高三高考平面向量題型總結-經典

1、平面向量一、平面向量的根本概念：1 .向量：既有大小又有方向的量叫做.我們這里的向量是自由向量,即不改變大小和方向可以平行移動.向量可以用來表示.向量的符號表示.2 .向量的長度：向量的大小也是向量的長度(或),記作.3 .零向量：長度為0的向量叫做零向量,記作.4 .單位向量：.5 .平行向量和共線向量：如果向量的基線平行或重合,那么向量平行或共線；兩個非零向量方向相同或相反記作規(guī)定：.注意：理解好共線(平行)向量.6 .相等向量：.例：以下說法正確的選項是有向線段就是向量,向量就是有向線段；fffffffa=b,b=c,那么A=c；a/b,b/c,ac假設AB=CD,那么A,b,C,d四點

2、是平行四邊形的四個頂點；所有的單位向量都相等；二、向量的線性運算：(一)向量的加法：1 .向量的加法的運算法那么：、和.(1)向量求和的三角形法那么：適用于任何兩個向量的加法,不共線向量或共線向量；模長之間的不等式關系；首是首,尾是尾,首尾相連例1.AB=&AC=5那么BC的取值范圍例2.化簡以下向量(1) NQ+MN+QP+PM-(2)(BP+BC)+(Cd+AB)+(PlM+MB)(2)平行四邊形法那么：適用不共線的兩個向量,當兩個向量是同一始點時,用平行四邊形法那么;a+b是以a,b為鄰邊的平行四邊形的一條對角線,如圖：例1.(09山東)設P是三角形ABC所在平面內一點,BC+BA=2B

3、P,那么A.PAPB=0B.PAPC=0C.PCPB=0D.PAPBPC=0例2.(13四川)在平行四邊形ABCDK對角線AC與BD交于點O,AB+AD=7AO,那么.九=(3)多邊形法那么2 .向量的加法運算律：交換律與結合律(二)向量的減法：減法是加法的逆運算,a.bA=oA-oB=pApb(終點向量減始點向量)在平行四邊形中,以a、b為鄰邊的平行四邊形中,a+b,a-b分別為平行四邊形的兩條對角線,當a+b=a-b時,此時平行四邊形是矩形.例i.同=6,1bl=8,且a+bHa-bL那么a+bl=la-b=.AR+AC=AR-ACAM=例2.設點M是RC的中點,點A在線段RC#,RC=1

4、6,那么向量的加減運算：例1.08遼寧O、A、R是平面內的三個點,直線AR上有一點C,滿足C92AC=0,那么OGA2OAORR.OA+2ORC.2OA-ORD.OA+2OR3 333例2.15課標全國I設D是三角形ARC所在平面內一點,RC=3CD,那么一1一4AD=ARAC3341ADAR-AC33一1-4-AD=ARACA.33R.一41八ADAR-ACC.33D.例3.12全國在AARC中,AR邊上的高為CD,CR=a,CA=b,a*b=0,a=1,b=2,那么AD例4.10全國在AARC中,點D在邊AR上,CD平分/ACR,假設CR=a,CA=b,a=1,b=2,那么CD=例5.在A

5、ARC中,設D為邊RC的中點,E為邊AD的中點,假設RE=mAE+nAC那么m+n=例6.15北京理在AARC中,點M,N滿足AM=2MC,RN=NC,假設MN=xAR+yAC,那么x=y=12例7.13江蘇設D、E分別是AARC的邊AR、RC上的點,假設AD=AR,RE=RC,假設DE=“1AB23+九2AC%,九2為實數(shù)5那么九1+五2二-一例8.12東北四市一摸在AARC中,設P為邊RC的中點,內角A,R,C的對邊a,b,c,假設cAGaPA+bPR=0,那么AARC的形狀為三實數(shù)與向量的積：1 .定義：實數(shù)九與非零向量a的乘積,a是一個向量,它的長度是,它的方向是.當九=0時,2 .數(shù)

