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1、1 第五章第五章 向量與矩陣的范數(shù)向量與矩陣的范數(shù)定義定義: 設(shè)設(shè) 是實(shí)數(shù)域是實(shí)數(shù)域 (或復(fù)數(shù)域(或復(fù)數(shù)域 )上)上的的 維線性空間,對(duì)于維線性空間,對(duì)于 中的任意一個(gè)向量中的任意一個(gè)向量 按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)實(shí)數(shù)稱為實(shí)數(shù)稱為 的的范數(shù)范數(shù),記為,記為 ,并且要求,并且要求范數(shù)滿足下列運(yùn)算條件:范數(shù)滿足下列運(yùn)算條件: VRnVC0,00,0,kkk(1)非負(fù)性:當(dāng))非負(fù)性:當(dāng) 只有且只有且僅有當(dāng)僅有當(dāng) (2) 齊次性:齊次性: 為任意數(shù)。為任意數(shù)。2(3) 三角不等式:對(duì)于三角不等式:對(duì)于 中的任意兩個(gè)中的任意兩個(gè)向量向量 都有都有V, 性質(zhì)

2、性質(zhì)()() () 證明() 31212,TTnnna aab bbC引理(引理(Holder不等式):不等式):設(shè)設(shè)則則 其中其中 且且 。11111()()nnnpqpqiiiiiiiabab1,1pq111pq 故41212,TTnnna aab bbC111111()()()nnnppppppiiiiiiiabab引理(引理(Minkowski不等式)不等式):設(shè)設(shè)則則 其中實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù) 。1p 5p 12,Tna aa1p 11()nppipia幾種常用的范數(shù)幾種常用的范數(shù)定義定義:設(shè)向量設(shè)向量 ,對(duì)任,對(duì)任意的數(shù)意的數(shù) ,稱,稱為向量為向量 的的 范數(shù)范數(shù)。p 11niia常用的常

3、用的 范數(shù):范數(shù):(1)1范數(shù)范數(shù) 6(2)2范數(shù)范數(shù)也稱為歐氏范數(shù)。也稱為歐氏范數(shù)。121 2221()()nHiia limpp(3) 范數(shù)范數(shù) 1maxii na 1maxii nxa 定理定理:證明證明:令令 ,則,則7,1,2,iiayinx于是有于是有另一方面另一方面11()nppipixy11npiiyn11()nppipia1111()npppiiyn811lim()1nppipiy故故由此可知由此可知1limmaxippi nxa Vn,ab12,dd12,babddV定義定義:設(shè)設(shè) 是是 維線性空間維線性空間 上定義的兩種向量范數(shù),如果存在兩個(gè)與上定義的兩種向量范數(shù),如果存

4、在兩個(gè)與 無(wú)關(guān)的正數(shù)無(wú)關(guān)的正數(shù) 使得使得則稱這兩種范數(shù)是等價(jià)的。則稱這兩種范數(shù)是等價(jià)的。9例如例如:有限維線性空間有限維線性空間 上的任意兩個(gè)向上的任意兩個(gè)向量范數(shù)都是等價(jià)的。量范數(shù)都是等價(jià)的。V12,例如:可以證明:例如:可以證明: 滿足滿足12122(1)(2)(3)nnn10定義定義:對(duì)于任何一個(gè)矩陣對(duì)于任何一個(gè)矩陣 ,用,用 表示按照某一確定法則與矩陣表示按照某一確定法則與矩陣 相對(duì)相對(duì)應(yīng)的一個(gè)實(shí)數(shù),且滿足應(yīng)的一個(gè)實(shí)數(shù),且滿足AA(1)非負(fù)性:當(dāng))非負(fù)性:當(dāng) 只只有且僅有當(dāng)有且僅有當(dāng) 0,0AA0,0AAm nAC,kAk Ak(2) 齊次性:齊次性: 為任為任意復(fù)數(shù)。意復(fù)數(shù)。,A B

5、ABAB(3) 三角不等式:對(duì)于任意兩個(gè)同類型三角不等式:對(duì)于任意兩個(gè)同類型的的 矩矩 陣陣 都有都有 5.2 矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)11(4)矩陣乘法的相容性:對(duì)于任意兩個(gè)可以)矩陣乘法的相容性:對(duì)于任意兩個(gè)可以相乘的矩陣相乘的矩陣 ,都有,都有那么我們稱那么我們稱 是是矩陣矩陣 的范數(shù)。的范數(shù)。,A BABA BAAm nAC11mnijijAaAA例例 1:對(duì)于任意對(duì)于任意 ,定義,定義 證明如此證明如此 定義定義 的確為矩陣的確為矩陣 的的范數(shù)。范數(shù)。12證明:證明:只需要驗(yàn)證此定義滿足矩陣范數(shù)的只需要驗(yàn)證此定義滿足矩陣范數(shù)的四條性質(zhì)即可。非負(fù)性,齊次性與三角不四條性質(zhì)即可。非負(fù)性,齊次性與

