數(shù)量關(guān)系—插板法的經(jīng)典應(yīng)用

1、某學(xué)校四、五、六年級組織了一場文藝演出，共演 18個節(jié)目，如果 每個年級至少演出4個節(jié)目，那么，這三個年級演出節(jié)目數(shù)的所有不 同情況共有多少種？【解析】、我們先把18個節(jié)目每個年級分配3個節(jié)目，這樣三個班 就都還差一個節(jié)目，總的還剩下 9個節(jié)目，按照插板法來解答。9個 節(jié)目排成一排共計8個間隔。分別選取任意2個間隔就可以分成3 份；故答案為C8取2=28.插板法就是在n個元素間的n-1個空中插入 假設(shè)干個b個板,可以把n個元素分成b+1丨組的方法。應(yīng)用插板法必須滿足三個條件：1這n個元素必須互不相異2所分成的每一組至少分得一個元素(3)分成的組別彼此相異舉個很普通的例子來說明把10個相同的小球

2、放入3個不同的箱子，每個箱子至少一個，問有幾種情況？問題的題干滿足條件1 2，適用插板法，C9 2=36下面通過幾道題目介紹下插板法的應(yīng)用a湊元素插板法 有些題目滿足條件1，不滿足條件2， 此時可適用此方法例1 :把10個相同的小球放入3個不同的箱子，問有幾種情況？ 3個箱子都可能取到空球，條件2不滿足，此時如果在3個箱子 種各預(yù)先放入1個小球，那么問題就等價于把13個相同小球放入3個不同箱子，每 個箱子至少一個，有幾種情況？顯然就是c12 2=66例2 :把10個相同小球放入3個不同箱子，第一個箱子至少1個, 第二個箱子至少3個，第三個箱子可以放空球，有幾種情況？ 我們可以在第二個箱子先放入

3、10個小球中的2個，小球剩8個放3 個箱子，然后在第三個箱子放入8個小球之外的1個小球，那么問題轉(zhuǎn) 化為 把9個相同小球放3不同箱子，每箱至少1 個,幾種方法？ C8 2=28 b添板插板法例3 :把10個相同小球放入3個不同的箱子，問有幾種情況？-0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 -010 小球，-示空位11個空位中取2個參加2塊板，第一組和第三組可以取到空的情況，第2組始終不能取空此時 假設(shè)在 第11個空位后參加第12塊板，設(shè)取到該板時，第二組取球為空那么每一組都可能取球為空c12 2=66例4:有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前

4、面 兩個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如 257, 1459等等，這類數(shù)共 有幾個？因為前2位數(shù)字唯一對應(yīng)了符合要求的一個數(shù)，只要求出前2位有幾 種情況即可，設(shè)前兩位為ab顯然a+b<=9 ,且a不為01 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 代表 9 個 1，-代表 10 個空位我們可以在這9個空位中插入2個板，分成3組，第一組取到a個1， 第二組取到b個1，但此時第二組始終不能取空，假設(shè)多添加第 10 個空時，設(shè)取到該板時第二組取空，即 b=0，所以一共有c10 2=45例5:有一類自然數(shù)，從第四個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面 三個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如 2

5、349，1427等等，這類數(shù)共 有幾個？類似的，某數(shù)的前三位為 abc，a+b+c<=9,a不為0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 在9個空位種插如3板，分成4組，第一組取a個1,第二組取b 個1，第三組取c個1，由于第二，第三組都不能取到空，所以添加 2塊板設(shè)取到第10個板時，第二組取空，即b=0 ;取到第11個板時，第 三組取空，即c=0。所以一共有c11 3=165 c選板法例6:有10粒糖，如果每天至少吃一粒多不限，吃完為止，求有 多少種不同吃法？o - o - o - o - o - o - o - o - o - oo 代表 10 個糖，-代表 9 塊板1

6、0塊糖，9個空，插入9塊板，每個板都可以選擇放或是不放，相 鄰兩個板間的糖一天吃掉這樣一共就是2A9= 512啦 d分類插板例7:小梅有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？此問題不能用插板法的原因在于沒有規(guī)定一定要吃幾天，因此我們需要對吃的天數(shù)進行分類討論最多吃5天，最少吃1天1：吃1天或是5天，各一種吃法 一共2種情況2:吃2天，每天預(yù)先吃2塊，即問11塊糖，每天至少吃1塊，吃2天，幾種情況？ c10仁103:吃3天，每天預(yù)先吃2塊，即問9塊糖，每天至少1塊，吃3天?c8 2=284:吃4天，每天預(yù)先吃2塊，即問7塊糖，每天至少1塊，吃4天？c6 3=20所以一

7、共是2+10+28+20=60 種e二次插板法例8 :在一張節(jié)目單中原有6個節(jié)目，假設(shè)保持這些節(jié)目相對次序 不變，再添加3個節(jié)目，共有幾種情況？-o - o - o - o - o - o -三個節(jié)目 abc可以用一個節(jié)目去插7個空位，再用第二個節(jié)目去插8個空位，用最 后個節(jié)目去插9個空位所以一共是 c7 1 >C8 1 X9 仁504種追問那這個2是怎么算出來的呢？答復(fù)例6:有10粒糖，如果每天至少吃 粒多不限，吃完為止，求有多少種不同吃法？o - o - o - o - o - o - o - o - o - oo 代表 10 個糖，-代表 9塊板10塊糖，9個空，插入9塊板，每個板都可以選擇放或是不放,相鄰兩個板間的糖一天吃掉這樣一共就是2A9= 512啦解析一：首先這道題可以用歸納法來做，10顆糖算起來比擬麻煩，所以可以從簡單的試一試：1顆糖：11種吃法2顆糖：1 + 1 , 22種吃法3顆糖：1 + 1 + 1 , 1+2 , 2+1,34 種吃法所以猜想吃n顆糖的方式一共有2A(n-1);那么吃10顆糖應(yīng)該就是2八9=512種方式。這里的2是概率公式解析二：此題我們也可以轉(zhuǎn)成成用插板法來做，10顆糖可以1 天吃完，也可