6、乘向量的幾何意義是把向量同方向或反方向擴大或縮小.3 .運算律：設a、b是任意向量,九,N是實數(shù),那么實數(shù)與向量的積適合以下運算:4 .向量共線的判斷：平行向量的根本定理如果a=九6,那么ab；假設ab,b#.,那么存在唯一的實數(shù)九,使得a=?b.假設a、b是兩個不共線的非零向量,那么它們共線的充要條件是存在兩個均不是零的實數(shù)li_-1假設a=兀3+丹62上=,ei+%e2,ei,e2不共線,ab,那么在有意義的前提下,九2匕例1.15課標全國II設向量假設a、b是兩個不平行的向量,向量九a+b與a+2b平行,那么九=44*404例2.09湖南對于非零向量a,b,“a+b=0是“a/b的A.充

7、分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件例3.12四川設a,b都是非零向量,以下四個條件中,使成立的充分條件是Ia|b|A.a=-bB.a/bC.a=2bD.a/b且|a|=|b|5 .單位向量給定一個向量了,與a同方向且長度為1的向量叫做a的單位向量,即AABC,O為定點,P為平面內任意一點.PA+P9PC=0=二假設Op=oArOOC那么P為&ABC3假設OP=OA+九AB+AC,九三0,十元,那么P點的軌跡假設OP=OA+兒,九W0,收,那么P點的軌跡通過ABC的內心假設,那么P點的軌跡是MBC的外心假設,那么P點的軌跡是MBC的垂心例1.10湖北在AABC

8、中,點M滿足MGMRMG0,假設存在實數(shù)m,使得AbAGmAM那么m=例2.在AABC中,重心為G假設2sinAGA+T3sinBGB十3sinCGC=0,那么cosB=一二3-aGAbGBGC=0例3.在AABC中,重心為G假設3,那么A=三、平面向量的根本定理(一)平面向量根本定理內容：如果儲、e2是同一平面內的兩個不共線的向量,那么對這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數(shù)均,九2,使,其中el、e2是一組基底,記作.叫做向量a關于基底的分解式.平面向量根本定理是向量正交分解的依據(jù),是向量坐標運算的根底.注意：只要是不共線的兩個向量都可以作為基底,由于零向量與任一向量都平行,所以零向量一

9、定不能作為基底；基底不唯一；任一向量可以由一組基底來表示,但表示方法是唯一的.例1.(14福建)在以下向量組中,可以把向量5=(3,2)表示出來的是A.e1=(0,0)=(1,2)b.ei=(-1,2)佇=(5,-2)C.e=(3,5)=(6,10)D.e1=(2,3),e=(-2,3)例2.(09安徽)在平行四邊形ABCM,E,F分別是CDBC的中點,假設AC=?uAE十RAF,那么九十R=_(二)平面向量根本定理與向量共線條件的綜合應用設A,B是直線l上兩點,.是直線外一點,對于直線上任意一點P,存在t三R,使成立.反之,滿足上式的點P在直線l上.特別地,當P為A,B的中點時,那么.例1.

10、O、A、B是平面內的三個點,線段BA的延長線上有一點C,滿足3AGC&0那么OCA30A2OBB.20A+3OBC.-0A-10BD.-0A+-0B2222例2.數(shù)列In)是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,假設平面上的三個不共線的向量0AOB0(W足OB=a1OA+a2006一0C且A,B,C三點共線,那么S2006=例3.向量i,j不共線,且aB=i+mj,AD=ni+j,假設A,B,D三點共線,那么實數(shù)m,n應滿足的條件A.mn=1B.mn-TC.mn=1D.mn-1例4.(07江西)如圖,在ABC中,設.為邊BC的中點,過點0的直線交直線AB、AC于不同兩點M,N.假設AB=mAMAC=nA

11、N,那么m+n=mn的最大值為例5.在&ABC中,設M為邊BC的任意點,N為AM中點,ANuAbRAC,那么九+艮=例6.在AABC中,設M為邊BC的中點,N為AM中點,AN=,AB+NAC那么九+N=.例7.如圖,在AABC中,設D為邊BC的中點,G為AD中點,過G任作一條直線MN分別交AB、AC于M,N兩點,假設AMhxAB,一之11.AN=yAC,試問一+是否為定值?四、平面向量的正交分解與向量的直角坐標運算：(一)向量的正交分解與向量的直角坐標1 .向量的垂直：如果兩個向量的基線互相垂直,那么這兩個向量互相垂直；2 .向量的正交分解：如果基底的兩個基向量互相垂直,那么稱這個基底為正交基

