【13朝陽二?！勘本┦谐枀^(qū)高三年級第二次綜合練習理科數(shù)學.解析版

1、北京市朝陽區(qū)高三年級第二次綜合練習數(shù)學學科測試理工類2022.5考試時間120分鐘總分值150分本試卷分為選擇題共40分和非選擇題共 110分兩局部第一局部選擇題 共40分、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1集合 M 0,1,3，集合Nxx 3a,a M ，那么 M U N =A. 0B. 0,3C. 1,3,9D. 0,1,3,9【答案】D【解析】N 0,3,9,MUN 0 ,1 ,3,9【考點】集合的運算、并集12假設(shè)ox2 mxdx 0，那么實數(shù)m的值為12C.1A.B.33【答案】B【解析】1(x201 312 1mx)dx (

2、_ xmx ) 1°1 1(m) 00323 2解得m 3【考點】微積分根本定理D.23執(zhí)行如下列圖的程序框圖假設(shè)輸出的結(jié)果是16，那么判斷框內(nèi)的條件是A. n 6?B. n 7C.8?D. n 9?第3題圖第5題圖【答案】C【解析】列舉法：S=0 14 9 16n=1 3 5 7 9那么7不滿足條件，9滿足條件，應(yīng)選擇 C【考點】程序框圖、條件的判斷2y x 2有公共點，那么此雙曲線2 24假設(shè)雙曲線X2每1(a 0,b 0)的漸近線與拋物線a b的離心率的取值范圍是A. 3,)【答案】A2【解析】雙曲線仔aB. (3,)C. (1,3D. (1,3)2b 1(a 0,b0)的漸近

3、線為y xabxa2x得x22-x 20,a(-)2 8a0，那么(-)2a所以【考點】1 圓錐曲線、雙曲線的離心率5某三棱錐的三視圖如下列圖，那么該三棱錐的體積為1A.-6【答案】A【解析】1B.-3C.D. 1S3 26【考點】三視圖、求椎體體積6某崗位安排3名職工從周一到周五值班，每天只安排一名職工值班，每人至少安排一 天，至多安排兩天，且這兩天必須相鄰，那么不同的安排方法有A. 10種B. 12種C. 18種D. 36種【答案】C【解析】c3 c3 A2 18【考點】排列組合7函數(shù)f(x) a 2x 1(a 0)，定義函數(shù)F(x) f(x)， x 0,給出以下命題： f(x), x 0

4、. F(x) f(x)； 函數(shù)F(x)是奇函數(shù)； 當a 0時，假設(shè)mn 0, m n 0 ,總有F(m) F(n) 0成立，其中所有正確命題 的序號是A.B.C.D.【答案】D【解析】畫出函數(shù)f (x) a 2鬥1(a0)的草圖當a 0時當a 0時顯然，錯；正確；對于，mn 0,m n 0,m n由圖知，F(xiàn)(x)為減函數(shù)，所以F(m) F( n)F(n)，推出 F(m) F(n) 0 ,正確;如圖，建系當P與A重合時，PAPC1 PA PC10故A、b排除;A(1,0,0) G(0,1,1)P(x,y, 0)(0 x1,0y1),，設(shè)PA (1 x, y, 1),PG(x ,1 y ,0)亠L

5、 221 21 211PAPC1x x y y(x J (y122所以答案選D【考點】函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)8點P是棱長為1的正方體ABCDABQiDi的底面ABiGDi上一點，貝U PA PCi的取值范圍是1A. 1,-4【答案】DB.-C. 1,0【解析】【考點】空間向量與立體幾何第二局部非選擇題 共110分、填空題：本大題共 6小題，每題5分，共30分.把答案填在答題卡上9i為虛數(shù)單位，計算【答案】2 i【解析】口(3 i)(1 ° 2 i1 i (1 i)(1 i) 2【考點】復數(shù)的運算x 2cos10假設(shè)直線I與圓C :'為參數(shù)相交于 A , B兩點，y 1

6、 2si n且弦AB的中點坐標是(1, 2)，那么直線I的傾斜角為 .【答案】n4【解析】將C: X 2cos ,化為直角方程得x2 (y 1)2 4，圓心為(0, 1)y 1 2si n圓心與AB的中點連線的斜率為1 ,所以I斜率為1，故傾斜角為-4【考點】參數(shù)方程、直線與圓11如圖,那么tanPC切圓O于點C，割線PAB經(jīng)過圓心O , PCCOP , OBC的面積是.4,PB【答案】-3【解析】由切割線定理，PC2PAPB，又 PC 4,PB8，故PA所以AB 6,那么OC3 ,易知，OC CP，那么 tanCOPPCOC過C作CD OP ,由OCPCOP CD ,得 CD 1251q c

