二維自適應(yīng)濾波器設(shè)計

1、蘇州大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）學(xué)院(部)電子信息學(xué)院題 目二維自適應(yīng)濾波器設(shè)計目錄摘要1Abstract2第一章 緒論31.1背景和意義31.2自適應(yīng)濾波器的原理及應(yīng)用31.2.1自適應(yīng)濾波器的基本原理41.2.2自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用51.3自適應(yīng)濾波算法51.4論文結(jié)構(gòu)5第二章2D-LMS自適應(yīng)濾波算法72.1 LMS算法簡介72.2 2D-LMS算法82.3 MATLAB仿真92.3.1仿真條件92.3.2仿真結(jié)果與分析10第三章2D-NLMS自適應(yīng)濾波算法123.1 NLMS簡介123.2 2D-NLMS算法123.3 MATLAB仿真123.3.1仿真條件123.3.2仿真結(jié)果與分析13

2、第四章2D-APA自適應(yīng)濾波算法164.1 APA簡介164.2 2D-APA算法164.3 MATLAB仿真174.3.1仿真條件174.3.2仿真結(jié)果與分析18第五章 二維自適應(yīng)噪聲消除（2D-ANC）215.1 簡介215.2 MATLAB仿真215.2.1仿真條件215.2.2仿真結(jié)果22第六章 總結(jié)與展望246.1總結(jié)246.2展望24參考文獻25致謝27摘要自適應(yīng)濾波器通過使用遞歸算法來估計未知系統(tǒng)，具有較強的適應(yīng)性和跟蹤能力。而將一維自適應(yīng)濾波算法擴展到二維結(jié)構(gòu)便得到二維自適應(yīng)濾波器。二維結(jié)構(gòu)對自適應(yīng)濾波器的圖像數(shù)據(jù)處理能力有很大提高，二維自適應(yīng)濾波器能夠考慮到二維固有的非平穩(wěn)統(tǒng)

3、計特性數(shù)據(jù)以及二維統(tǒng)計相關(guān)性。目前，二維自適應(yīng)濾波器已應(yīng)用于各種圖像處理應(yīng)用，如圖像恢復(fù)，圖像增強，自適應(yīng)噪聲消除和二維系統(tǒng)識別等。本文首先對自適應(yīng)濾波器的原理進行了討論，詳細(xì)介紹了三種二維自適應(yīng)濾波器算法，即二維最小均方(2D-LMS)算法、二維歸一化最小均方(2D-NLMS)算法和二維反射投影(2D-APA)算法，并通過使用MATLAB軟件對其仿真得到MSD曲線，比較不同算法的性能。然后將三種算法用于圖像處理中的圖像噪聲消除，對圖像的去噪性能進行比較。關(guān)鍵詞：二維自適應(yīng)濾波器，噪聲消除，MATLAB仿真作 者：王映濤指導(dǎo)老師：倪錦根AbstractThe adaptive filter e

4、stimates the unknown system by using a recursive algorithm and has strong adaptability and tracking ability. A one-dimensional adaptive filter algorithm is extended to a two-dimensional structure to obtain a two-dimensional adaptive filter. The two-dimensional structure greatly improves the image da

5、ta processing capability of the adaptive filter. The two-dimensional adaptive filter can take into account inherent non-stationary statistical characteristic data and two-dimensional statistical correlation. Currently, 2D adaptive filters have been applied to various image processing applications su

6、ch as image restoration, image enhancement, adaptive noise cancellation, and 2D system identification. This paper first discusses the principle of adaptive filter, and introduces three two-dimensional adaptive filter algorithms in detail, namely two-dimensional least mean square (2D-LMS) algorithm,

7、two-dimensional normalized least mean square (2D-NLMS) algorithm and two-dimensional reflection projection (2D-APA) algorithm are used to simulate the MSD curve by using MATLAB to compare the performance of different algorithms. Then the three algorithms are used for image with noise elimination in

8、image processing, and the image cancellation performance is compared.Keywords: Two-dimensional adaptive filters, Noise cancellation, MATLAB simulation Written by Wang ying-tao Supervised by Ni Jin-gen第一章 緒論1.1背景和意義自適應(yīng)濾波器的開發(fā)與應(yīng)用是在現(xiàn)今自適應(yīng)信號處理領(lǐng)域中非常活躍的課題之一。由于其具備較強的自學(xué)習(xí)、自跟蹤的能力以及算法的易實現(xiàn)性等特點，其理論及方法在通信、雷達(dá)、聲吶、控制、

