高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.2雙曲線的簡單性質(zhì)學(xué)業(yè)分層測評含解析北師大版

1、高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.2雙曲線的簡單性質(zhì)學(xué)業(yè)分層測評含解析北師大版選修11（建議用時：45分鐘）學(xué)業(yè)達標、選擇題1.等軸雙曲線的一個焦點是Fi（6,0）,則它的標準方程是【解析】 設(shè)等軸雙曲線方程為Xy2= 1(a>0) .53.雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的、/2倍，且一個頂點的坐標為（0,2）,則雙曲線的標準方程為（）22x yA.4-7=1B.C.2Xi=1D.=1，a3.+a2=62,1,a2=18.22故雙曲線方程為yz-*=1.1818【答案】B2.若雙曲線x2+ky2=1的離心率是2,則實數(shù)k的值是（）_1A-3B.-3-1C.3DI.-322【解析】

2、雙曲線x2+ky2=1可化為/十y=1,故離心率e=":=2,解得k=111【解析】由頂點在y軸上得該雙曲線焦點位于y軸，排除AD,B項，a=2,b=2,c=242,，2a+2b=，22c符合題意.【答案】B224.雙曲線xy=1的漸近線與圓(x3)2+y2=r2(r>0)相切，則r=()63A. 3C. 3【解析】B.2D.6雙曲線的漸近線方程為y=±-x,圓心坐標為(3,0),由點到直線的距離公式與漸近線與圓相切得，圓心到漸近線的距離為r,且=駕2軍=J3.V2+4【答案】A22225.雙曲線)卷=1和橢圓m2+b2=1(a>0,m>b>0)的離

3、心率互為倒數(shù)，那么以a、b、m為邊長的三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形/a2+b2x/n2b22【解析】雙曲線的離心率e=X，橢圓的離心率&=",由eie2=1得(aam+b2)(m2b2)=a2n2,故a2+b2=n2,因此三角形為直角三角形.二、填空題6.雙曲線mX+y2=1的虛軸長是實軸長的 2倍，則m=1 m= 2,7.若雙曲線中心在原點,2a=2,2b=2im=-4-j»13八、焦點在y軸，離心率e=,則其漸近線萬程為5【解析】由于焦點在y軸，則漸近線方程為y=±ax.b而e=c=M則b2=c21=嚷，b=&#

4、163;,a5aa25a5.漸近線方程為尸5【答案】y=±x228.雙曲線京一b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點分別為Fi,F2,以F1F2為邊作等邊MURK雙曲線恰好平分三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率為【解析】如圖，點N為MF的中點，且在雙曲線上，利用雙曲線的定義即可求解.|F1N|=3c,|NF|=c.又|NF|NE|=2a,即/c-c=2a.，e=a2,3-173+1.【答案】乖+1三、解答題9.求適合下列條件的雙曲線標準方程:(1)頂點間距離為6,漸近線方程為y=±|x；(2)求與雙曲線x22y2=2有公共漸近線，且過點M2,2)的雙曲線方程.【解】

5、(1)設(shè)以y=±3x為漸近線的雙曲線方程為X-y-=入(入W0),249當人>0時，a2=4入，.22=247=6?入=9；當入<0時，a2=9入，2a=219入=6?入=1.雙曲線的標準方程為=1和4一，=1.98194422(2)設(shè)與雙曲線)2-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程為1一y2=入(入W0),將點(2,2)代入雙曲線方程，222得入=£(2)=-2.22雙曲線的標準方程為卜4=1.2210.已知橢圓D:x；+夫=1與圓Mx2+(y5)2=9,雙曲線G與橢圓D有相同焦點,5025它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程.【解】橢圓D的兩個焦點為

6、Fi(5,0),F2(5,0),因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c=5.22設(shè)雙曲線G的方程為£b2=1(a>0,b> 0),，漸近線方程為bx±ay=0,且a2+b2=25,又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r=3.|5a|-j22=3,得a=3,b=4,'b+a雙曲線G的方程為"=1.916能力提升1 .設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cos0+tsin8=0的兩個不等實根，則過A(a,a2),2 2Rb,b2)兩點的直線與雙曲線一x一.y2.=1的公共點的個數(shù)為()cos0sin0B. 1A.0C. 2D.3【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系，

7、得a+b=tan0,ab=0,則a,b中必有一個為0,另一個為一tan0.不妨設(shè)A(0,0),B(-tan0,tan20),則直線AB的方程為y=xtany= ± xtan 0 ,顯然直線 AB是雙曲e.根據(jù)雙曲線的標準方程，得雙曲線的漸近線方程為線的一條漸近線，所以直線與雙曲線沒有公共點.【答案】A2.設(shè)雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.'2B.：3C.32 AB =V1+k2|Xi-X2|= 1 + k X1+X2 2 4XiX2D.15：122設(shè)雙曲線方程為當一y2=1(a>0,b>

8、;0),如圖所示，雙曲線的一條漸近線方abb 程為y= ax, bkBF= 一 一 cbb=1,整理得b2=ac.acc一a一ac=0,兩邊同除以a,得ee1=0,解得e=q5或e=上/5(舍去)，故選D.【答案】D3.設(shè)雙曲線:一卷=1的右頂點為A右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的916直線與雙曲線交于點B,則AFB面積為.【解析】A(3,0),F(5,0),取過F平行于漸近線y=gx的直線，則方程為y=3(x-5).4 y=o x-5317得B/3215 .32 32=15 151.一.AFB的面積S=2（53）X32【答案】吞154.已知雙曲線3xI= y2 - 2 24 2 =6.-y2=3,直線l過右焦點F2,且傾斜角為45°,與雙曲線交于A、B兩點，試問A、B兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長.22【解】雙曲線方程可化為xy=1,13