211曲線與方程

1、2.1 曲線與方程2.1.1 曲線與方程第二章 圓錐曲線與方程探究點探究點1 1 曲線的方程與方程的曲線曲線的方程與方程的曲線問題問題1 1：在直角坐標系中，平分第一、三象限的直：在直角坐標系中，平分第一、三象限的直線和方程線和方程x x- -y=y=0 0有什么關系？有什么關系？xOyx-y=0),(00yxM(1)(1)在直線上任找一點在直線上任找一點 則則是方程是方程x-y=0 x-y=0的解；的解；00(,),M xy0000, xyxy，即即（）(2)(2)如果如果 的解，那么的解，那么00(,) .xy以以為為坐坐標標的的點點在在直直線線上上000(,)xyxy是是圖象上的點圖象上

2、的點M M與此方程與此方程 ，有什么關系？有什么關系？222()()xaybr問題問題2 2：方：方程程表示如圖的圓，表示如圖的圓，222()()xaybr（1 1）圓上任一點）圓上任一點 22200(,)()()的的坐坐標標是是方方程程M xyxaybr( , ) .為為坐坐標標的的點點在在以以為為圓圓心心，以以 為為半半徑徑的的圓圓上上a br22002002(,)()()(,) （ ）若若是是方方程程的的解解，則則以以xyxaybrxy的解的解. .0 xy00(,)M xy222()()xaybr.按某種規(guī)律運動按某種規(guī)律運動幾何對象幾何對象x,y制約關系制約關系代數(shù)表示代數(shù)表示點點曲

3、線曲線C C坐標（坐標（x,y）方程方程f(x,y)=0 通過探究可知，在直角坐標系建立以后，平面內通過探究可知，在直角坐標系建立以后，平面內的點與數(shù)對（的點與數(shù)對（x,yx,y）建立了一一對應關系）建立了一一對應關系. .點的運動形點的運動形成曲線成曲線C C，與之對應的實數(shù)對的變化就形成了方程，與之對應的實數(shù)對的變化就形成了方程f f( (x x, ,y y)=0.)=0.曲線的方程與方程的曲線曲線的方程與方程的曲線 一般地，在直角坐標系中，如果某曲線一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C C（看（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一

4、個二元方程個二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：的實數(shù)解建立了如下的關系：（1 1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；）曲線上點的坐標都是這個方程的解； （2 2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點. . 那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線. . 由曲線的方程的定義可知，如果曲線由曲線的方程的定義可知，如果曲線C C的方程為的方程為f(x,y)=0, ,那么點那么點 在曲線在曲線C C上的等價條件是上的等價條件是000(,)P xy000(,).f xy

5、 問題問題3:3:曲線曲線C C上點的坐標都是方程上點的坐標都是方程f f( (x x, ,y y)=0)=0的解，的解，能否說能否說f(x,y)=0f(x,y)=0是曲線是曲線C C的方程？的方程？ 解：解：不能，還要驗證以方程不能，還要驗證以方程f f( (x x, ,y y)=0)=0的解為坐標的解為坐標的點是不是都在曲線上的點是不是都在曲線上, ,如如, ,以原點為圓心，以以原點為圓心，以2 2為為半徑的圓上半部分和方程半徑的圓上半部分和方程. 422 yx【提升總結提升總結】問題問題4 4：曲線的方程與方程的曲線有什么區(qū)別？：曲線的方程與方程的曲線有什么區(qū)別？ 曲線的方程與方程的曲線

6、是兩個不同的概念，曲線的方程與方程的曲線是兩個不同的概念，“曲線的方程曲線的方程”強調的是圖形所滿足的數(shù)量關系；而強調的是圖形所滿足的數(shù)量關系；而“方程的曲線方程的曲線”強調的是數(shù)量關系所表示的圖形強調的是數(shù)量關系所表示的圖形. .兩兩者通過曲線上的點的坐標建立起一一對應關系，使方者通過曲線上的點的坐標建立起一一對應關系，使方程成為曲線（幾何圖形）的代數(shù)表示，從而將研究曲程成為曲線（幾何圖形）的代數(shù)表示，從而將研究曲線的性質轉化到討論相應方程的問題上線的性質轉化到討論相應方程的問題上. . 例例1 1 證明與兩條坐標軸的距離的積是常數(shù)證明與兩條坐標軸的距離的積是常數(shù)k(k0)k(k0)的點的軌