6、三角不等式容易證明。現(xiàn)在我們驗(yàn)證乘法的相容等式容易證明?,F(xiàn)在我們驗(yàn)證乘法的相容性。設(shè)性。設(shè) ,,m pp nACBC(),()ikm pkjp nAaBb1pikkjkABija b的第 行第 列的元素為13111111ppmnmnikkjikkjijkijkABa bab1111()()ppmnikkjijkkab 1111()()ppmnikkjikjkabA BHolder14例例 2 :設(shè)矩陣設(shè)矩陣 ,證明:,證明:是矩陣范數(shù)。是矩陣范數(shù)。證明:非負(fù)性,齊次性和三角不等式容易證明:非負(fù)性,齊次性和三角不等式容易證得?,F(xiàn)在我們考慮乘法的相容性。設(shè)證得。現(xiàn)在我們考慮乘法的相容性。設(shè) ,那么

7、,那么n nAC,maxiji jAna,n nn nACBC15,11maxmaxnnikkjikkji ji jkkABna bnab因此因此 為矩陣為矩陣 的范數(shù)。的范數(shù)。AA,maxmaxikkji kk jn nab,maxmaxikkji kk jnanbA B16例例 3 :對(duì)于任意對(duì)于任意 ,定義,定義可以證明可以證明 也是矩陣也是矩陣 的范數(shù)。我們稱此的范數(shù)。我們稱此范數(shù)為矩陣范數(shù)為矩陣 的的Frobenious范數(shù)范數(shù)。m nAC12211()mnijFijAaAAA,m ll nACBC證明證明:此定義的非負(fù)性,齊次性是顯然的。:此定義的非負(fù)性,齊次性是顯然的。利用利用M

8、inkowski不等式容易證明三角不等式。不等式容易證明三角不等式。現(xiàn)在我們驗(yàn)證乘法的相容性?,F(xiàn)在我們驗(yàn)證乘法的相容性。 設(shè)設(shè) ,則,則)mnlmnlikkjikkjFijkijkABa bab 于是有于是有 221111()()mnllikkjijkkab 221111()()mlnlikkjikjkab22FFABFFFABAB221/21/2 21111()()()mnllikkjijkkabHolder 18例例 4 :對(duì)于任意對(duì)于任意 ,定義,定義證明如此定義的證明如此定義的 是矩陣是矩陣 的范數(shù)。的范數(shù)。n nAC12()HATr A AAA1122211

9、()()mnHijijTr A Aa證明:證明: 首先注意到這樣一個(gè)基本事實(shí),首先注意到這樣一個(gè)基本事實(shí),即即由前一個(gè)例題可知此定義滿足范數(shù)的性質(zhì)。由前一個(gè)例題可知此定義滿足范數(shù)的性質(zhì)。19Frobenious范數(shù)的性質(zhì):范數(shù)的性質(zhì):(1)如果)如果12nm nAC2221niFiA21()()nHHiFiATR A AA A(2) nmU(3)對(duì)于任何)對(duì)于任何 階酉矩陣階酉矩陣 與與 階酉矩陣階酉矩陣 那么那么20 都有等式都有等式VHFFFFFAUAAAVUAV,AA12,ddA12,m ndAAdAAC 關(guān)于矩陣范數(shù)的等價(jià)性定理。關(guān)于矩陣范數(shù)的等價(jià)性定理。定理:定理:設(shè)設(shè) 是矩陣是矩陣

10、 的任意兩的任意兩種范數(shù),則總存在正數(shù)種范數(shù),則總存在正數(shù) 使得使得21 5.3誘導(dǎo)范數(shù)誘導(dǎo)范數(shù)定義定義:設(shè)設(shè) 是向量范數(shù),是向量范數(shù), 是矩陣范是矩陣范數(shù),如果對(duì)于任何矩陣數(shù),如果對(duì)于任何矩陣 與向量與向量 都有都有則稱矩陣范數(shù)則稱矩陣范數(shù) 與向量范數(shù)與向量范數(shù) 是相容是相容的。的。XAAXAXAXAX12211()mnijFijAa例例 1 :矩陣的矩陣的Frobenius范數(shù)與向量的范數(shù)與向量的2-范范數(shù)是相容的數(shù)是相容的.證明證明 : 因?yàn)橐驗(yàn)?22121 2221()()nHiiXxXX根據(jù)根據(jù)Hoider不等式可以得到不等式可以得到22221111()mnmnijjijjijijA