9、導(dǎo)航、地震學(xué)以及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用1。傳統(tǒng)的濾波器算法，如維納濾波器是一種基于最小均方誤差準(zhǔn)則建立的最優(yōu)線性濾波器，它利用信號的統(tǒng)計特性，對含噪聲信號進行濾波。當(dāng)輸入過程是廣義平穩(wěn)的，且輸入信號的統(tǒng)計特性已知的情況下，維納濾波器的輸出與期望輸出誤差的均方值達(dá)到最小。但在實際應(yīng)用中，信號的輸入統(tǒng)計特性可能是未知的，也可能是變化的。在這種情況下，自適應(yīng)濾波器有較好的濾波性能，不需要知道所處理信號的所有統(tǒng)計特性，且系數(shù)也不是固定不變的，而是能通過多次迭代的運算來實現(xiàn)系數(shù)的更新變化，完成濾波運算。即自適應(yīng)濾波器能夠根據(jù)環(huán)境情況的變化來改變?yōu)V波器的參數(shù)和結(jié)構(gòu)。而在濾波器算法中，濾波器系數(shù)是根據(jù)運

10、算過程中的誤差函數(shù)或均方誤差來進行調(diào)整的2。目前的自適應(yīng)濾波算法主要有最小均方算法(LMS)、仿射投影算法(APA)和最小二乘法(RLS)以及一些改進的算法，如歸一化LMS算法(NLMS)，變步長LMS算法(VSS-LMS)等。二維自適應(yīng)濾波器因為能夠考慮到二維固有的非平穩(wěn)統(tǒng)計特性以及二維的統(tǒng)計相關(guān)性，在圖像處理中有著廣泛應(yīng)用，如圖像恢復(fù)，圖像增強，自適應(yīng)噪聲消除，二維自適應(yīng)線性增強器以及二維系統(tǒng)識別3。而將一維自適應(yīng)濾波算法擴展到二維結(jié)構(gòu)便得到二維自適應(yīng)濾波器，并由此提出了2D-LMS算法(二維最小均方算法)，2D-NLMS算法(歸一化的二維最小均方算法)，2D-APA算法(基于仿射投影的二

11、維自適應(yīng)算法)。1.2自適應(yīng)濾波器的原理及應(yīng)用自適應(yīng)濾波器一般包括兩個基本過程，其中濾波過程通過對一系列的輸入數(shù)據(jù)產(chǎn)生輸出響應(yīng)，而自適應(yīng)過程就是為了給濾波過程提供一種可調(diào)參數(shù)的自適應(yīng)算法，這兩個過程是相互影響的。1.2.1自適應(yīng)濾波器的基本原理自適應(yīng)濾波器的一般結(jié)構(gòu)如圖1-1所示，設(shè)為輸入信號，為輸出信號，為期望信號，而誤差信號。通過利用誤差信號構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，并通過使誤差信號盡可能的趨近于0，實現(xiàn)自適應(yīng)濾波器的輸入信號與輸出信號的最佳匹配。圖1-1自適應(yīng)濾波器一般結(jié)構(gòu)圖自適應(yīng)濾波器主要包括三個部分：(1)自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)：自適應(yīng)濾波器可以通過多種不同結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，并且不同結(jié)構(gòu)還會對計算復(fù)雜度、收

12、斂速度等性能造成影響。如FIR濾波器又稱為橫向濾波器；格型預(yù)測器，具有模塊結(jié)構(gòu)；脈動陣列，即并行計算網(wǎng)絡(luò)。本文主要參考橫向濾波器，以此為基礎(chǔ)建立的自適應(yīng)橫向濾波器是自適應(yīng)濾波器的基本結(jié)構(gòu)。(2)性能判據(jù)：自適應(yīng)濾波過程是一個迭代收斂過程，本文采用穩(wěn)態(tài)均方誤差(Mean Square Deviation，MSD)來分析自適應(yīng)濾波器的算法性能。根據(jù)圖1-1，將一維擴展到二維，則均方差可以定義為：(1.1)其中，表示未知系統(tǒng)，表示網(wǎng)絡(luò)中第節(jié)點的權(quán)值向量。(3)算法：自適應(yīng)算法使用不同的目標(biāo)函數(shù)，通過輸入信號和期望信號的迭代來確定濾波器參數(shù)。不同的算法對計算復(fù)雜度，最優(yōu)解的存在性等自適應(yīng)特性有直接影響