7、跡方程是的點的軌跡方程是xy=xy=k .k .證明：證明：（1 1）設）設 是軌跡上的任意一點是軌跡上的任意一點. .因為點因為點M M與與x x軸的距離為軸的距離為 ，與，與y y軸的距離為軸的距離為 ，所以所以00(,)M xy0 x0y00,xyk00(,).xyxyk 即即是是方方程程的的解解1112(,)Mxyxyk （）設設點點的的坐坐標標是是方方程程的的解解，則則11.xyk即即11,x yk 而而 正是點正是點M M1 1到縱軸、橫軸的距離，因到縱軸、橫軸的距離，因此點此點M M1 1到這兩條直線的距離的積是常數(shù)到這兩條直線的距離的積是常數(shù)k k，點，點M M1 1是是曲線上

8、的點曲線上的點. . 由由(1)(2)(1)(2)可知可知, , 是與兩條坐標軸的距離的是與兩條坐標軸的距離的積為常數(shù)積為常數(shù)k k( (kk0)0)的點的軌跡方程的點的軌跡方程. .11xy，xyk C C例例2 2 方程方程x x2 2y y2 21(xy0)1(xy0)的曲線形狀是的曲線形狀是 ( () )解析：解析：選選C.C.方程方程x x2 2y y2 21 1表示以原點為圓心，半徑為表示以原點為圓心，半徑為1 1的單位圓，而約束條件的單位圓，而約束條件xy0 xy0則表明單位圓上點的橫、則表明單位圓上點的橫、縱坐標異號，即單位圓位于第二或第四象限的部分縱坐標異號，即單位圓位于第二

9、或第四象限的部分故選故選C.C.解析：解析：選選C.C.由由x x2 2xyxyx x，得，得x(xx(xy y1)1)0 0，即即x x0 0或或x xy y1 10.0.由此知方程由此知方程x x2 2xyxyx x表示兩條直線表示兩條直線故選故選C.C.【變式練習變式練習】方程方程x x2 2xyxyx x表示的曲線是表示的曲線是( () )A A一個點一個點 B B一條直線一條直線C C兩條直線兩條直線 D D一個點和一條直線一個點和一條直線C C1.1.若命題若命題“曲線曲線C C上的點的坐標都是方程上的點的坐標都是方程f(xf(x，y)y)0 0的解的解”是正確的，則下列命題為真命

10、題的是是正確的，則下列命題為真命題的是( () )A A不是曲線不是曲線C C上的點的坐標，一定不滿足方程上的點的坐標，一定不滿足方程f(xf(x，y)y)0 0B B坐標滿足方程坐標滿足方程f(xf(x，y)y)0 0的點均在曲線的點均在曲線C C上上C C曲線曲線C C是方程是方程f(xf(x，y)y)0 0的曲線的曲線D D不是方程不是方程f(xf(x，y)y)0 0的解，一定不是曲線的解，一定不是曲線C C上的點上的點 思路探索思路探索 從定義入手，考查定義中的兩個條件從定義入手，考查定義中的兩個條件D D2.2.下面四組方程表示同一條曲線的一組是下面四組方程表示同一條曲線的一組是(

11、() )A Ay y2 2x x 與與 y yB By ylg xlg x2 2 與與 y y2lg x2lg xC. C. 1 1 與與 lg (ylg (y1)1)lg (xlg (x2)2)D Dx x2 2y y2 21 1 與與 |y|y|x12yx 21x 解析：解析：選選D.D.主要考慮主要考慮x x與與y y的范圍的范圍. .D D3.3.方程方程y y 所表示的曲線是所表示的曲線是_122 xx211(): yxx解解析析答案：答案：以以(1(1，0)0)為端點的兩條射線為端點的兩條射線4.4.已知曲線已知曲線C C的方程為的方程為x x ，說明曲線，說明曲線C C是什是什么

12、樣的曲線，并求該曲線與么樣的曲線，并求該曲線與y y軸圍成的圖形的面積軸圍成的圖形的面積24y 解：解：由由x x ，得，得x x2 2y y2 24 4，又，又x0 x0，所以方程所以方程x x 表示的曲線是以原點為圓心，表示的曲線是以原點為圓心，2 2為半徑的右半圓為半徑的右半圓, ,從而該曲線從而該曲線C C與與y y軸圍成的圖形是半圓，軸圍成的圖形是半圓，其面積其面積S S 4 42.2.所以所求圖形的面積為所以所求圖形的面積為2.2.1224y24y 在軌跡的基礎上將軌跡和條件化為曲線和方程，在軌跡的基礎上將軌跡和條件化為曲線和方程，當說某方程是曲線的方程或某曲線是方程的曲線時當說某方程是曲線的方程或某曲線是方程的曲線時就意味著具備上述兩個條件，只有具備上述兩個方就意