7、口 rn185432【考點】幾何證明選講12丨某公司一年購置某種貨物 600噸，每次都購置x噸，運費為3萬元/次，一年的總存儲 費用為2x萬元，假設(shè)要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，那么每次需購置 噸.【答案】30【解析】y 600 3 2x 1800 2x 2 3600120，當且僅當 1800 2x，即 x 30xxx【考點】均值不等式、實際應(yīng)用題3x 4y 19,13將一個質(zhì)點隨機投放在關(guān)于x,y的不等式組 x 1,所構(gòu)成的三角形區(qū)域內(nèi)，那么y 1該質(zhì)點到此三角形的三個頂點的距離均不小于1的概率是.【答案】1 -12【解析】如圖，畫出區(qū)域,y71只需求質(zhì)點落入陰影局部的概率,【考點】

8、線性規(guī)劃、幾何概型12 n1271121,3,7,' ',2n 1(n N )，從集合 An14數(shù)列2n 1的前n項1,3,7,2n 1組成集合An中任取k (k 1,2,3，,n)個數(shù)，其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為Tk假設(shè)只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身，記£T1T2"Tn.例如當n 1時，A1 , T11 , S11 ；當 n 2 時，A,1,3 , T13 ,T21 3 , S213 1 37 .那么當n 3 時，S3 ;試寫出Sn .n(n 1)【答案】63, 2丁 1【解析】當 n 3 時，A 1,3,7 , T1 1 3 7, T2 1 3 1

9、7 3 7, T3 1 3 7令 an 2n 1Sn(ai a2 an)(禺比 禺氏 an ian) a£2an(a 1)(a21)(an 1) 121 22 2n 1n(n 1)2= 1【考點】新定義型數(shù)列三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程15本小題總分,值13分在厶ABC 中，A, B,C所對的邊分別為a,b,c，且f(A)AA2A2 A2cos sin()sinCOS222 2I求函數(shù)f(A)的最大值;假設(shè) f (A) 0,C, a .6，求 b 的值.12【答案】I2n3【解析】15本小題總分值13分解:I因為 f (A) 2cos

10、 sin_A sin2"A cos2 2 2 2 2si nA cos A2 si n(A ).4因為A為三角形的內(nèi)角，所以 0 A ,所以a .444所以當A，即A 時，f(A)取得最大值，且最大值為2 .424n由題意知 f (A)2 sin(A) 0，所以 sin( A ) 0 .44又因為一 A ，所以A0 ,所以A -.44444又因為C ，所以B .123由正弦定理 asin Ab得，b sin Ba sin B6 sin33 .sin 413分sin A【考點】三角函數(shù)、解三角形16本小題總分值14分如圖，四邊形 ABCD是正方形,EA 平面 ABCD , EA 用 P

11、D , AD PD 2EA 2 ,F , G , H分別為PB, EB , PC的中點.DCI求證：FG 平面PED ;求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小;川在線段PC上是否存在一點 M ,使直線FM與直線PA所成的角為60 ?假設(shè)存在，求出線段PM的長；假【答案】I略n-川耳44【解析】16本小題總分值14分不存在，請說明理由設(shè)I證明：因為 F ,G分別為PB , BE的中點, 所以FG PE .又FG 平面PED , PE 平面PED , 所以FG 平面PED .因為 EA 平面 ABCD , EA PD ,所以PD 平面ABCD ,所以 PD AD , PD CD .又因為四邊形

12、 ABCD是正方形，所以AD CD .如圖，建立空間直角坐標系，因為 AD PD 2EA 2 ,所以 D 0,0,0 , P 0,0,2 , A 2,0,0 ,C 0,2,0 , B 2,2,0 , E(2,0,1).因為F , G , H分別為PB , EB , PC的中點,叫.設(shè)n1Xi，yi，zi為平面FGH的一個法向量，那么ni GFXi再令yi i，得 ni(0,1,0) . PB (2,2, 2) , PCni GH(0,2, 2)2x!1zi 02丄z 02設(shè)韭X2,y2,Z2為平面PBC的一個法向量，那么n2 PBn2 PC2x2 2y2 2z22y2 2z200，令 Z2i，

