知/A+/B+ZC=180.師：大家能寫出證明過程嗎？這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)應(yīng)先干什么呢？生：需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形寫出已知、求證.師：下面請一位同學(xué)完整地寫出過程.生：如圖7.2-2,已知ABC求證：/A+/B+ZC=18(J證明：過A作直線DE/BQZDABhB,ZEAChC./DABVBAC廿EAC=180,/.ZB+ZBACy0=180,即/A+/B+/

7、C=180.師：再觀察圖7.2-2(2).輔助線的作法與圖7.2-1(1)一樣嗎？證明方法相同嗎？生：輔助線的作法不同.移動(dòng)前的/A和移動(dòng)后的/A相等，？且是內(nèi)錯(cuò)角的位置關(guān)系，可知直線L與邊AB平行，同時(shí)移動(dòng)前和移動(dòng)后的/B是同位角也應(yīng)相等，？所以三個(gè)角拼在一起構(gòu)成了平角，故/A+/B+/0=180.師：能寫出證明過程嗎？生：已知、求證和上面相同.證明：如圖7.2-3延長B0到D,過0作0日AB./A=/ACE/B=/E0D/A0E+ZA0B廿ECD=180)./A+/ACB廿B=180)即/A+/B+/0=180.師：利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)怎樣？課下討論.從上面的兩種證明方法中，？大家

8、能否找到它們的異同點(diǎn)？它們的思路是否一致呢？生：相同點(diǎn)是：都是把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起，根據(jù)平角的定義，證明三角形的內(nèi)角和是180;不同的是：輔助線的作法不同，前者是過A點(diǎn)作邊BC的平行線，后者是過C點(diǎn)作邊AB的平行線.但不管是過三角形的哪一個(gè)頂點(diǎn)，作另一邊的平行線，它們的思路基本一致，就是通過平行線，利用平行線的性質(zhì)，通過同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，把三個(gè)角都拼到一起，構(gòu)成一個(gè)平角，從而得證.師：很好.大家的證明過程寫的非常好，分析的非常棒，找到了解決問題的思路.？根據(jù)思路，大家還能找到其他的證明方法嗎？生：還可以這樣作輔助線，如圖7.2-4作CA的延長線AQ過點(diǎn)A作/DAEhC,?則AE/BG所

9、以/EABhB,因?yàn)?DAE廿EAB吆BAC=180,故C+ZB+ZBAC=180,?IPZA+ZB+ZC=180.師：大家做的非常好，前三種方法都是把三個(gè)角轉(zhuǎn)移到三角形的一個(gè)頂點(diǎn)處.？只要把它們拼到一起成為平角即可，那么是否可以轉(zhuǎn)移到其他地方呢？請大家討論.生：如圖7.2-5,在BC上任取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE/AB交AC于E,再過點(diǎn)D作DF/AC餃AB于F.DE/1AB, ./1=/B,/2=/4.DF/1AC, /3=/C,/4=/A. /2=/A. /1+/2+/3=180. /A+/B+/C=180.師：大家討論的非常棒.可見大家已掌握了三角形內(nèi)角和定理的證明，？并能根據(jù)思路拓展，由于

10、時(shí)間關(guān)系，我們不再繼續(xù)了，在課后大家可以繼續(xù)討論有關(guān)問題，比如點(diǎn)在ABC的內(nèi)部？外部呢？活動(dòng)2出示投影片7.2B.例：如圖7.2-6,C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向，從C島看A、B兩島的視角/ACBM多少度？師生活動(dòng)：師：請大家先觀察思考，題中出現(xiàn)的這些方位角，在圖上分別指出.生：C島在A島的北偏東50方向，指/DAC=50;B島在A島的北偏東80方向，指/DAB=80;C島在A島的北偏西40方向，指/CBE=40;要求的是/AOB勺度數(shù).師：下面再討論一下根據(jù)已知角，如果求出ACB1勺度數(shù).生：要求/ACB勺度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，需求

11、出/CAB和/CBA的度數(shù).?而/CABhDAB-/DAC=80-50=30,/CBA=90-/CBE=90-40=50.?所以/ACB=180-/CAB-/CBA=180-30-50=100.生：他做的不對，/CBA不等于50.因?yàn)?EBA不是90而是因?yàn)锳D/BE,/DAB+/ABE=180./ABE=180-/DAB=100./ABCBE-/CBE=60./ACB=180-30-60=90.師：哪一位同學(xué)能把過程完整地寫一下呢？生：解：ZCAB=/BAD-/CAD=80-50=30.,.AD/1BE,./BAD北ABE=180./ABE=180-/BAD=180-80=100.，/ABC

12、hABE-/EBC=100-40=60.在ABC中./ACB=180-/ABC-/CAB=180-60-30=90答：從C島看A、B兩島的視角/ACB=90.師：大家看，過C點(diǎn)作AD的平行線CF,則AD/CF/BE,往后課下完成.嘗試反饋鞏固練習(xí)(出示投影片7.2C)1 .ABC中,/A=40)/B-/C=30.求/B,/C.2 .ZXABC中,/A:/B:/C=1:2:2.求/A,/B,/C.3 .在ABC中，/A+/B=90)CC=2ZA.求/A,/B,/C.4 .如圖7.2-7,在ABC中，/C=/ABC=2A,BD是AB邊上的高.求/dbC勺度數(shù).設(shè)計(jì)意圖：求某些/ A+/利用三角形內(nèi)

