第十三講循環(huán)問題

1、第十三講 循環(huán)小朋友們，你留意過循環(huán)問題嗎？在日常生活中，有一些按照一定的規(guī)律不斷重復出現(xiàn)的現(xiàn)象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬都是按順序不斷重復出現(xiàn)的。在數(shù)學中，也常會碰到一些重復出現(xiàn)的問題。在研究這些問題時，我們不僅要判斷其不斷重復出現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，而更重要的是看它的余數(shù)。如1999年元旦是星期五，2000年元旦是星期幾？因為1999年是平年，有365天，365÷7=521，所以2000年的元旦是星期六。這就是根據(jù)365除以7所得的余數(shù)來判定的。那么，就讓我們一起來看看怎么來解決這一類的問題。典型例題例1 流水線上給小木球涂色的次序是

2、：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，再1個白，然后又依次是5紅，4黃，3綠，2黑，1白像這樣繼續(xù)下去，到第2003個小球該涂什么顏色？分析 小木球涂色的次序是：“5紅，4黃，3綠，2黑，1白”，也就是每涂過“5紅，4黃，3綠，2黑，1白”循環(huán)一次，給小木球涂色的周期是5+4+3+2+1=15。所以只要用2003除以15，根據(jù)余數(shù)就可以判斷球的顏色。解 2003÷15=1338這就是說，第1999個小木球出現(xiàn)在上面所列一個周期中的第8個，所以第2003個小球涂的是黃色。例2 有一列數(shù)：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，（1） 第81個數(shù)是多少？（2） 這81個數(shù)相加的和是多

3、少？分析 （1） 從排列可以看出這組數(shù)是按7，0，2，5，3依次重復排列的，那么一個循環(huán)周期就有5個數(shù)。（2） 之和是7+0+2+5+3=17。用每個循環(huán)各數(shù)之和可以循環(huán)次數(shù)再加上余下的各數(shù)，即可得到答案。解（1）81÷5=161按照循環(huán)次序可知：第81個數(shù)為7。（2）17×16+7=279 所以這81個數(shù)相加的和為279例3 假設所有自然數(shù)排列起來如下圖所示，55應排在哪個字母下面？248應排在哪個字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89 10 11 12. . . . . . . . . .分析 從排列情況可知，這些自然數(shù)按從小到大4個數(shù)一個循環(huán)排列。要求

4、這些數(shù)字排在哪個字母的下面，我們可以根據(jù)這些數(shù)除以4的余數(shù)來判斷。解 55÷4=133所以55排在第3個字母C的下面。248÷4=62所以248排在第4個字母D的下面。例4 如下圖，8個隊員圍成一圈做傳球游戲，從1號開始，按照箭頭方向向下一個人傳球。在傳球的同時按自然數(shù)數(shù)列報數(shù)。當報到96時，球在幾號隊員手上？分析 把8個隊員看成一組，解法與例3相同。解 96÷8=12所以報96時，球應在8號隊員手上。例5 2003個學生按下列方法編號排成5列：一 二 三 四 五1 2 3 4 59 8 7 6 10 11 12 1317 16 15 14 問：最后一位學生應站在第幾列？分析 觀察這些學生排列的情況可以看出，除15外，從第2排起都是按8個數(shù)一個循環(huán)依次不斷重復出現(xiàn)。因此，除以8余數(shù)為1、2、3、4、5、6、7、0對應的列數(shù)應分別為四、三、二、一、二、三、四、五。解 （20035）÷8=2496因此，第2003個學生站在第3列。小結(jié) 解決循環(huán)問題時，應把注重點放在以下幾個方面：一、 數(shù)、圖形或事物的變化是否重復出現(xiàn)并具有周期性。二、 每幾個數(shù)循環(huán)一次，周