13、得 n2(0,i,i).所以cosni,門盯=卜n2|_血ni乜 2d d所以F i,i,i , G (2,i,丄),H (0,i,i).所以 GF ( i,0,-) , GH (2-所以平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小為4川假設(shè)在線段 PC上存在一點M ,使直線FM與直線PA所成角為60 .依題意可設(shè) PM PC ,其中0由 PC (0,2, 2),那么 PM (0,2又因為 FM FP PM , FP (i,i,i)，所以 FM ( i,2i,i 2 ).因為直線FM與直線PA所成角為60 , PA (2,0, 2),所以 cosSmIpA；#1，即 1' / 2 ：，解得

14、22 212(2 i)2所以PM 礙彳,PM所以在線段PC上存在一點M ,使直線FM與直線PA所成角為60，此時PM 口 .4 i4分【考點】空間向量與立體幾何、動點問題 17本小題總分值13分為提高學生學習數(shù)學的興趣，某地區(qū)舉辦了小學生“數(shù)獨比賽比賽成績共有90分,70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績共分五個等級從參加比賽的學生中隨機抽取了 30名學生，并把他們的比賽成績按這五個等級進行了統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)表:成績等級ABCDE成績分9070604030人數(shù)名461073I根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，試估計從本地區(qū)參加“數(shù)獨比賽的小學生中任意抽取一人， 其成績等級為“ A或B的概率；n

15、根據(jù)I的結(jié)論，假設(shè)從該地區(qū)參加“數(shù)獨比賽的小學生參賽人數(shù)很多中任 選3人，記X表示抽到成績等級為“ A或B的學生人數(shù)，求 X的分布列及其數(shù)學期 望EX ;川從這30名學生中，隨機選取 2人，求“這兩個人的成績之差大于20分的概率.【答案】I1；3n隨機變量 X的分布列為X0123P8421279927所以EX 0 11226131 .27272727川3487【解析】17本小題總分值13分解：I根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，從這30名學生中任選一人，分數(shù)等級為“A或B 的頻率為殳2 10 1 .30 30 30 3A或B的概率約從本地區(qū)小學生中任意抽取一人，其“數(shù)獨比賽分數(shù)等級為為1 . 3分3 n由得，

16、隨機變量 X的可能取值為0, 1 , 2, 3.所以PX0)C0(1)0 c3(3)(3)3827 ；P(X1)1 1 1C3(：)2 2 仁124 .-;332792 1 22 162P(X2)C3;33279_ 3x 31P(X3)。3-一3327隨機變量X的分布列為X0123P_8_42丄279927所以 EX 0 1 12 2 3 1 . 9 分27272727川設(shè)事件 M :從這30名學生中，隨機選取 2人，這兩個人的成績之差大于20分.所以P(M )3487所以從這30名學生中,3487 °【考點】概率分布列、二項分布隨機選取2人，這兩個人的成績之差大于13分20分的概率

17、為設(shè)從這30名學生中，隨機選取 2人，記其比賽成績分別為 m, n .不妨設(shè)m n ,60或40或30,其根本領(lǐng)件數(shù)為c；(G1。c7 c3)；當m90 時，n當m70 時，n40或30 ,其根本領(lǐng)件數(shù)為&(c7；當m60 時，n30 ,其根本領(lǐng)件數(shù)為C；0c3 ；顯然根本領(lǐng)件的總數(shù)為c3。.(c；o c7 c3)c6(c7 c；)C；oc318本小題總分值13分函數(shù) f(x)專竺 1 m 0，g(x) X2eax(a R). x 1I求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；n當m 0時，假設(shè)對任意X1,X20,2 , f(X1)g(x2)恒成立，求a的取值范圍【答案】I當m 0時，函數(shù)f(x)的單

18、調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，1),(1,)當m 0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1), (1,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,1).na的取值范圍是(，In 2.【解析】18本小題總分值1 3分解：I函數(shù)f(x)的定義域為R , f(x)理一羋m(1 2x)(12x). 1分(x2 1)2(x2 1)2當m 0時，當x變化時，f (x) , f (x)的變化情況如下表：x(,1)(1,1)(1,)f (x)f(x)/所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(，1) , (1,).3分當m 0時，當x變化時，f (x) , f (x)的變化情況如下表：x(,1)