13、角和定理，角的度數(shù).八師生活動(dòng)：生：1.解：A=40,I-；B+/C=180, /B+/C=180-/A=140. /B-/C=30, /B=/C+30)./C+30+/C=140. ./C=55,/B=85.2 .解：/A:/B:/C=1:2:2,，設(shè)/A=x)BB=/C=2x./A+/B+/C=180).5x=180.二x=36aAA=36,/B=/C=72.3 解：./A+/B=80)/C=180-80=100A./1=50。，./B=180-/A-/B=30.4 .解：./C=/ABC=2A. :/A=36,/C=72. /BCLDC；，/BDC=90. /DBC=180-/BDC-/

14、C=180-90-72=18.活動(dòng)3問題：探究三角形外角的定義，外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖:旨在掌握三角形外角的定義的基礎(chǔ)上，利用三角形內(nèi)角和定理，推導(dǎo)出外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系.師生活動(dòng)：師：前面我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角，也稱為三角形的角，還掌握了內(nèi)角和定理，下面我們來探究一下三角形的外角.生：顧名思義，三角形的角是三角形內(nèi)部的角，那么三形的外角就是三角形外部的/角.如圖7.2-8,/BAC/B、ZA,C是三角形的內(nèi)角，ZBAEE/國力”8CAD?/EAD是三角形外部的角，稱為三角形的外角.師：這位同學(xué)的分析似乎有道理，大家認(rèn)為怎么樣？小組討論后交流.生：不正確，不能這樣想當(dāng)然.外角不

15、是外部的角，而是三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，如/DAC/EAB/DAEM然在三角形的外部,?但它的兩邊都是三角形的延長線，不符合外角的定義，所以它不是外角.師：這位同學(xué)說出了外角應(yīng)具備的條件：角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；角的一邊是三角形的一邊；另一邊是三角形中一邊的延長線，那么在上面的圖7.2-?8中，滿足條件的角（外角）是否只有/DACHZEAB呢？請大家思考后作答.生：不是.在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，所以一個(gè)三角形有6個(gè)外角，？而且同一頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角是對頂角，應(yīng)該相等.師：大家的分析很詳細(xì).那么這些外角與內(nèi)角之間有沒有關(guān)系，如果有，存在什么關(guān)系呢？將是下面我們要解決的問題.如

16、圖7.2-9,ZXABC中，/A=70,/B=60./ACD是ZABC的一個(gè)外角.能由/A,/B求出/ACD陽12 - 90嗎？如果能，/ACDW/A,有什么關(guān)系？你能進(jìn)一步說任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系嗎？生：,/A+/B+/ACB=180)/ACB廿ACD=180./ACD+/B=130.所以三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和.師：根據(jù)剛才這位同學(xué)的邏輯，那么/ACD之A+/ACB/ACDWB+/ACB立嗎？生：不成立.再如圖7.2-10,/A=30,/B=40.則/ACB=110.因?yàn)?ACB+/ACD=180)?所以/ACD=70.那么/ACD=A+/ACB成立

17、嗎？生：不成立.師：為什么呢？那剛才的結(jié)論成立嗎？生：不成立.在上圖中有結(jié)論/ACDWA+/B,本題中有/ACDWA+/B.而/A,/B與/ACDF相鄰，所以上面的結(jié)論應(yīng)改為：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和師：那么外角與其中一個(gè)不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系呢？生：因?yàn)閮蓚€(gè)角的和等于外角，所以外角應(yīng)大于其中任何一個(gè)內(nèi)角師：由此可知三角形內(nèi)角和定理的推論1三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和2三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角嘗試反饋鞏固練習(xí)1 .已知：如圖7.2-11,/BAE/CBDZACE是ABC的三個(gè)外角.求證：/BAF吆CBD藝ACE=360.設(shè)計(jì)意圖：鞏固三角

18、形內(nèi)角和及其推論.師生活動(dòng)：生：證明：/BAFM2+/3,/CBD41+/3,/ACEh1+/2, /BAF吆CBD+ACE=2(/1+/2+/3). /1+/2+/3=180. :/BAF吆CBD+ACE=360.2 .已知：如圖7.2-12,在ABS,/1是它的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長BC到D,連結(jié)DE求證：/1/2.設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)幾何中不等關(guān)系的簡單證明.師生活動(dòng)：證明：7/1是ABC的外角，/1/3./3是4口0E勺外角，/3/2,/1/2.三、課時(shí)小結(jié)本節(jié)課共同探索了三角形內(nèi)角和定理及推論的證明，基本思想是：把三個(gè)內(nèi)角拼在一起，拼成一個(gè)平角；熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角和定理；理解三角形外角的性質(zhì)，并能解簡單問題板書設(shè)計(jì)72與三角形有關(guān)的角活動(dòng)一（探究三角形內(nèi)角和）活動(dòng)二（例題講解）活動(dòng)三（探究三角形的外角與不相鄰的內(nèi)角間的關(guān)系）活動(dòng)與探究在前面討論三角形內(nèi)角和定理的證明時(shí)，證明