13、。1.2.2自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用通過對自適應(yīng)濾波器的期望信號和輸入信號使用不同的選取方式，就可以得到自適應(yīng)濾波器的不同應(yīng)用。自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用主要分為四種基本類型，包括系統(tǒng)的辨識(圖1-1就是一個簡單的一維自適應(yīng)濾波器的辨識模型)；還包括干擾消除(例如噪聲消除)；逆模型；預(yù)測。本次畢業(yè)設(shè)計主要涉及二維自適應(yīng)濾波器在圖像噪聲消除的應(yīng)用以及二維自適應(yīng)濾波器的辨識的應(yīng)用。1.3自適應(yīng)濾波算法本次畢業(yè)設(shè)計涉及的自適應(yīng)濾波算法目前主要分為以下幾種：(1)最小均方算法(Least Mean Square, LMS)：是目前使用廣泛的濾波器算法，具有計算復(fù)雜度低，穩(wěn)定性強，易于收斂等特點。而二維最小均方算法(

14、2D-Least Mean Square, 2D-LMS)實際上是LMS算法的在二維上的擴展，用于非平穩(wěn)圖像的估計，但其特征值差異具有高度敏感的特性，并且其收斂速度較慢，在許多應(yīng)用中不適用。(2)歸一化最小均方(Normalized Least Mean Square, NLMS)算法：通過將LMS算法進行歸一化處理就能得到NLMS算法，NLMS算法考慮了濾波器輸入幅度對其收斂速度的影響。而且可以防止輸入信號的突變帶來的自適應(yīng)系數(shù)的突變，使算法性能得到提升。將其擴展到二維便得到二維歸一化最小均方(2D-Normalized Least Mean Square, 2D-NLMS)算法4。(3)仿

15、射投影(Affine Project, APA)算法：當(dāng)輸入數(shù)據(jù)高度相關(guān)時，使用仿射投影算法能夠提升收斂性能，但計算復(fù)雜度大大提高。將其擴展到二維得到基于反射投影的二維自適應(yīng)算法(2D-Affine Project, 2D-APA)算法5。該算法收斂速度快，跟蹤能力強，缺點就是計算復(fù)雜度過高。1.4論文結(jié)構(gòu)本文的主要內(nèi)容如下：第一章介紹了自適應(yīng)濾波器的背景及意義，自適應(yīng)濾波器的原理與應(yīng)用，本次畢業(yè)設(shè)計使用到的幾種自適應(yīng)算法，并說明了本文的內(nèi)容及主要工作。第二章介紹了二維最小均方算法(2D-Least Mean Square, 2D-LMS)，并進行仿真，分析其穩(wěn)態(tài)性能。第三章介紹了二維歸一化最

16、小均方(2D-Normalized Least Mean Square, 2D-NLMS)算法，并與2D-LMS算法進行仿真比較6。第四章介紹了基于仿射投影的二維自適應(yīng)算法(2D-Affine Project, 2D-APA)，并與2D-LMS，2D-NLMS兩種算法進行仿真比較。第五章將2D-LMS，2D-NLMS，2D-APA三種算法應(yīng)用于圖1-3所示系統(tǒng)，對同一含噪圖像進行自適應(yīng)噪聲消除，并通過去噪結(jié)果比較幾種算法的性能。第六章對全文進行簡單總結(jié)和展望。第二章2D-LMS自適應(yīng)濾波算法2.1 LMS算法簡介最小均方算法(Least Mean Square, LMS)由B.維德羅于上世紀(jì)7

17、0年代提出7。LMS算法利用線性組合器實現(xiàn)濾波器，具有結(jié)構(gòu)簡單，性能穩(wěn)定等特點，得到了廣泛應(yīng)用。該濾波器的輸出為 (2.1.1)誤差信號可以表示為 (2.1.2)其中為輸出信號，為期望信號。該算法的濾波器系數(shù)由輸入信號與誤差信號來決定，從而實現(xiàn)最小均方誤差準(zhǔn)則8。對于，求估計誤差與抽頭輸入的內(nèi)積，得到自適應(yīng)濾波系數(shù)相對于維納解的誤差?？梢员硎緸?(2.1.3)其中，利用最陡下降法可以得到權(quán)值向量 (2.1.4)其中，為代價函數(shù)的梯度向量。 表示迭代次數(shù)，為步長參數(shù)且，因子的引入可以使計算方便。由式（2.1.4）可知，在到次迭代時，校正量 (2.1.5)設(shè)和是聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機過程，可以通過矩陣和

