車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案-薛武

1、歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 1車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案 薛武，楊銘和，倪冉指導(dǎo)老師：指導(dǎo)小組（北京化工大學(xué)，北京100029）編者按本文的主要特點(diǎn)是：在建立反射光強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型時(shí)，用反射點(diǎn)投影至測(cè)試屏目標(biāo)點(diǎn)的變換的Jacobi行列式來刻畫反射面元面積與該面元的反射光在測(cè)試屏照射到的微元面積之間的精確關(guān)系，并給出了相應(yīng)的近似模型。遺憾的是在實(shí)際離散化計(jì)算時(shí)，作者們做了過度的簡(jiǎn)化，未能真正應(yīng)用上述模型，計(jì)算結(jié)果偏小。摘要本問題是一個(gè)車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。首先，我們建立了一個(gè)連續(xù)的數(shù)學(xué)模型來描述這個(gè)優(yōu)化問題，此模型研究了線光源上任意一點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物面反射后到達(dá)光屏的情況， 對(duì)于給定的考察點(diǎn)(B

2、或C)得到一個(gè)聯(lián)系該點(diǎn)與光的發(fā)射點(diǎn)，反射點(diǎn)這3個(gè)點(diǎn)關(guān)系的方程組。由于光在傳播過程中會(huì)有發(fā)散的現(xiàn)象，我們用Jacobi行列式做了一個(gè)變換來描述這種散射。根據(jù)C點(diǎn)的光強(qiáng)度必須大于一個(gè)確定的值(文中設(shè)為1)，B點(diǎn)的光強(qiáng)度必須大于該值的2倍的約束條件將這個(gè)問題抽象成一個(gè)非線性規(guī)劃問題。由于解非線性規(guī)劃問題是很復(fù)雜的過程，我們選擇了將連續(xù)模型簡(jiǎn)化成一個(gè)離散模型。但是離散模型將光離散成一條一條光線時(shí)，一般不能考慮光在傳播過程中的散射問題。根據(jù)我們連續(xù)模型中用Jacobi行列式算出的結(jié)果知可以考慮光在傳播過程中的散射問題，但是Jacobi行列式是很難求出來的，為了解決這個(gè)困難我們將光的散射用連續(xù)的方法做了一

3、個(gè)簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化的方法是用向量投影的方法粗略作出了兩個(gè)面積微元之間的關(guān)系，從而得到了光線打在光屏上的散射效果與光線的起始單位方向向量和該光線經(jīng)拋物面反射時(shí)的反射點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系。運(yùn)用以上的離散模型的算法，得到最優(yōu)的線光源長(zhǎng)度為3.39mm。關(guān)鍵詞線光源,非線性規(guī)劃,散射,Jacobi行列式,向量投影.1.問題的重述(略)2.基本假設(shè):1.不考慮光在空氣中傳播時(shí)的損耗.2.點(diǎn)光源發(fā)光時(shí),在各個(gè)方向上產(chǎn)生的光強(qiáng)度是一樣的.3.參數(shù)說明:p 旋轉(zhuǎn)拋物面的焦參數(shù) 線光源光能線密度,可以表示單位長(zhǎng)度光源產(chǎn)生的光強(qiáng)度量2R 線光源的長(zhǎng)度W 線光源半軸長(zhǎng)發(fā)光的總強(qiáng)度量I(B) B點(diǎn)接收到的光強(qiáng)度(光強(qiáng)度量的面密度

4、)I(C) C點(diǎn)接收到的光強(qiáng)度(光強(qiáng)度量的面密度)d 旋轉(zhuǎn)拋物面的深度I(h) 光在空間傳播時(shí)在距離光源h處的光強(qiáng)度Q 某點(diǎn)光源的發(fā)光強(qiáng)度量n 每個(gè)發(fā)光點(diǎn)向空間發(fā)射的光線數(shù)r 每個(gè)離散點(diǎn)光源的長(zhǎng)度m 每束光線可以產(chǎn)生的光強(qiáng)度量E(P) 拋物面上可以將光線反射到P點(diǎn)的所有點(diǎn)的集合1 感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 1歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 2 光屏上每個(gè)小網(wǎng)格的面積測(cè)試屏的單位法向量(沿z軸負(fù)方向)4.問題的分析:本問題是一個(gè)面鏡反射的幾何光學(xué)問題.目的是要求在滿足題目要求(I(B)2,I(C)1)時(shí)對(duì)線光源的長(zhǎng)度(2R)和單位發(fā)光密度()進(jìn)行優(yōu)化,使得線光源的發(fā)光總強(qiáng)度量最小.對(duì)于其中的考察點(diǎn),例如B

