第四節(jié) 無窮小與無窮大(Infinitely Small and Infinitely Great)

1、第四節(jié) 無窮小與無窮大(Infinitely Small and Infinitely Great)教學(xué)目的：理解無窮小量和無窮大量的概念，掌握無窮小量、無窮大量之間的關(guān)系，掌握它們的性質(zhì)及無窮小的比較。內(nèi) 容：1.無窮小與無窮大 2.無窮小的性質(zhì)3. 無窮小的比較教學(xué)重點(diǎn):無窮小量和無窮大量的概念教學(xué)難點(diǎn):無窮小量和無窮大量有關(guān)性質(zhì)，等價無窮小的應(yīng)用。教 具：多媒體課件教學(xué)方法:啟發(fā)式教學(xué)教學(xué)過程：1.引入新課:本節(jié)根據(jù)函數(shù)極限的兩種特殊結(jié)果來給出無窮小和無窮大的定義2.教學(xué)內(nèi)容：一、 無窮小與無窮大1. 無窮小的定義定義1當(dāng)在給定的時，以零為極限，則稱是下的無窮小量，簡稱無窮小，記作例如,

2、函數(shù)是時的無窮小，而函數(shù)是時的無窮小。注意(1)無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;(2)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).例1自變量在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮小？解 (1)因?yàn)?，?dāng)時，為無窮小 (2) 因?yàn)?，所以?dāng)時，為無窮小 （3）因?yàn)?，所以?dāng)時，無窮小 (4) 因?yàn)椋援?dāng)時，為無窮小2. 無窮大的定義定義2 如果(或)時，無限增大，則稱為當(dāng)(或)時的無窮大量，簡稱無窮大，記作(或)。特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大注意:(1).無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;(3)當(dāng)。，時可得到相應(yīng)的無窮大定義3. 無窮大與無窮小的關(guān)系定理1 在自變量的同一變化過程(或)中，如果為無窮大，則為無窮?。?/p>

3、反之，如果為無窮小，且，則為無窮大。例2 自變量在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮大？解(1) 因?yàn)?，即時，為無窮小，所以為時的無窮大；(2) 因?yàn)椋磿r，為無窮小，所以為時的無窮大；(3) 因?yàn)闀r，即時，即，所以及時，都是無窮大；(4) 因?yàn)樗詴r為無窮小，因此為時的無窮大。4函數(shù)、極限與無窮小的關(guān)系定理2其中是當(dāng)時的無窮小.注意：定理2在。，時仍然成立二、 無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1 有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。性質(zhì)2 有限個無窮小的乘積仍是無窮小。性質(zhì)3 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。例3 求下列函數(shù)的極限解 (1)由,可知(2)當(dāng)時，所以是有界函數(shù)，又因?yàn)椋?3)三、 無窮小的比較例如，觀察各極限不可比.極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.定義定理證：常用等價無窮小:例求下列極限(1) (2) 解(1)，所以(2)，所以課堂練習(xí)：求下列極限小結(jié)：1、無窮小與無窮大是相對于過程而言的.主要內(nèi)容:兩個定義;二個定理;三個性質(zhì)，一個推論.幾點(diǎn)注意:(1)無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；(2)無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.(3)無界變量未必是無窮大.2、無窮小的比較:反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.高(低)階無窮小;