18、向量來估計。則 (2.1.6)其中 (2.1.7)由此得到的梯度算法即為LMS算法。將(2.1.6)，(2.1.7)代入(2.1.4)中可以得到其迭代方程為 (2.1.8)2.2 2D-LMS算法將最小均方算法(Least Mean Square, LMS)擴展到二維，便得到二維最小均方算法(2D-Least Mean Square, 2D-LMS)。該算法采用有限脈沖響應(yīng)（FIR）線性模型。為了簡化估計任務(wù)并減少實時應(yīng)用中的計算量，提出了這種方法。讓它作為一個線性二維FIR模型的輸入，每個點定義在規(guī)定間隔的區(qū)間上，即 , 其中M1和M2指定輸入數(shù)據(jù)的順序。為二維有限脈沖響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波

19、器的輸出信號，表達(dá)式如下： (2.2.1)其中是輸入信號，為濾波器權(quán)矢量， 和 指定了FIR濾波器的階數(shù)。該二維未知系統(tǒng)是由滿足正態(tài)分布的隨機數(shù)組成的的矩陣，為了比較方便，將其轉(zhuǎn)換為長度為的一維列向量。在迭代期間，這些列向量可以表示為 (2.2.2) (2.2.3)其中是迭代次數(shù)且。從(2.2.2)和(2.2.3)可知，二維FIR濾波器的輸出可以表示為 (2.2.4)2D-LMS算法同LMS算法一樣基于最陡下降法，并且根據(jù)該原理，二維濾波器權(quán)矢量可以表示為 (2.2.5)其中為步長，為迭代k次的誤差信號，可以表示為 (2.2.6)另外，為期望信號。2D-LMS算法是實現(xiàn)二維維納濾波器的一種實用

20、方案，沒有明確求解維納-霍夫方程。 因此，2D-LMS自適應(yīng)濾波器的迭代公式可以表示為 (2.2.7)2.3 MATLAB仿真2.3.1仿真條件本節(jié)基于MATLAB軟件，使用2D-LMS算法實現(xiàn)了自適應(yīng)濾波器的系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)的應(yīng)用9。圖2-1二維自適應(yīng)濾波器辨識結(jié)構(gòu)圖如圖2-1二維自適應(yīng)濾波器辨識結(jié)構(gòu)圖所示，仿真條件如下10：(1) 未知系統(tǒng)：在公式(2.2.2)和(2.2.3)中已經(jīng)知道，未知二維系統(tǒng)是一個的矩陣，為了與自適應(yīng)濾波器方便比較，將其轉(zhuǎn)換為長度為的一維列向量。本次實驗中，通過randn函數(shù)產(chǎn)生正態(tài)分布的矩陣，均值為0，方差為1，該一維列向量為。(2) 輸入信號：首先由randn函數(shù)

21、產(chǎn)生一個二維高斯白噪聲矩陣，大小為，將其通過如公式(2.3.1)所示的二維低通濾波器，就能得到有色輸入信號。(2.3.1)其中濾波器模型系數(shù)，。注：將矩陣大小設(shè)為主要考慮到第五章二維自適應(yīng)噪聲消除應(yīng)用中處理的圖片大小。(3)誤差信號：誤差信號可由公式(2.1.2)擴展到二維得到，公式如下： (2.3.2)(4)測量噪聲：是一個均值為0，噪聲方差為0.001的二維高斯白噪聲，并且與輸入信號互相獨立11。(5)性能判據(jù)：采用穩(wěn)態(tài)均方誤差(Mean Square Deviation，MSD)來分析二維最小均方算法(2D-Least Mean Square, 2D-LMS)的性能，單位為分貝(dB)。

22、仿真結(jié)果都是經(jīng)過30次獨立實驗平滑后得到的結(jié)果12。2.3.2仿真結(jié)果與分析如圖2-2所示，實現(xiàn)了基于2D-LMS算法的辨識系統(tǒng)的仿真。圖2-2 2D-LMS算法仿真圖由于步長因子的選取會對2D-LMS算法的性能產(chǎn)生影響，所以本次實驗分別采用了不同步長因子進行仿真，步長因子取值，和。從圖中可以知道，當(dāng)步長因子時，收斂曲線大約在迭代3000次達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為；當(dāng)步長因子時，收斂曲線大約在迭代2000次達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為；當(dāng)步長因子時，收斂曲線大約在迭代1000次達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為。通過以上結(jié)果可以得出，步長因子影響算法性能。當(dāng)步長較大時(如0.012)， 2D-LMS算法收斂速度較快，但穩(wěn)態(tài)偏