5、,首先要考慮光源上哪些點(diǎn)可以經(jīng)過拋物面哪些反射點(diǎn)反射到考察點(diǎn)B.然后根據(jù)他們之間的位置關(guān)系算出從線光源上某點(diǎn)射出的光線在到達(dá)考察點(diǎn)B時(shí),考察點(diǎn)B所接收到的光的強(qiáng)度.再對(duì)該考察點(diǎn)上所接收到的所有光的強(qiáng)度進(jìn)行積分,算出I(B),將I(B)2,作為問題的一個(gè)約束條件,同理算出關(guān)于C點(diǎn)的一個(gè)約束條件.問題就變成了一個(gè)帶約束條件的優(yōu)化問題.5.模型的構(gòu)建5.1反射點(diǎn)和發(fā)光點(diǎn)以及受光點(diǎn)之間的關(guān)系考慮線光源上一點(diǎn)H(0,r,p/2)發(fā)射一條光線經(jīng)過拋物面上一點(diǎn)G(x1,y1,z1)射到光屏上某點(diǎn)P(x0,y0,z0)的情況.如圖.1,拋物面方程為 x2+y2=2pzG點(diǎn)的單位內(nèi)法向量為 lG=-x1,-y1

6、,px+y+p21212將向量和單位化得 eGP=x0-x1,y0-y1,z0-z1x1-x02+y1-y02+z1-z02-x1,r-y1,p/2-z1x+(r-y1)+(p/2-z1)2122eGH=和e 的和與G點(diǎn)若光線可以從H出發(fā)經(jīng)過拋物面上的G到達(dá)光屏上的P,則向量eGPGH和e 的和與G點(diǎn)的單位內(nèi)法向量的向量積為0,即 的單位內(nèi)法向量同向,即向量eGPGH(eGP+eGHlG=0 )2 感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 2歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 3 令=,可以將原方程組化簡(jiǎn)為x1(y0+r)-x0y1=0x1z0+p-(1+)(z1+p)+px0=02p yz+-(1+)(z1+p)+p(y

7、0+r)=0 *102z1d22x1+y1=2pz1由于方程組*中前三個(gè)方程只有兩個(gè)是獨(dú)立的,則在前兩個(gè)方程中可以任意去掉一個(gè),方程組就決定H、P和G三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.5.2光線經(jīng)光屏反射過程的數(shù)學(xué)描述在線光源上取一點(diǎn)H(0,r,p/2),過該點(diǎn)沿單位向量u1=sincos,sinsin,cos做一條直線交拋物面于G(x1,y1,z1),則x1-0y1-rz-p/2=1=t sincossinsincos又G在拋物面上,則 x1+y1=2pz1 22pcos-y1sinsin+p2cos2-rpsinsin(2)-sin2cos2r2+p2sin2sin2t=sin2x1=tsincos則

8、y1=r+tsinsinz=p/2+tcos1G點(diǎn)的單位內(nèi)法向量為 lG=-x1,-y1,px+y+p21212 圖.2 lG 則表示反射光線方向的單位向量u2如圖.2,可知-u1+u2=2lGcos感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 3歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 4又cos=-ul=-u1lG則經(jīng)拋物面反射的單位向量 u2=u1-2u1lGlG5.3光在傳播過程中的發(fā)散光在空間傳播時(shí)是在整個(gè)空間上均勻發(fā)散的. 我們用光強(qiáng)度量來表示光源在整個(gè)空間發(fā)射出去的光能,用光強(qiáng)度量的面密度來度量光發(fā)散到某個(gè)點(diǎn)在該點(diǎn)產(chǎn)生的光強(qiáng)度.當(dāng)發(fā)光強(qiáng)度量為Q的點(diǎn)光源發(fā)出的光傳播到空間某點(diǎn)時(shí)，由于光波是球面波,則可知I(h)=Q4h2