12、底,在正交基底下分解向量,叫做正交分解.3 .在平面直角坐標系下,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量作為基底,對于平面內任一向量有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=xe+ye2.有序數(shù)對(x,y)叫做a的坐標,記作a=(x,y)注意：(1)每一個向量都可以用一對有序實數(shù)對來表示,向量有代數(shù)法和幾何法兩種表示.(2)符號(x,y)有了雙重的意義,既可以表示固定的點,又可以表示向量；平面向量的坐標只與始點和終點坐標有關,只有點始點在原點時,向量的坐標才與終點的坐標相等.(二)向量的坐標運算1 .假設a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=.2 .假設A=(x1,yj,B=(X2,y2)

13、,貝UAB=|AB|=3 .假設a=(x,y),九wr,那么心=4 .假設a=(x1,y1),b=(x2,y2),5/b,那么有.5 .三角形ABC的重心坐標公式為五、平面向量的數(shù)量積：1 .平面向量數(shù)量積的定義向量a,b的夾角兩個非零向量a,b,過點O作OA=a,OB=b,那么NAOB=6(工叫作向量a,b的夾角.當時,a與b垂直,記作.當時,a與b平行或共線.注意：理解什么是兩向量的夾角以及兩向量夾角的范圍.向量a,b的數(shù)量積兩個非零向量a與b,它們的夾角為e,那么把叫做向量a,b的數(shù)量積(內積),記作.規(guī)定0a=0向量數(shù)量積的幾何意義.2 .向量數(shù)量積的性質設a,b是非零向量,e是與b方

14、向相同的單位向量,日是a與e的夾角,那么 ea=a,e=acosQ a_Lbu當a,b同向時,a,b=.當a,b反向時,ab=特別地,a*a= cos9=a,bab3 .向量的數(shù)量積的運算律：注意：向量的數(shù)量積無律,無律.4 .數(shù)量積的坐標運算假設a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a,b=假設a=(x,y),那么aa=a2=2=目=假設a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab的充要條件為a=(Xi,yjb=(X2,y2),那么ab的充要條件為求角問題：假設非零向量a=x1,y1,b=x2,y2,日是a,b的夾角,那么cos6=注意：向量有幾何法和坐標法兩種表示,它的運算也有兩

15、種方式即基于幾何表示的幾何法和基于坐標表示的代數(shù)法.典型例題一向量數(shù)量積的幾何運算,注意兩個向量的夾角,利用平面向量的根本定理選好基底例1.對任意向量a,b,以下關系式中不恒成立的是B.C.-2=a+bD.aba-b=a2-b2例2.向量a,b,c,滿足a=1,b|=2,C=a+b,且6,3,那么向量a與b的夾角為例3.(11江西)a=b=2,(a+2b)*(ab)=2,那么a,b的夾角為例4.13全國兩個單位向量a,b的夾角為60:C=ta+1tb,假設b*C=0那么1=例5.13江西設自、e2為單位向量,儲與4的夾角為,假設5=3+3弓力=23,那么向量a在b方向3的射影為222例6.向重

16、a,b,c,滿足a+b+c=0,ab_Lc,a_Lb,右a=1,那么a|+|b+同=1,a,-AO=ABAC例7.14課標全國A,B,C為圓.上的三點,假設2,那么AB與AC的夾角為例8.10湖南在直角三角形ABC中,NC=90,AC=4,那么ABAC=例9.15湖北向量OA1AB,OA=3,那么OAOB=例10.如圖,在平行四邊形ABCD中,APXBD,垂足為P,且AP=3,那么APAC=例11.在三角形ABC中,/A=60：AB=2,AC=1,E,F為邊BC的三等分點,那么AE*AF=例12.12天津三角形ABC為等邊三角形,AB=2,點P,Q滿足AP=AB3AQ=1-九AC,九wR,假設

