高中數(shù)學(xué)選修2-2推理與證明教案及章節(jié)測試及答案

1、推理與證實(shí)一、核心知識1 .合情推理1歸納推理的定義：從個別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論,像這樣的推理通常稱為歸納推理.歸納推理是由局部到整體,由個別到一般的推理.2類比推理的定義：根據(jù)兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們在其他方面也相似或相同,這樣的推理稱為類比推理.類比推理是由特殊到特殊的推理.2 .演繹推理1定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論包括定義、公理、定理等根據(jù)嚴(yán)格的邏輯法那么得到新結(jié)論的推理過程.演繹推理是由一般到特殊的推理.2演繹推理的主要形式：三段論“三段論可以表示為：大前題：M是P小前提：S是M結(jié)論：S是Po其中是大前提,它提供了一個一般性的原理；是小前

2、提,它指出了一個特殊對象；是結(jié)論,它是根據(jù)一般性原理,對特殊情況做出的判斷.3 .直接證實(shí)直接證實(shí)是從命題的條件或結(jié)論出發(fā),根據(jù)的定義、公理、定理,直接推證結(jié)論的真實(shí)性.直接證實(shí)包括綜合法和分析法.1綜合法就是“由因?qū)Ч?從條件出發(fā),不斷用必要條件代替前面的條件,直至推出要證的結(jié)論.2分析法就是從所要證實(shí)的結(jié)論出發(fā),不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子,可稱為“由果索因.要注意表達(dá)的形式：要證A,只要證B,B應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用,不要將它們割裂開.4反證法1定義：是指從否認(rèn)的結(jié)論出發(fā),經(jīng)過邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,證實(shí)結(jié)論的否認(rèn)是錯誤的,從而肯定原結(jié)論是正確的證

3、實(shí)方法.（2） 一般步驟：1假設(shè)命題結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立；從假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾；從矛盾判定假設(shè)不正確,即所求證命題正確.(3)反證法的思維方法：正難那么反.5.數(shù)學(xué)歸納法(只能證實(shí)與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題)的步驟(1)證實(shí)：當(dāng)n取第一個值nO(nOGN*)時命題成立；假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,且kNnO)時命題成立,證實(shí)當(dāng)n=k+l時命題也成立由(1),(2)可知,命題對于從nO開始的所有正整數(shù)n都正確.二、典型例題例1.+=1(reN*),猜測/(x)的表達(dá)式為(B)J(x)+2A-/W=Tr-;B-/W=t；c./(x)=；D./(x)=2,a計算得/(2)=$,/(4

4、)>2,2+2x+x+2x+例2./()=1+L+1+!(eN),23n57/(8)>-,/(16)>3,/(32)>-,由此推測：當(dāng)22時,有22(eNr33例3.：sin23解：一般形式：sin2sin2(a+60')+sin二.+120°)=2-cos2a1-cos(2a+120°)1-cos(2a+240°)+2+231=-cos2a+cos(2a+120°)+cos(2a+240°)22I.=-cos2a+cos2acosl20s-sin2asin120e+cos2cos240fl-sin2asiii2

5、4031r1八6.、1c二一coslacos2asin2a-cos2a+sin2a=3300+sin290°+sin21500=-；sin250+sin265°+sin21250=-22通過觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一般性的命題：證實(shí)：左邊=-(*)并給出(*)式的證實(shí).例4.假設(shè)“,8c均為實(shí)數(shù),且n=X2-2y+=y2-2z+,c=z2-2x+0236求證：中至少有一個大于0.答案：(用反證法)假設(shè)“也c都不大于0,即4«0.40.c«0,那么有a+b+cKO,而r/+Z?+c=(x2-2y+)+(y2-2z+-)+(z2-2x+)=(x-l)2

6、+(y-l)2+(z-l)2+(+)-3236236=(.r-l)2+(y-I)2+(-1)2+"3,.-1)2,(),一1產(chǎn),(1)2均大于或等于o,*3>o,4+c>0,這與假設(shè)“+b+cKO矛盾,故“力,c中至少有一個大于0.例5.求證：1+3+5+(2n+l)=n2(nGN*)三、課后練習(xí)1.數(shù)列1,3,6,10,15,的遞推公式可能是(B)a=1,a】=1,A.B.,a+i=3+(£N')&=品一1+(£'*,力2)Zi=l,fa】=l,CJD.,&+=3+(1)(£N,)=品-1+(-1)N2)解析