9、那么當(dāng)長(zhǎng)度為dr的線光源（當(dāng)成點(diǎn)光源看）從H發(fā)出的光傳播到G時(shí),G點(diǎn)所接收到的光強(qiáng)度為dI(G)=2 4GHdr現(xiàn)在討論光從G反射到P點(diǎn)時(shí)光強(qiáng)度的變化情況. 在G周圍取一個(gè)小的面積微元 dS=+z1x+z1ydx1dy11122從方程組*中可以確定 x1=x1(x0,y0)y=y(x,y)1001x1x0則x1,y1對(duì)于x0,y0的Jacobi行列式 J=x1y0則可得 dx1dy1=Jdx0dy0y1x0y1y0而dx0dy0為光屏上的面積微元,記為dS',即 dS'=dx0dy0 則可以推出 G點(diǎn)接收到的光強(qiáng)度量dS22=+z1x1+z1y1J dS'dm(G)=-

10、u1lGdI(G)dS取負(fù)號(hào)是由于n1和lG夾角超過900()()又由于dS上的所有光線全反射到dS',即它們兩個(gè)面積微元上的光強(qiáng)度通量相等dm(G)=dm(P)=dI(P)dS'-u1lGdSdI(P)=()dS'dI(G)=-u1lG(dI(G)=4GH4 感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 4歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 5則P點(diǎn)的光強(qiáng)度 I(P)=-R(PR4GH5.4非線性規(guī)劃問題通過以上的分析可以知道B點(diǎn)的光強(qiáng)度為I(B)=同理,C點(diǎn)的光強(qiáng)度為-R(BR4GHI(C)=-R(CR4GH根據(jù)題意,本問題的約束條件為 I(B)2I(C)1我們的目標(biāo)是使線光源半軸發(fā)光的總強(qiáng)度量最小

11、,即 minW=R那么本問題可以歸結(jié)為一個(gè)求非線性規(guī)劃最優(yōu)解的問題minW=RRI(B)=(B2-R4GHs.t. R1I(C)=(C-R4GH6.模型的簡(jiǎn)化與求解 6.1光源發(fā)光的離散化以上的模型最終是要求解一個(gè)非線性規(guī)劃問題,解這類問題通常需要很大的計(jì)算量,而且很容易陷入局部極小值.現(xiàn)在我們將模型中連續(xù)的線光源離散成許多點(diǎn)光源,而且將光的均勻發(fā)散離散化,考慮點(diǎn)光源的光以n條光線的形式對(duì)外發(fā)散. 將光屏也分割成許多小網(wǎng)格,將經(jīng)過拋物面反射到屏上各個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的光所具有的光強(qiáng)度量進(jìn)行求和再除以該網(wǎng)格的面積,定義為該網(wǎng)格內(nèi)的光強(qiáng).若每個(gè)離散點(diǎn)光源的長(zhǎng)度為r,則該離散點(diǎn)發(fā)出的一條光線可以產(chǎn)生的光強(qiáng)度量

12、m=rn6.2光傳播過程中發(fā)散的一個(gè)近似處理對(duì)于光在傳播過程中的散射對(duì)射到光屏上后強(qiáng)度的影響模型中是用Jacobi行列式體現(xiàn)的.但是這個(gè)Jacobi行列式的表達(dá)式是很復(fù)雜的,我們給出一種近似處理這種散射影響的方法.這個(gè)近似的簡(jiǎn)化是在連續(xù)條件下考察面積微元得到的,但是這個(gè)結(jié)果對(duì)于離散的模型同樣適5 感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 5歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 6用.如圖.3,一束光線射到曲面上的一個(gè)單位法向量為lG的面積微元S1后反射到一個(gè)單位法向量為的平面上形成一個(gè)面積微元S2.由于面積微元很小,我們近似的認(rèn)為反射光線沿一個(gè)方向射出.我們進(jìn)行反向思考,由于S2是S1沿單位向量u2投影后在單位法向量為的平面

13、上的投影,那么S2和S1在u2方向上的投影面積應(yīng)該是相等的,即圖.31S1lGu2=S=-S2u2取負(fù)號(hào)是由于u2和夾角超過900S1面上接收到的光強(qiáng)度量)()m(S1)=-u1lGI(S1)S1()又由于S2和S1上通過的光強(qiáng)度通量相等,即m(S1)=m(S2)=I(S2)S2I(S2)=(u1lGS1)S2u1lGu2vI(S1)=I(S1) lGu2()()光線從線光源上的H到達(dá)拋物面上的G點(diǎn)時(shí)的光強(qiáng)度根據(jù)5.3光在傳播過程中的發(fā)散可以得到,光從G傳播至P時(shí)運(yùn)用以上方法可以得到u1lGu2vu1lGI(P)=I(G)=2lGu24GH()()()(ru2vru1lGu1-2u1lGlGv