17、BQCP=,那么兒=2例13.13山東向量A*ACE角120,AB=3,AC=2,AP=,*AbAC,且APBC=.那么實數(shù)九的值o例14.13天津在平行四邊形ABCD中,AD=1,NBAD=60,E為邊CD的中點,假設ACBE=1,那么AB的長為例15.后石夾角為,a=J3,bj=2,在三角形ABC中,AB=2m+2n,一AC=2m6n,D為邊BC的中點,那么AD=例16.AD與BE分另1J是AABC的中線,假設AD=BE=1AD與BE的夾角為120n,貝UAB*AC=例17.15四川設四邊形ABCD為平行四邊形,AB=6,AD=4,假設M,N滿足BM=3MC,DN=2NC,那么AM*而=例

18、18.12浙江在三角形ABC中,點M為BC的中點,AM=3,BC=10,那么AB.AOTTTTT例19.09陜西設M為AABC邊BC的中點,AM=1,點P在AM上,滿足AP=2PM那么PAPbP.=L例20.設O是三角形ABC的外心,OD_LBC,AB=d3,AC=1,那么AD,ABAC=例21.在三角形OAB中,OA=4,OB=2,點P是AB的垂直平分線l上任一點,那么AB*OP=例22.O是三角形ABC的外心,假設AB=3,AC=5,那么AO*BC=TTTTT例23.假設三角形ABC內接于O以為圓心,1為半徑的圓,3OA+4OB-5OO0,那么OC,AB=例24.非零向量a,b,a=“3,

19、fx=x3十ax2+2abx十1在R上有極值,那么a,b的取值范圍為例25.10全國圓.的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為切點,貝Upa*pB勺最小值為典型例題二：對于有明顯的直角關系的向量問題幾何法與代數(shù)法的轉化建立平面直角坐標系與線性規(guī)劃問題聯(lián)系,向量的例1.(13湖北)點A(-1,1),B(1,2)C(-2,-1),D(3,4),那么向量ABCDT向上的投影為例2.(12重慶)設x,ywR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),a1b,b/c,那么a+b=V3x-y0/一_1_TT例3.點A(3,J3),O是坐標原點,點P(x,y)的坐標滿足xJ3y+2之0

20、,設z為OABOF的投影,y至0那么z的取值范圍例4.(13福建)在四邊形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),那么四邊形的面積為例5.09湖南如圖,兩塊斜邊長相等的直角三角板在一起,假設_.2例6.OA|=1,OB=k,/AOB=兀,點C在/AOBOA=0,假設OC=2mOA+mOBOC=243,那么k=例7.09天津假設等邊三角形的邊長為2J3,平面上一點M,滿足品1搗2cA63貝Uma.mb=例8.11天津直角梯形ABCD中,AD/BC,/ADC=90：AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,那么|PA+3PB的最小值為L-例9.12江蘇如圖,在矩形ABCD中,AB=J2,B

21、C=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,假設ABAF=,2,貝UAEBF=例10.在直角角形ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P是線段CD的中點,那么仔A十|PB2PC例11.13全國正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點,那么AEbd=例12.13重慶在平面上,葩,麗,畫=|同=1而=福+屜,假設阿V,那么15A的取值范圍是例13.12北京正方形ABCD的邊長為1,點E為AB邊上的動點,那么DECB=de,dcM最大值為例14.平面上三個向量OAOBOC滿足OA=1,OB=J3,OC=1,OAOB=0那么CAcB勺最大值為例15.三角形ABC中,/C=60：AC=2,BC=1,點M是AA

22、BC內部或邊界上一動點,N是邊BC的中點,那么AN.aM勺最大值為例16.15福建靠,記網假設點P是三角形ABC所在平面內一點,AP=AB4ACABAC那么PBPC的最大值為例17.09全國設是a,b,c單位向量,a,b=0,那么a-c,b-c的最小值為例18.13湖南a,b是單位向量,a*b=0,假設向量c滿足|c-a-b|=1,那么|c|的取值范圍例19.11遼寧假設a,b,c單位向量,a*b=0,a-c*b-c0,那么|a+b-c|的最大值為1例20.11全國設向重a,b,c,滿足|a|=|b|=1,ab=-,=60,那么|c|的最大值為2例21.14安徽在平面直角坐標系xOy中,a,b是單位向量,a*b=0,假設Q點滿足0Q=2a+b,曲