23、差大，即對未知向量的估計時間較快，但是估計的準(zhǔn)確度不高；而步長較小時(如0.006)，穩(wěn)態(tài)偏差會相對較小，但收斂速度緩慢，即估計時間較慢但準(zhǔn)確度較高。第三章2D-NLMS自適應(yīng)濾波算法3.1 NLMS簡介歸一化最小均方(Normalized Least Mean Square, NLMS)算法相較于LMS算法，具有更快的收斂速度13。其迭代公式可以表示為 (3.1.1)其中的選取必須實現(xiàn)快速收斂，所以為了提高收斂速度，可以通過選取合適的值來盡可能地減小瞬時平方誤差14。值的表達(dá)式如下 (3.1.2)將（3.1.2）代入（3.1.1）可得 (3.1.3)為了控制失調(diào)量，需要引入固定收斂因子，同時

24、為了避免較小時，步長太大，引入常數(shù)。所以歸一化NLMS算法的迭代公式為 (3.1.4)3.2 2D-NLMS算法將一維NLMS算法擴展到二維，便得到了二維歸一化最小均方(2D-Normalized Least Mean Square, 2D-NLMS)算法。和一維NMLS算法一樣，為了克服2D-LMS算法收斂速度慢的缺點，提出了2D-NLMS算法 ，考慮了濾波器輸入幅度的影響。2D-NLMS算法的迭代公式為 (3.2.1)其中為了防止較小，引入的常數(shù)。3.3 MATLAB仿真3.3.1仿真條件本節(jié)基于MATLAB軟件，使用2D-NLMS算法實現(xiàn)了自適應(yīng)濾波器的系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，如圖2-1二維

25、自適應(yīng)濾波器辨識結(jié)構(gòu)圖所示，仿真條件如下15：(1)未知系統(tǒng)：同2.3.1中的(1)，未知二維系統(tǒng)是一個的矩陣，為了與自適應(yīng)濾波器方便比較，將其轉(zhuǎn)換為長度為的一維列向量。本次實驗中，通過randn函數(shù)產(chǎn)生正態(tài)分布的矩陣，均值為0，方差為1，該一維列向量為。(2)輸入信號：首先由randn函數(shù)產(chǎn)生一個二維高斯白噪聲矩陣，大小為，將其通過如公式(2.3.1)所示的二維低通濾波器，就能得到有色輸入信號。其中濾波器模型系數(shù)，。注：將矩陣大小設(shè)為主要考慮到第五章二維自適應(yīng)噪聲消除應(yīng)用中處理的圖片大小。(3)誤差信號：誤差信號為。 (4)測量噪聲：是一個均值為0，噪聲方差為0.001的二維高斯白噪聲，并且

26、與輸入信號互相獨立。(5)性能判據(jù)：采用穩(wěn)態(tài)均方誤差(Mean Square Deviation，MSD)來分析二維歸一化最小均方(2D-Normalized Least Mean Square, 2D-NLMS)算法的性能，單位為分貝(dB)。仿真結(jié)果都是經(jīng)過30次獨立實驗平滑后得到的結(jié)果。3.3.2仿真結(jié)果與分析(1)實現(xiàn)基于2D-NLMS算法的辨識系統(tǒng)的仿真。圖3-1 2D-NLMS算法仿真圖如圖3-1所示，由于步長因子的選取會對2D-NLMS算法的性能產(chǎn)生影響，所以本次實驗分別采用了不同步長因子進行仿真，步長因子分別取值，和。從圖中可以知道，當(dāng)步長因子時，收斂曲線大約在迭代18000次

27、達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為；當(dāng)步長因子時，收斂曲線大約在迭代7000次達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為；當(dāng)步長因子時，收斂曲線大約在迭代4000次達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為。通過以上結(jié)果可以得出，步長因子影響算法性能。當(dāng)步長較大時(如0.35)，2D-NLMS算法收斂速度較快，但穩(wěn)態(tài)偏差大，即對未知向量的估計時間較快，但是估計的準(zhǔn)確度不高；而步長較小時(如0.10)，穩(wěn)態(tài)偏差會相對較小，但收斂速度緩慢，即估計時間較慢但準(zhǔn)確度較高16。(2)將2D-NLMS算法與2D-LMS算法進行比較。在圖3-2中，將2D-LMS算法的步長因子設(shè)置為0.001，2D-NLMS算法的步長因子設(shè)置為0.09，使得兩種算法在的收斂值下收斂。在相