7、記數(shù)列為a,由觀察規(guī)律：及比a多2,必比國多3,&比&多=1,4,可知當(dāng)三2時比a-多,可得遞推關(guān)系'_(22,£“).a-&-1=2.用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)等式1+2+3+(+3)=上±"U(WN)時,驗(yàn)證=1,左邊應(yīng)取的項(xiàng)是(D)A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4解析當(dāng)=1時,左=1+2+(1+3)=1+2+4,故應(yīng)選D.3 .f()nA,那么(d)nn-v1十2nA. f()中共有項(xiàng),當(dāng)=2時,f(2)=:+(乙JB. F()中共有+1項(xiàng),當(dāng)=2時,f(2)=S+；+；40clC. f()中共有2項(xiàng),當(dāng)=2時,f(2)

8、=；+14UD. f()中共有2+1項(xiàng),當(dāng)=2時,/(2)=；+；乙WX解析項(xiàng)數(shù)為51)=6+1,故應(yīng)選D.4 .a+,+c=0,那么aZ?+bc+ca的值(D)A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0解析解法1：,.,a+6+.=0,#+萬+/+2aS+2ac+26c=0,WO.5 .c>l,<3=e+1-b=ycylcl,那么正確的結(jié)論是(B)A.a>bB.a<bC.a=bD.a、0大小不定解析=尸一&=*+&,產(chǎn)=&+m,由于正+1>正>0,yc>yci>0,所以c+1c10,所以水上.sin/cosBcosC,

9、、6 .假設(shè)丁丁=丁那么月勿是CA.等邊三角形B.有一個角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一個角是30.的等腰三角形-sin力cosBcosCt解析.丁=丁=丁,由正弦定理得,sin力sin/sinC.sin4cos4coscsinC解析：用n=2代入選項(xiàng)判斷.8 .設(shè)人二尤力二力,f2(x)=/(x),.,fn+M=fnM,nGN,那么/2OO8(X)=解：cosx,由歸納推理可知其周期是49 .函數(shù)/(x)由下表定義：X2531412345假設(shè)4=5,=0,1,2,那么4o()7=4.10 .在數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第25項(xiàng)為7_.11 .同

10、樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的假設(shè)干圖案,那么按此規(guī)律第個圖案中需用黑色得磚4+8塊.(用含的代數(shù)式表示),由f(3)12 .2XABC的三個角A、B、C成等差數(shù)列,求證：+;-oa+bb+c答案：證實(shí)：要證_L+_L=<_,即需證半上+£=3.即證_+L=i0a+bbc又需證.(8+c)+"("+Z?)=(a+X+c),需證+(廠=uc+h"ABC三個角A、B、C成等差數(shù)列.AB=60°.由余弦定理,有序+-加,8s60.,b2-c2+a2-aco成立,命題得證.13 .用分析法證實(shí)：假設(shè)a>0,那么,+十-a2“+!-2.答

11、案：證實(shí)：要證+只需證+4+22“+!+無.vcr.Va>0,.兩邊均大于零,因此只需證(L2+-4+2)2>(«+-!-+V2)2只需證“2+4+4+4、“2+晨“2+2+2+2及(“+3,au-u“只需證+拚斗,+?,只需證/+*2?/+*+2),即證M+,22,它顯然成立.,原不等式成立.0-14 .AA3C中,3Z?=2、行asinB,且cosA=cosC,求證：AABC為等邊三角形.解：分析：由3=2yf3asinB=3sinB=2-73sinAsinB=sinA=A=233由cosA=cosC>A=C.A=C=B3所以A48C為等邊三角形15 .：a、b、c£R,且a+b+c=L求證：a+1)+c2"J證實(shí)由3+Z/22a8,及力2+c?22歷,c'+a,e2ca三式相加得a+b+cab+bc+ca.1. 3(a'+6+/)2(力+廳+d)+2(aZ?+Z?c+ca)=(a+/?+c).由a+b+c=1,得3(a'+斤+/)21,即,J22222223(將一般形式寫成sin2(a-60)+sin2a+sin2(a+60)=