19、(1,1)(1,)f (x)f(x)X所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(1,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,1).5分依題意，"當m 0時，對于任意X1,X2 0,2 , f(xj g(x?)恒成立等價于 "當m 0時，對于任意 X 0,2 ,f (x)min g(x)max 成立當m 0時，由I知，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，在1,2上單調(diào)遞減,因為 f(0)1,f(2)1,所以函數(shù)f (x)的最小值為f(0)1.所以應(yīng)滿足g(x)max 1.因為 g(x) x2eax,所以 g (x) (ax2 + 2x)eax.當a 0時，函數(shù)g(x) x2,x 0,2 ,

20、g(x)maxg(2)4 ,顯然不滿足g(x)max 1，故a 0不成立.8分2當a 0時，令g (x) 0得，捲0, X22.a2i當 2，即 1 a 0時，a在0,2上g (x)0 ,所以函數(shù)g(x)在0,2上單調(diào)遞增，所以函數(shù) g(x)max g(2) 4e2a .由 4e2a 1 得，a ln 2，所以 1 a In 2. 10 分2ii當 022，即 a 1 時，a22在0,)上 g(x) 0，在(,2上 g(x) 0,aa所以函數(shù)g(x)在0,2)上單調(diào)遞增，在(-,2上單調(diào)遞減,aa所以 g(x)maxg( -).a a e4211分12分13分由1得，a,所以a 1.a ee2

21、iii當 0 ,即 a 0時,顯然在0,2上 g (x)0 ,a函數(shù)g(x)在0,2上單調(diào)遞增，且g(x)max g(2) 4e2a.顯然g (x) max4e2a 1不成立，故a 0不成立.綜上所述，a的取值范圍是(，In2.【考點】函數(shù)與導數(shù)、單調(diào)區(qū)間、恒成立問題雙變量19本小題總分值14分2 2橢圓C:% 吿 1(a b 0)的右焦點為F (1,0)，短軸的端點分別為 B1,B2, a b且 FBt FB2a .I求橢圓C的方程；n過點F且斜率為k (k 0)的直線l交橢圓于M ,N兩點，弦MN的垂直平分線與 x軸相交于點D .設(shè)弦MN的中點為P，試求|3耳的取值范圍.|mn|【答案】2

22、 2Ix_ y_431;n(0,(0,二).)4【解析】19本小題總分值14分解：I依題意不妨設(shè)B(0,b) , B2(0, b)，那么 FB1( 1, b) , FB2( 1,b)由 FB1 FB2a ,得1 b2a .又因為a2b2 1 ,解得a 2,b3.2 2 所以橢圓C的方程為1上1.43依題直線丨的方程為y k(x 1).y k(x由 22由 x y1)，1 得 (32 24k )x2 28k x 4k 120.設(shè) M (xi, yi),N(X2,y2)，貝U Xi8k1 2 X 3 4k2XiX4k2 123 4k2所以弦MN的中點為P( 4 23 4k 3 4k所以 MN .

23、(Xi X2)4【考點】圓錐曲線、橢圓、弦長問題20本小題總分值13分 (yi y2)2. (k2 1)(xi x?)2 4x2(k21)64k2 2(3 4k )24(4 k 12)4k2 12(k2 i)4k2直線PD的方程為3k24k23于X廠4k33 . k2(k21)2 4 k233k2(k21)4 k2312(k21)所以DP14lk21k24 k23所以僦那么D(k(xk24k2k2出)2 丿?4k2311分12分又因為k20所以0的取值范圍是1414分實數(shù) Xi,X2,Xn n 2 丨滿足 Ixl 1(i 1,2,3,n)，記 S(xX2,，x.)I求XiXj .1 i j n2n當n 3時，求SgKx)的最小值;川求S(Xi,X2，,Xn)的最小值.注:XXj表示X1,X2，Xn中任意兩個數(shù)1 i j nXi ,Xj 1n丨的乘積之和.由得S(1,1, 1, 1)1111S(", 3)2.nSmin1(n 1)2【解析】20本小題總分值川Smin13分2) 13S(1,1, 1, 1) 1 11 11解：I由得S( 1,1,n設(shè) s S(x1 ,x2, x3).當 n 3 時，S S(x! ,x2, Xg)XXjj 3NX2X1X3X2X3.假設(shè)固定X2, X3，僅讓X1變動，此時SX1X2X1X3X2X3(X2X3)X1X2X3,S( 1,