28、同的收斂值下，2D-LMS算法大約在25000次達(dá)到穩(wěn)定，而2D-NLMS算法大約在21000次達(dá)到穩(wěn)定。圖3-2 2D-NLMS算法與2D-LMS算法對比圖一 在圖3-3中，將2D-LMS算法的步長因子設(shè)置為0.006，2D-NLMS算法的步長因子設(shè)置為0.45，使得兩種算法在迭代3000次時達(dá)到穩(wěn)定。在相同的迭代次數(shù)下，2D-NLMS算法的收斂值，而2D-LMS算法的收斂值。圖3-3 2D-NLMS算法與2D-LMS算法對比圖二 通過以上仿真結(jié)果可以得出，在達(dá)到相同的收斂值時，2D-NLMS算法的迭代次數(shù)更少，在迭代次數(shù)相同時，2D-LMS算法的穩(wěn)態(tài)偏差更低，即2D-NLMS算法的收斂速度

29、更快，對未知系統(tǒng)的估計更加準(zhǔn)確17。第四章2D-APA自適應(yīng)濾波算法4.1 APA簡介仿射投影算法(Affine Project, APA)是基于歸一化最小均方誤差算法(NLMS)提出的，是NLMS算法的一種多維推廣(在投影階數(shù)的值為1時，該算法等價于NLMS算法)18。仿射投影算法提高了收斂速度，改善了跟蹤性能，但計算復(fù)雜度大大增加，相對的抗干擾能力較弱19。仿射投影算法的主要思想是重復(fù)利用過去的數(shù)據(jù)信號，以提高自適應(yīng)濾波算法的收斂速度。它將當(dāng)前的輸入與前一時刻的輸入組成一個的多維仿射投影矩陣，同時使用在同一次迭代中，即 (4.1.1)在這個條件下，每次迭代時的誤差已經(jīng)不再是一個數(shù)值，而是一

30、個長為的向量，并且期望響應(yīng)，自適應(yīng)濾波器輸出也已經(jīng)成為一個長度為的向量。根據(jù)NLMS算法的權(quán)值向量迭代公式（3.1.4），可以整理出APA算法的迭代公式： (4.1.2)公式中的也由一個較小的常數(shù)變成一個矩陣，本文中 ,其中為階的單位矩陣。4.2 2D-APA算法將仿射投影算法(APA)擴展到二維，便得到二維仿射投影算法(2D-Affine Project, 2D-APA)。2D-APA算法與2D-LMS算法相比，具有更好的收斂性能，然而計算復(fù)雜度也大大增加20。該算法可以表示為使下列目標(biāo)函數(shù)最小化的二維自適應(yīng)濾波器： (4.2.1)期望信號為 (4.2.2)在2D-APA算法中，使用的多維仿

31、射投影矩陣來引入?yún)?shù)和,同時應(yīng)用于同一迭代中，兩個參數(shù)的取值范圍 和。2D-APA算法的輸入信號為矩陣，它的維度為，可以表示為 (4.2.3)其中 (4.2.4)這是維數(shù)為的矩陣。 此外，（4.2.2）中的是維數(shù)為的期望信號： (4.2.5)從上面可以看出，2D-APA算法的自適應(yīng)濾波器系數(shù)的迭代公式可以表示為 (4.2.6)其中誤差信號可以表示為 (4.2.7)4.3 MATLAB仿真4.3.1仿真條件本節(jié)基于MATLAB軟件，使用2D-NLMS算法實現(xiàn)了自適應(yīng)濾波器的系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，如圖2-1二維自適應(yīng)濾波器辨識結(jié)構(gòu)圖所示，仿真條件如下：(1)未知系統(tǒng)：同2.3.1中的(1)，未知二維

32、系統(tǒng)是一個的矩陣，為了與自適應(yīng)濾波器方便比較，將其轉(zhuǎn)換為長度為的一維列向量。本次實驗中，通過randn函數(shù)產(chǎn)生正態(tài)分布的矩陣，均值為0，方差為1，該一維列向量為。(2)輸入信號：首先由randn函數(shù)產(chǎn)生一個二維高斯白噪聲矩陣，大小為，將其通過如公式(2.3.1)所示的二維低通濾波器，就能得到有色輸入信號。其中濾波器模型系數(shù)，。注：將矩陣大小設(shè)為主要考慮到第五章二維自適應(yīng)噪聲消除應(yīng)用中處理的圖片大小。(3)誤差信號：誤差信號為。(4)正則化因子為0.001。(5)值為投影階數(shù)，當(dāng)值為1時，該算法等價于2D-NLMS算法。(6)測量噪聲：是一個均值為0，噪聲方差為0.001的二維高斯白噪聲，并且與