14、=2lGu24GHlGu1-2u1lGlG)()()這時(shí)每條光線從H射到P時(shí)在P所在網(wǎng)格產(chǎn)生的光強(qiáng)度量m(P)=I(P)那么P點(diǎn)的光強(qiáng)度為24GHnu1lGu1-2u1lGlGvr=nlGu1-2u1lGlG()()ulu-2ullvr1G1GG1m(P)GE(P)nlGu1-2u1lGlGGE(P)I(P)=()()6 感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 6歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 76.3問題的求解根據(jù)以上對(duì)模型的離散簡(jiǎn)化得到一個(gè)離散優(yōu)化模型minW=Rulu-2ullvr1G1GG1GE(B)nlGu1-2u1lGlG2 s.t. I(B)=()()ulu-2ullrGE(C)G11GG1 I(C)=

15、 為了方便用計(jì)算機(jī)求解，我們對(duì)上面的優(yōu)化模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到min W=T*Rs.t. I(B)=T*NB2I(C)=T*NC1其中，T為每條光線帶的光強(qiáng)，NB為打到以B為圓心，以2cm為半徑的圓內(nèi)的光線條數(shù)，NC為打到以C為圓心，以2cm為半徑的圓內(nèi)的光線條數(shù)。對(duì)于這個(gè)問題的求解我們采取分步等步長(zhǎng)搜索的方法.具體步驟如下:步驟一將線光源細(xì)化成許多個(gè)小的光源,每個(gè)小光源的長(zhǎng)度r=0.01mm.將整個(gè)空間的立體角4分成n=40000份.在B和C點(diǎn)周圍分別做一個(gè)半徑為2cm的圓.步驟二將每個(gè)小光源發(fā)射出的光離散為以40000條光線的形式發(fā)射出去,每條可以射到拋物面上的光線經(jīng)拋物面反射后會(huì)在光屏上打下

16、唯一的一個(gè)點(diǎn).如果該點(diǎn)在以B(或C)為中心的圓內(nèi),就將打在這個(gè)區(qū)域的光線條數(shù)加1.步驟三首先在R(0,30mm)內(nèi)以為0.1mm步長(zhǎng)對(duì)R進(jìn)行搜索,得到的W-R的圖象如下圖.4,對(duì)圖中劃在圓圈內(nèi)部的W-R曲線進(jìn)行放大,如圖.5.我們從圖中可以看出最優(yōu)的R出現(xiàn)在1.5mm到3mm區(qū)域內(nèi).現(xiàn)將進(jìn)一步搜索的區(qū)域定為R1.5mm,3mm.7 感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 7歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 8步驟四在區(qū)間R1.5mm,3mm內(nèi)以0.005mm為步長(zhǎng)進(jìn)行搜索,得到NB和NC關(guān)于線光源半軸長(zhǎng)R圖形(如圖.6).利用NB、NC的值,對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解,得到在R1.5mm,3mm區(qū)間內(nèi)W-R圖線,如圖.78 感

17、謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 8歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 92R=3.39mm.7.問題第二問的解答(略) 8.設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性驗(yàn)證 8.1合理性的分析本題中涉及到的燈是車的前照燈.前照燈是汽車在夜間行車或在能見度較低的條件下,為駕駛員提供車道照明的重要設(shè)備,所以前照燈必須有足夠的發(fā)光強(qiáng)度和正確照明區(qū)域.不合格的前照燈會(huì)使駕駛員對(duì)前方道路情況辨認(rèn)不清,或者在與來車交會(huì)時(shí)造成對(duì)方駕駛員目眩等,從而導(dǎo)致事故的發(fā)生.一個(gè)合理設(shè)計(jì)規(guī)范應(yīng)該是在這個(gè)規(guī)范下做出的最合適的車燈具有以下照明效果: 1. 車燈正前方為了照亮車道,應(yīng)該亮度很大.2. 前照燈也要照亮鄰道,使駕駛員能清楚把握鄰道的情況,故車兩側(cè)附近也應(yīng)該有較高

