三角形與全等三角形經(jīng)典習(xí)題及答案

1、全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不定全等。例 1.如圖，A,F,E,B 四點共線， AC CE, BD DF , AE BF , AC BD。求證:ACF例2.如圖，在 ABC中，BE是/ ABC的平分線，AD BE,垂足為 D 。求證:BDE21 C。例3.如圖，在 ABC中，AB BC , ABC 90o。F為AB延長線上一點，點E在BC上,BE BF ,連接 AE,EF 和 CF 。求證： AE CFABC外角 MAC和 NCA的平分線，它們交于點 P。求證：BP為 MBN的平分線。M例 4.如圖，AB CD AD BC AB

2、CDD如圖，AP,CP分別是BC M例6.如圖，D是 ABC的邊BC上的點，且 CD AB, ADB BAD, AE是 ABD的 中線。求證：AC 2AE 。例7.如圖，在 ABC中，AB AC ,12 , P為AD上任意一點。求證：AB AC PB PC。全等三角形綜合復(fù)習(xí)7月22日作業(yè)、選擇題:1.能使兩個直角三角形全等的條件是（）A.兩直角邊對應(yīng)相等C.兩銳角對應(yīng)相等B. 一銳角對應(yīng)相等D.斜邊相等2.根據(jù)下列條件，能畫出唯一ABC的是（）A. AB3, BC 4, CA 8 B. AB4, BC 3,C. C60,B 45,AB4 D. C90, AB 6A 303.如圖，已知 12,

3、 AC AD ,增加下列條件： AB AE ;BC ED ;E o其中能使ABC AED的條件有（）A. 4個,AC, BD交于E點，下列不正確的是（D. 1個4.如圖,2,A. DAE CBEB. CE DE5.如圖，已知 AB CD, BC AD, B 23,則 D等于（）A. 67B. 46C. 23D.無法確定二、填空題：6 .如圖，在 ABC中，C 90, ABC的平分線BD交AC于點D ,且CD : AD 2:3, AC 10cm ,則點D到AB的距離等于 cm ；7 .如圖，已知AB DC , AD BC , E, F是BD上的兩點，且BE DF ,若 AEB 100, ADB

4、30,則 BCF ;8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊,BC, BD為折痕，則 CBD的大小為9.如圖，在等腰 RtABC中，C 90, AC BC , AD平分DE AB于E,若AB 10,則BDE的周長等于 ；BAC 交 BC 于 D ,10. 如 圖AB CD AE CF AEABC為等邊三角形，點求 AQN的度數(shù)n rCF BD 10 BF 2 EF 如圖，M , N分別在BC, AC上，且BM CN , AM與BN交于Q點。12 .如圖， ACB 90, AC BC, D 為 AB 上一點，AE CD , BF CD ,交 CD 延長線于F點。求證：BF CE。答案例1.思路分析：

5、從結(jié)論 ACF BDE入手，全等條件只有 AC BD ；由AE BF兩邊 同時減去 EF得到AF BE ,又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是CF DE ,也可以是 A B。由條件 AC CE, BD DF 可得 ACE BDF 90,再加上 AE BF , AC BD , 可以證明 ACE BDF ,從而得到 A B 。解答過程：Q AC CE, BD DFACE BDF 90在 Rt ACE 與 Rt BDF 中AE BFQAC BD Rt ACE Rt BDF (HL)A BQ AE BFAE EF BF EF ,即 AF BE 在ACF與BDE中AF BEQ A BAC BD

6、ACFBDE (SAS)解題后的思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結(jié)論 入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手， 看可以得出什么結(jié)論。 再對比“所需條件” 和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明 21 C比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明 2 且 1 C。也可以看成將 2 “轉(zhuǎn)移”到 。那么在哪里呢角的對稱性提示我們將AD延長交BC于F ,則構(gòu)造了 FBD,可以通過證明三角形全等來證明 /2=/DFB,可以

7、由三角形外角定理得/ DFB=Z 1 + /C。解答過程：延長AD交BC于F在ABD與FBD中ABD FBDQ BD BDABD FBD (ASA 2 DFBADB FDB 90又 Q DFB 1 C21 Co例3.思路分析:解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個三角形。以線段 AE為邊的 ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90o到 CBF的位置，而線段 CF正好是 CBF的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過程：Q ABCABC在ABE與AB BCCBF 90CBF中Q ABCBE BFCBFABE CBF

8、(SAS)AE CF。而且有利于找對應(yīng)邊和解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角形, 對應(yīng)角。但有時不容易找到需證明的三小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法,角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4.思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，可以把原問題轉(zhuǎn) 化為全等三角形的問題。解答過程：連接ACQ AB CD AD BC 12 34 ABC1CDA Q AC42CA3ABC CDAAB CD思路分析:要證明“ BP為MBN的平分線”利用點P到BM ,BN的距離相等來證明，故應(yīng)過點P向BM

9、, BN作垂線;利用已知條件“ AP,CP分別是 MAC和 NCA的平分線”，也需要作出點 的距離。另一方面，為了P到兩外角兩邊解答過程：過P作PDQ AP 平分 MAC ,PD PEQ CP 平分 NCA,PDPEPEQ PDPDQ PDPFPE , PEPFPF,且 PDPFBM 于 D , PEBM 于 D , PEAC于 E, PFAC 于 E , PF BN 于 FAC于EBN于FBM 于 D , PF BN 于 FBP為 MBN的平分線。BC F N解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時，常過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定

10、來解答問題。例6.思路分析：要證明“ AC 2AE”，不妨構(gòu)造出一條等于 2AE的線段，然后證其等于 AC。因此，延長AE至F ,使EF AE。解答過程：延長AE至點F ,使EF AE ,連接DF在ABE與FDE中AE FEQ AEB FEDBE DEABE FDE (SAS)B EDFQ ADF ADB EDF , ADC BAD B 又 Q ADB BADADF ADCQ AB DF , AB CDDF DC在ADF與ADC中AD ADQ ADF ADCDF DCADFADC (SAS)AF AC繼而得出一些線段和角相等,甚至可以證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證AB AC PB又 Q

11、 AF 2AEPC ,不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段 AB AC。而構(gòu)造AB AC可以采用“截長”和“補短”兩種方法。解答過程：法一：在AB上截取AN AC ,連接PN在APN與APC中AN ACQ 12AP APAPN APC (SAS)PN PCQ 在 BPN 中，PB PN BNPB PC AB AC ,即 ABACPB- PC=法二：延長AC至M ,使AM AB,連接PM在ABP與AMP中AB AMQ 12AP APABP AMP (SAS)PB PMQ 在 PCM 中，CM PM PCAB AC PB PC 。

12、解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段， 然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習(xí)的答案、選擇題:1. A2. C3. B4. C5. C、填空題:6. 4o7. 70o8. 909. 1010. 6三、解答題：11 .解：Q ABC為等邊三角形AB BC ， ABC C 60o在 ABM