33、輸入信號互相獨立。(7)性能判據(jù)：采用穩(wěn)態(tài)均方誤差(Mean Square Deviation，MSD)來分析二維仿射投影算法(2D-Affine Project, 2D-APA)的性能，單位為分貝(dB)。仿真結(jié)果都是經(jīng)過30次獨立實驗平滑后得到的結(jié)果。4.3.2仿真結(jié)果與分析(1)實現(xiàn)基于2D-APA算法的辨識系統(tǒng)的仿真(投影階數(shù))。圖4-1 2D-APA算法仿真圖如圖4-1所示，由于步長因子的選取會對2D-APA算法的性能產(chǎn)生影響，所以本次實驗分別采用了不同步長因子進行仿真，步長因子分別取值，和。從圖中可以知道，當(dāng)步長因子時，收斂曲線大約在迭代5000次達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為；當(dāng)步長因子時，

34、收斂曲線大約在迭代2000次達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為；當(dāng)步長因子時，收斂曲線大約在迭代1000次達(dá)到穩(wěn)定，收斂值為。通過以上結(jié)果可以得出，步長因子影響算法性能。當(dāng)步長較大時(如0.9)， 2D-APA算法收斂速度較快，但穩(wěn)態(tài)偏差大，即對未知向量的估計時間較快，但是估計的準(zhǔn)確度不高；而步長較小時(如0.05)，穩(wěn)態(tài)偏差會相對較小，但收斂速度緩慢，即估計時間較慢但準(zhǔn)確度較高。(2)投影階數(shù)的不同取值的2D-APA算法對比仿真。對不同投影階數(shù)的2D-APA算法進行仿真，如圖4-2，本次仿真的步長因子均為0.05。當(dāng)投影階數(shù)時，收斂曲線在迭代41000次時達(dá)到穩(wěn)定，收斂值；當(dāng)投影階數(shù)時，收斂曲線在迭代150

35、00次時達(dá)到穩(wěn)定，收斂值；當(dāng)投影階數(shù)時，收斂曲線在迭代4000次時達(dá)到穩(wěn)定，收斂值；當(dāng)投影階數(shù)時，收斂曲線在迭代2000次時達(dá)到穩(wěn)定，收斂值。通過本次仿真結(jié)果，可知當(dāng)較小時，算法失調(diào)量較小，但算法的收斂速度較慢。反之較大時算法收斂較快，但失調(diào)量較大。其中當(dāng)值為1時，該算法等價于2D-NLMS算法。圖4-2 不同投影階數(shù)的2D-APA算法仿真(3)將2D-APA算法與2D-NLMS算法，2D-LMS算法進行比較。在圖4-3中，將2D-LMS算法的步長因子設(shè)置為0.001，2D-NLMS算法的步長因子設(shè)置為0.09，2D-APA算法的步長因子設(shè)置為0.015。使得三種算法在的收斂值處收斂。在相同的

36、收斂值下，2D-LMS算法大約在25000次達(dá)到穩(wěn)定，2D-NLMS算法大約在21000次達(dá)到穩(wěn)定，2D-APA算法大約在12000次達(dá)到穩(wěn)定。圖4-3 2D-APA算法與2D-LMS，2D-NLMS算法對比圖一在圖4-4中，將2D-LMS算法的步長因子設(shè)置為0.006，2D-NLMS算法的步長因子設(shè)置為0.45，將2D-APA算法的步長因子設(shè)置為0.05，使得三種算法在迭代3000次時達(dá)到穩(wěn)定。在相同的迭代次數(shù)下，2D-NLMS算法的收斂值，2D-LMS算法的收斂值，2D-APA算法的收斂值。圖4-4 2D-APA算法與2D-LMS，2D-NLMS算法對比圖二通過以上仿真結(jié)果可以得出，在達(dá)到

37、相同收斂值時，2D-APA算法的迭代次數(shù)最少；在迭代次數(shù)相同時，2D-LMS算法的穩(wěn)態(tài)偏差最低。即收斂速度2D-APA算法2D-NLMS算法2D-LMS算法 。2D-APA算法對未知系統(tǒng)的估計更加準(zhǔn)確，但計算復(fù)雜度較大。第五章 二維自適應(yīng)噪聲消除（2D-ANC）5.1 簡介在自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用中，自適應(yīng)噪聲消除的目的是從接受信號中減去噪聲，從而改善信噪比21。二維自適應(yīng)噪聲消除（2D-ANC）可用于二維圖像的處理，如圖片去噪，圖像回復(fù)，圖像增強。5.2 MATLAB仿真5.2.1仿真條件如圖5-1二維自適應(yīng)噪聲消除結(jié)構(gòu)圖所示：期望信號為原圖信號(即輸入信號)與噪聲信號的疊加，噪聲信號由高斯白噪