18、的亮度.3. 而更遠(yuǎn)一點(diǎn)的距離,如果太亮的話,就有可能使迎面而來車輛的駕駛員目炫,而使發(fā)生事故的機(jī)率加大,故亮度要較低. 8.2設(shè)計(jì)規(guī)范的隨機(jī)模擬驗(yàn)證根據(jù)以上的合理性分析,我們需要用實(shí)驗(yàn)的方法檢驗(yàn)這個(gè)規(guī)范的合理性.我們?cè)谝陨献龅? 感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持 9歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 10 模型中要求點(diǎn)光源在空間各個(gè)方向上產(chǎn)生的光強(qiáng)度是一樣的,但是考慮到光在實(shí)際傳播過程中,由于種種因素的影響,會(huì)使光源在發(fā)光時(shí)在各個(gè)方向上發(fā)光的強(qiáng)度是不一樣的.我們用計(jì)算機(jī)對(duì)線光源經(jīng)過拋物面反射發(fā)光進(jìn)行隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn).具體步驟如下:步驟一用Matlab隨機(jī)數(shù)函數(shù)UNIFRND( )產(chǎn)生點(diǎn)光源向空間發(fā)射光線的隨機(jī)單位方向

19、向量. 步驟二用這些隨機(jī)單位方向向量對(duì)我們上文已經(jīng)求出的最佳光源發(fā)光進(jìn)行模擬,在離散成許多小區(qū)域組成的光屏上統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)域內(nèi)的光強(qiáng)度.在光屏上作出如下光強(qiáng)度分布圖.（圖.9）上圖中,光屏上某點(diǎn)的光強(qiáng)度用高度來體現(xiàn)，高度越大，亮度越大.從上圖可以很明顯的看出來燈的正前方光的強(qiáng)度很大,而且兩側(cè)光的強(qiáng)度和正前方相比很小,但是和其他區(qū)域相比還是比較強(qiáng)的,這就從實(shí)驗(yàn)的角度驗(yàn)證了這個(gè)設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性.以下作出該圖象的俯視圖.(圖.10)10 感謝您對(duì)網(wǎng)站建設(shè)的支持歡迎光臨中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng) 11 從這個(gè)圖中就可以更直接的看出光屏上各區(qū)域光強(qiáng)度的分布.中間部分的很亮可以為夜間行車提供良好照明,一個(gè)車寬附近的區(qū)域也

20、較亮,可以清楚看到鄰道的情況,更遠(yuǎn)一點(diǎn)的距離亮度迅速減弱,這樣與來車交會(huì)時(shí)不易造成對(duì)方駕駛員目眩,從而有效地避免事故的發(fā)生.9.模型優(yōu)缺點(diǎn)分析對(duì)于本題可以建立連續(xù)和離散兩種模型.前者可以將本題抽象成一個(gè)非線性規(guī)劃問題,但是求解的過程比較復(fù)雜,很容易陷入局部極小值的情況,而且對(duì)于問題第二問的求解沒什么幫助,但是優(yōu)點(diǎn)是如果初值取的好可以很精確的求出本題的結(jié)果.后者的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于算法而言不是很復(fù)雜,求解結(jié)果很快, 同時(shí)可以很方便的解決問題第二問,但是求解得到的結(jié)果不是很精確,而且只能給出數(shù)值解,并且將光離散成光線以后就不能體現(xiàn)光在傳播過程中的散射.綜合以上考慮,我們提出的這個(gè)模型既擁有離散模型的優(yōu)點(diǎn),又運(yùn)用一個(gè)連續(xù)模型的變換結(jié)果,考慮了光在傳播過程中的散射,比較精確地刻畫了光在傳播過程中的散射.參考文獻(xiàn)：1解析幾何，方得植 編，高等教育出版社,1986.2應(yīng)用光學(xué)（修訂本），天津大學(xué) 張以謨 主編，機(jī)械工業(yè)出版社,1988.3工程光學(xué)，張鳳林 孫學(xué)珠 主編，天津大學(xué)出版社,1988.4科學(xué)計(jì)算技術(shù)與Matlab,劉則毅 主編，科學(xué)出版社,2001.5解析幾何，章學(xué)誠(chéng) 編，北京大學(xué)出版社,1989.6中國(guó)汽車檢測(cè)維修網(wǎng)：http:/www.auto-An Optimal Design of Linear light sourceWu XUE, Minghe YANG, Ran NIA