11、Xa xa x 22111()()mnnijjijjax 2322111()()mnnijjijjax222FAX22111()()mnnijjijjax 于是有于是有 22FAXAX24證明證明:首先我們驗(yàn)證此定義滿足范數(shù)的四:首先我們驗(yàn)證此定義滿足范數(shù)的四條性質(zhì)。非負(fù)性,齊次性與三角不等式易條性質(zhì)。非負(fù)性,齊次性與三角不等式易證?,F(xiàn)在考慮矩陣范數(shù)的相容性。證。現(xiàn)在考慮矩陣范數(shù)的相容性。X0maxiXAXAX定理定理 :設(shè)設(shè) 是向量的范數(shù),則是向量的范數(shù),則滿足矩陣范數(shù)的定義,滿足矩陣范數(shù)的定義,iAX且且 是與是與 相容的矩陣范數(shù)。相容的矩陣范數(shù)。25設(shè)設(shè) ,那么,那么 0B 00()ma

12、xmax()iXXABXA BXBXABXBXX因此因此 的確滿足矩陣范數(shù)的定義。的確滿足矩陣范數(shù)的定義。 iA00()maxmaxBXXA BXBXBXXiiAB0m axiXA XAX26 最后證明最后證明 與與 是相容的。是相容的。iAXiiAXAXAXAXiAX這說(shuō)明這說(shuō)明 與與 是相容的。是相容的。 X定義定義:上面所定義的矩陣范數(shù)稱為由向量范上面所定義的矩陣范數(shù)稱為由向量范數(shù)數(shù) 所誘導(dǎo)的所誘導(dǎo)的誘導(dǎo)范數(shù)誘導(dǎo)范數(shù)或或算子范數(shù)算子范數(shù)。由定義可知由定義可知0m axiXA XAX27由向量由向量 P-范數(shù)范數(shù) 所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)稱為所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)稱為矩陣矩陣P-范數(shù)范數(shù)。即。即pX0m

13、axppXpAXAX1A2AA常用的常用的矩陣矩陣P-范數(shù)范數(shù)為為 , 和和 。m nAC11max(),1,2,mijjiAajnA定理定理:設(shè)設(shè) ,則,則(1)我們稱此范數(shù)為矩陣我們稱此范數(shù)為矩陣 的的列和范數(shù)列和范數(shù)。28(2) 表示矩陣表示矩陣 的第的第 個(gè)特征值。我們稱此范個(gè)特征值。我們稱此范數(shù)為矩陣數(shù)為矩陣 的的譜范數(shù)譜范數(shù)。122max(),()HHjjjAA AA AHA AjA1max(),1,2,nijijAaimA(3)我們稱此范數(shù)為矩陣我們稱此范數(shù)為矩陣 的的行和范數(shù)。行和范數(shù)。29210023120A計(jì)算計(jì)算 , , 和和 。解解:1A2AAFA15A5A23FA30

14、500096069HA A因?yàn)橐驗(yàn)閨 (3)(5)(15)HIA A215A所以所以 31如何由矩陣范數(shù)構(gòu)造與之相容的向量范數(shù)?如何由矩陣范數(shù)構(gòu)造與之相容的向量范數(shù)?*AX*AXAX定理:定理:設(shè)設(shè) 是矩陣范數(shù),則存在向量范數(shù)是矩陣范數(shù),則存在向量范數(shù) 使得使得*HXX證明證明:對(duì)于給定的非零向量對(duì)于給定的非零向量 ,定義向量范,定義向量范數(shù)數(shù) ,容易驗(yàn)證此定義滿足向,容易驗(yàn)證此定義滿足向量范數(shù)的三個(gè)性質(zhì),且量范數(shù)的三個(gè)性質(zhì),且n nAC32*HHAXAXAXAX例例:已知矩陣范數(shù)已知矩陣范數(shù)求與之相容的一個(gè)向量范數(shù)。求與之相容的一個(gè)向量范數(shù)。*11mnijijAAa010T12TnXxxx解:取解:取 。設(shè)。設(shè)33那么那么1*1nHiiXXxX矩陣的譜半徑及其性質(zhì)矩陣的譜半徑及其性質(zhì)m nACnA12,n 12( )max,nAA定義定義:設(shè)設(shè) , 的的 個(gè)特征值為個(gè)特征值為 ,我們稱,我們稱為為矩陣矩陣 的譜半徑。的譜半徑。m nAC例例 1 :設(shè)設(shè) ,那么,那么34( )AA這里這里 是矩陣是矩陣 的任何一種范數(shù)。的任何一種范數(shù)。AA222()( )HAA AAA2( )AA例例 2 :設(shè)設(shè) 是一個(gè)正規(guī)矩陣

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