38、聲信號通過一個二維的低通濾波器得到。仿真條件如下：圖5-1二維自適應(yīng)噪聲消除(2D-ANC)結(jié)構(gòu)圖(1)仿真了兩組圖片：輸入信號是一個像素的原始圖像；輸入信號是一個像素的原始圖像。(2)由randn函數(shù)產(chǎn)生兩個二維高斯白噪聲矩陣和，大小分別為和，一般將其通過二維低通濾波器就能得到噪聲信號和22。(3)本次畢業(yè)設(shè)計通過將輸入信號與噪聲信號轉(zhuǎn)換為長度為90000的兩個列向量；將輸入信號與噪聲信號轉(zhuǎn)換為長度為65536的兩個列向量。其中噪聲信號由轉(zhuǎn)換為列向量的高斯噪聲信號通過一個一階系統(tǒng)得到。使用了2D-LMS算法，2D-NLMS算法和2D-APA算法，對兩個圖像進行了去噪(4)在二維自適應(yīng)噪聲消除

39、的應(yīng)用中，2D-LMS算法的步長因子設(shè)置為0.000004，2D-NLMS算法的步長因子設(shè)置為0.004，2D-APA算法的步長因子設(shè)置為0.00423。5.2.2仿真結(jié)果圖5-2a 原始圖像 圖5-2b 原始圖像圖5-3a噪聲污染圖像 圖5-3b噪聲污染圖像圖5-4a 2D-LMS去噪圖像 圖5-4b 2D-LMS去噪圖像圖5-5a 2D-NLMS去噪圖像 圖5-5b 2D-NLMS去噪圖像圖5-6a 2D-APA去噪圖像 圖5-6b 2D-APA去噪圖像通過對三組仿真結(jié)果圖進行對比，2D-APA算法的圖像去噪性能比2D-LMS算法和2D-NLMS算法更好。第六章 總結(jié)與展望6.1總結(jié)本文通

40、過對自適應(yīng)濾波器算法的闡述，介紹了自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)，濾波器的應(yīng)用，包括辨識結(jié)構(gòu)的應(yīng)用與自適應(yīng)噪聲消除的應(yīng)用。簡單介紹了常用的自適應(yīng)濾波算法：LMS算法，NLMS算法，APA算法。將一維自適應(yīng)濾波算法擴展到二維結(jié)構(gòu)得到二維自適應(yīng)濾波器 ：2D-LMS算法(二維最小均方算法)，2D-NLMS算法(歸一化的二維最小均方算法)，2D-APA算法(基于仿射投影的二維自適應(yīng)算法)。介紹了其推導(dǎo)公式及迭代算法。通過仿真，比較了三種算法的性能，得到了以下結(jié)論：算法的性能取決于步長因子，如果步長因子大，收斂較快，但穩(wěn)態(tài)偏差大；如果步長因子小，穩(wěn)態(tài)偏差會降低，但收斂緩慢。2D-NLMS算法的收斂速度比2D-LMS

41、算法快，而2D-APA算法的整體性能要優(yōu)于前兩種算法。2D-APA算法對未知系統(tǒng)的估計更加準(zhǔn)確，在二維噪聲消除的應(yīng)用中，去噪效果較好，得到的去噪圖片較為清晰。唯一的缺點就是計算復(fù)雜度較大。6.2展望本文雖然實現(xiàn)了三種算法2D-LMS算法(二維最小均方算法)，2D-NLMS算法(二維歸一化的最小均方算法)，2D-APA算法(二維仿射投影算法)。但存在計算復(fù)雜度較高的問題。這也是二維自適應(yīng)濾波器最重要的問題之一，所以可以提出一種方法來降低計算復(fù)雜度，如選擇部分更新自適應(yīng)濾波器系數(shù)。因此如何優(yōu)化二維自適應(yīng)濾波器算法，提收斂性能可以進一步研究。參考文獻1 赫金（Haykin S）著, 鄭寶玉等譯. 自

42、適應(yīng)濾波器原理(第五版)M. 北京電子工業(yè)出版社, 2016.2 迪尼茲（Diniz P S R）著, 劉郁林等譯. 自適應(yīng)濾波算法與實現(xiàn)（第四版）M. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2014.3 Abadin M S E, Aali S N. The novel two-dimensional adaptive filter algorithms with the performance analysisJ. Signal Processing, 2014, 103: 348-366.4 伍星, 陳朝陽, 陳新武. 二維 NLMS 自適應(yīng)算法的結(jié)構(gòu)設(shè)計J. 計算機與數(shù)字工程2005, 12: 8

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